2021年高考艺术生数学基础复习 考点16 数列求和常用方法（教师版含解析）

这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点16 数列求和常用方法（教师版含解析），共36页。教案主要包含了裂项相消求和，错位相减求和，分组求和，倒序相加求和等内容，欢迎下载使用。

考点16 数列求和的常用方法
知识理解

一．公式法
1.等差数列{an}的前n项和Sn＝＝na1＋.
2.等比数列{an}的前n项和Sn＝
二．裂项相消求和
1.通项特征：通项一般是分式，分母为偶数个因式相乘，且满足a是常数，
2.解题思路

三． 错位相减法
1. 通项特征：一次函数*指数型函数
2. 解题思路


四． 分组转化求和
1.通项特征：或

2.解题思路











考向分析
考向一 裂项相消求和
【例1】(2020·四川成都市·华阳中学)已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)∵，∴，解得，
当时，由①可得，②，
①－②：，
∵，∴，∴，即∴，
∴是以为首项，以为公差的等差数列，
∴
综上所述，结论是：.
(2)由(1)可得
∴，
综上所述，.


【方法总结】
裂项相消法求数列和的常见类型：
（1）等差型，其中是公差为的等差数列；
（2）无理型；
（3）指数型；
（4）对数型.

【举一反三】
1．(2021·全国高三专题练习)已知，设，数列的前项和______.
【答案】
【解析】由，，
所以数列{}前项和为
.故答案为：.
2．(2020·上海市金山中学高三期中)已知数列满足，则数列的前n项和为______．
【答案】
【解析】当时，由，得，
两式相减，得，又，适合，所以
所以
所以．
故答案为：
3．(2020·四川省绵阳南山中学高三月考)已知等差数列的前项和为，，.
(1)求数列体的通项公式：
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)设数列的公差为，
∵，，∴，，解得，.
∴.
(2)由(1)得，，
∴.
考向二 错位相减求和
【例2】(2021·石嘴山市第三中学高三期末)设数列､的前项和分别为､，且，，
(1)求数列､的通项公式；
(2)令，求的前项和.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)由得，
当时，，
当时，也适合，故.
由得，得，
当时，，得，
又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
综上所述：，.
(2)，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
【举一反三】
1．(2020·黑龙江高三月考)设数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由，①得，②
①②，得，所以，
又，，所以，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以.
(2)由(1)得，，
所以，③
，④
③④得，，所以.
2．(2020·湖南省平江县第一中学高三月考)已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式.
(2)设，且，求的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由得，，，
故，，故，
即是为首项，公比为的等比数列，故；
(2)由(1)知，，设的前项和，
，
，
作差得， ，
即，
，化简得，故的前项和为.
3．(2020·海口市第四中学高三期中)已知数列的前n项和为，且
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，；(2).
【解析】(1)数列的前n项和为，且①，
当时，解得：，当时，②，
①-②得：，故：(常数)，
所以，数列是以1为首项，3为公比的等比数列.
所以，(首项符合通项)，故：.
(2)
所以，
，
两式相减得，，因此.
4．(2020·四川宜宾市·高三一模)已知递增数列满足，，且是方程的两根，数列的前项和为，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)因为方程两根为或7，
又､是方程的两根，数列是递增的等差数列，
，，设公差为，则，解得，.
.
对于数列，，
当时，，解得；
当时，，
整理得，即，所以数列是等比数列，

(2)，
数列的前项和，，
......
两式相减可得......，
.


考向三 分组求和
【例3】(2020·全国)已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为2的等比数列，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；；(2).
【解析】(1)设等差数列的公差为，则，
∴数列的通项公式为，∴.
又，∴，
∵数列是公比为2的等比数列，
∴，∴；
(2)由题意得，

.
【举一反三】
1．(2020·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学)设是公比为正数的等比数列， ，.
(1)求的通项公式；
(2)设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由题意设等比数列的公比为q，，
，，
，即，
的通项公式.
(2)是首项为1，公差为2的等差数列，
，
数列的前n项和.
2．(2020·江苏连云港市)已知等比数列中，且是和的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足求的前n项和
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)设等比数列的公比为，又则
由于是和的等差中项，
得，即，解得
所以，
(2)


3．(2020·吉林市·吉林一中)在公差不为0的等差数列的前10项和为65，、、成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)设等差数列的公差为()，
因为前10项和为65，所以，
因为、、成等比数列，所以，即，
联立，解得，，
故.
(2)因为，，
所以，
则
，
故.
4．(2020·江苏淮安)已知数列的前项和满足：.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)当时，，得.
当时，由，①
得，②
①-②，得，又，∴，∴，
∴是等比数列，∴
(2)由，则，
则
．
考向四 倒序相加求和
【例4】(2020·包头市第九中学)已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为( )
A． B．33 C． D．34
【答案】A
【解析】函数满足，
①，
②，
由①②可得，，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前10项和为.
故选：A.


