2021年高考艺术生数学基础复习 考点09 三角函数与正、余弦定理综合运用（教师版含解析）

考点09 三角函数与正、余弦定理综合运用

考向一 实际生活中运用

【例1】(2020·辽宁高三期中)自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓，荡胸生层云，决毗入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将到修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(，，，在同一水平面内)，则，间的距离为______.

【答案】

【解析】如图，连接，在中，由余弦定理得，

，所以，

由正弦定理得，，即，解得，

因为，所以，

在中，

，

所以，即，间的距离为，故答案为：

【举一反三】

1．(2020·湖南师大附中高三月考)既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展.现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道(C与A，B不重合)，A，B相距400米，在紧邻休闲小道的两侧及圆弧上进行绿化，设，则绿化带的总长度的最大值约为______米.(参考数据：，)

【答案】880

【解析】如图所示，设圆心为O，连接，，

因为点C在半圆上，所以，所以，

弧的长为，所以绿化带的总长度为

，.所以.

令，得，所以.

当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，取得极大值，也是最大值，所以.

故答案为：880.

2．(2020·江苏常州·高三期中)欧几里得在《几何原本》中，以基本定义､公设和公理作为全书推理的出发点.其中第卷命题47是著名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，书中给出了一种证明思路：如图，中，，四边形､､都是正方形，于点，交于点.先证与全等，继而得到矩形与正方形面积相等；同理可得到矩形与正方形面积相等；进一步定理可得证.在该图中，若，则________.

【答案】

【解析】设AB=k，AC=m，BC=n，可得，

又，可得，

在中，，

又，解得，，

由

，

化为，解得，

又，可得，

在中，，即，

可得，

故答案为：.

3．(2020·全国高三其他模拟)在测量实践中，某兴趣小组为测量电视塔的高度，在与水平地面平行且距离地面1.4m的一条直线上选取了，，三点．已知，，，在，，三点测出电视塔顶部的仰角分别为45°，60°，60°，则电视塔的高度为______m．(结果精确到0.1m，参考数据：，)

【答案】120.2

【解析】根据题意画出示意图，如图所示，

由题意，直线与不在同一平面内，平面，，，，

过作于，易知，设，，则，．

在中，由余弦定理可得：，

解得，

所以，

故电视塔的高度为．

故答案为：

考向二 三角函数性质与正余弦的定理综合运用

【例2】11．(2020·山西高三期中(文))已知函数.

(1)求函数的最小正周期，以及在上的单调性；

(2)已知a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，，，且恰是函数在上的最大值，求A和b.

【答案】(1)最小正周期为，在上单调递增，在上单调递减；(2)，或.

【解析】(1)由题意可得，

∴的最小正周期为.

时，，当，即当时函数单调递增，

当，即，即当时，函数单调递减，

所以在上单调递增，在上单调递减.

(2)由(1)知，又恰是函数在上的最大值，

A为锐角，故，∴，由余弦定理可得：.

解得：或.

【举一反三】

1．(2020·山西高三期中(理))已知向量，，设函数．

(1)求函数的最小正周期，以及在上的单调性．

(2)已知，，分别为三角形的内角对应的三边长，为锐角，，，且恰是函数在上的最大值，求和．

【答案】(1)最小正周期为；在上单调递增，在上单调递减；(2)；或．

【解析】(1)因为向量，，

所以

，

∴的最小正周期为；

由可得；

由可得；

所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，

又，

所以在上单调递增，在上单调递减．

(2)由(1)知，

又恰是函数在上的最大值，为锐角，

故，∴；

由余弦定理可得：

解得：或．

2．(2020·上海黄浦·格致中学高三期中)设函数

(1)求函数的单调递增区间；

(2)在锐角中，若，求的面积.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)由已知得，

令，解得，

所以的单调递增区间为；

(2)因为，所以，又锐角中，，即，所以，所以，

由，，得，

所以，故，

由正弦定理得，，，故