【举一反三】
1．(2020·内蒙古包头市·高三二模)已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为( )
A．100 B．105 C．110 D．115
【答案】D
【解析】函数满足，①，
②，
由①②可得，
，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为．
故选：D．
2．(2020·甘肃省会宁县第一中学)已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为( )
A．100 B．105 C．110 D．115
【答案】D
【解析】因为函数满足，
①，
②，
由①②可得，，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.
故选：D.
3．(2020·宁都中学高三月考)已知若等比数列满足则( )
A． B．1010 C．2019 D．2020
【答案】D
【解析】
等比数列满足


即2020故选：D
强化练习

一、单选题
1．(2020·平罗中学)已知数列的通项公式：，则它的前项和是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，其前项和.
故选：B.
2(2020·全国高三专题练习)已知函数，则( )
A．2018 B．2019
C．4036 D．4038
【答案】A
【解析】，，
令，
则，
两式相加得：，.
故选：.
3．(2020·全国高三专题练习)设函数，利用课本(苏教版必修)中推导等差数列前项和的方法，求得的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
设，
则，
两式相加得，因此，.
故选：B.
4．(2019·江苏省前黄高级中学高二月考)设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_________．
【答案】
【解析】，
，
因此
，
所以

.
故答案为：.
5．(2020·宝鸡市渭滨中学高三月考)已知为等差数列，前项和为.
(1)求的通项公式及前项和；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)设数列的公差为d，由，得，则，
所以，；
(2)由(1)得，所以
.
6．(2020·四川成都市·高三其他模拟)已知数列是公差为的等差数列，且是的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，求数列的前n项和.
【答案】(1)当时，；当时，；(2).
【解析】(1)是的等比中项，
，即，整理得，
解得或，
当时，，
当时，；
(2)由(1)知，当时，
，)
.
7．(2020·静宁县第一中学高三月考)已知为数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)当时，，∴
当时，因为①所以②
①－②得，∴.
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
∴.
由(1)得
，
∴.
8．(2020·宁夏银川市·银川一中高三月考)已知数列为递增的等差数列，其中，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)设记数列的前n项和为.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)在等差数列中，设公差为d≠0，
由题意，得，
解得.
∴an＝a1+(n﹣1)d＝1+2(n﹣1)＝2n﹣1；
(2)由(1)知，an＝2n﹣1.
则，
∴
.
9．(2020·全国高三月考)已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)当时，；
当时，
若时，
故，．
(2)依题意，
故．
10．(2020·江苏南通市·高三期中)已知等差数列的首项为，公差为，前n项的和为 ，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项的和为Tn，求Tn.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由题意,等差数列中，因为，
可得，因为，可得，
所以数列的通项公式为.
(2)由(1)可得，
所以.
11．(2020·云南昆明市·昆明一中高三月考)已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由得：，
因为，
当时，，而，
所以数列的通项公式.
(2)因为，
所以，
所以，
，
.
12．(2020·全国高三月考)已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式以及前项和；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)依题意，，解得，故①，
而，故，故②，
联立①②两式，解得，，
故，
；
(2)依题意，，
故.
13．(2020·江苏镇江市·高三期中)已知等差数列的前项和为，若，.
(1)求数列的通项公式及；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)解：设等差数列首项为，公差为，
，，
得：，
解得：，
，
；
(2)，
.
14．(2020·湖南衡阳市一中高三期中)设数列的前n项和为，从条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前n项和为，，____.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n和.
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】选条件①时，
(1)时，整理得，
所以.
(2)由(1)得：，
设，其前项和为，
所以 ①，
②，
①②得：，
故，
所以.
选条件②时，
(1)由于，
所以①，当时，②，
①②得：，
，
整理得，
所以.
(2)由(1)得：，
设，其前项和为，
所以 ①，
②，
①②得：，
故，
所以.
选条件③时，
由于， ①
②
①②时，，整理得(常数)，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以.
(2)由(1)得：，
设，其前项和为，
所以①，
②，
①②得：，
故，
所以.
15．(2020·商河县第二中学高三期中)已知数列前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由题知，
即，
即，∵，∴，∴，
∴数列是首项为3，公比为3的等比数列，
∴，∴；
(2)由(1)知，，
∴， ①
∴， ②
①②得，，
∴.
16．(2020·山西高三月考)已知数列中，，
(1)证明：数列是等比数列
(2)若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析 ；(2) .
【解析】(1)证明：由，知
又，∴是以为首项，3为公比的等比数列
(2)解：由(1)知，∴，


两式相减得
∴
17．(2020·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中)记是正项数列的前n项和，是6和的等比中项，且.
(1)求的通项公式；
(2)若等比数列的公比为，且成等差数列，求数列的前n项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)因为是6和的等比中项，所以，
当时，，由得，
化简得，即或者(舍去)，
故，数列为等差数列.
因为，解得或(舍去)，
所以数列是首项为1、公差为3的等差数列，所以.
(2)由成等差数列，可得，
可得，
又，所以，
所以.
由(1)得，
所以，，
两式相减得，
所以.
18．(2020·深州长江中学高三期中)在各项均为正数的等比数列中，，，
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)记，求数列的前n项和．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)设等比数列的首项为，公比为q()，
由己知得，则解得，
所以数列是以3为首项，3为公差的等差数列，
即.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
所以
(1)
(2)
由(1)(2)，得

∴．
19．(2020·广东肇庆市·高三月考)已知数列的前n项和为，．
(1)求；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)； (2).
【解析】(1)由题意，数列满足，
当时，可得，
两式相减，可得，整理得，即，
当时，可得，解得，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以.
(2)由(1)知，则
设，数列的前项和分别为，
则
，
两式相减得，
所以，
又由，
所以数列的前n项和.
20．(2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考)已知数列满足：，且对任意的，都有1，成等差数列.
(1)证明数列等比数列；
(2)已知数列前n和为，条件①：，条件②：，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件来求数列前n和.
【答案】(1)证明见解析；(2)答案不唯一，具体见解析.
【解析】(1)由条件可知，
即，∴，且
∴是以为首项，为公比的等比数列，
∴，∴
(2)条件①：，


利用错位相减法:
化简得
条件②：


利用错位相减法:

化简得
21．(2020·河北衡水市·衡水中学高三月考)已知等差数列满足，数列是以1为首项，公差为1的等差数列.
(1)求和；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)因为，
所以，，，
因为等差数列，
所以，
即，解得，
所以，，．
因为数列是以1为首项，公差为1的等差数列，
所以，．
(2)由(1)得，
所以，①
，②
①-②得，
所以．
22．(2020·广东深圳市·福田外国语高中)已知数列的前n项和为，点在直线，上．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)∵点在直线上，，
∴．
当时，，则，
当时，，．
两式相减，得，所以．
所以是以首项为2，公比为2等比数列，
所以．
(2)，
，
所以．
23．(2020·稷山县稷山中学高三月考(文))已知等差数列，为其前项和，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)设数列的首项为，公差为，则根据题意得：
由，解得，所以.
(2)，则



.
24．(2020·江苏无锡市)在等差数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若________，求数列的前项和．在①，②这两个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．
【答案】(1)；(2)答案不唯一，见解析.
【解析】(1)设等差数列的公差为，
由题意得，，解得．；
(2)选条件①：，
；
选条件②：，，
，
当为正偶数时，；
当为正奇数时，为偶数，
.
．
25．(2020·全国高三专题练习)在等差数列中，已知，.在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解.
(1)求数列的通项公式；
(2)若______，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】(1)设等差数列的公差为，则，
即，解得，故.
(2)选①，由得，
.
选②，.
当为偶数时，；
当为奇数时，.
故
选③，由得，
，①
，②
①-②得，
，
故.
26．(2020·江苏扬州市)在等差数列中，，再从条件①､条件②设数列的前项和为，这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】条件选择见解析；(1)；(2).
【解析】(1)若选①
设数列公差为，由，则
即，∴.
若选②
设数列公差为，
因为，则，
所以，则，.
所以.
(2)由题得数列是以3为首项，1为公差的等差数列，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
27．(2020·长春市第五中学高三期中)已知数列的前项和，，数列是等差数列，且，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)； (2)
【解析】(1)当时，，得
当时， ……①
……②
由①－② 得，即
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列,所以
所以，．则等差数列的公差为
所以
(2)


28．(2020·稷山县稷山中学高三月考)已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)因为，
当时，，
当时，，
因为也满足，
综上.
(2)，
.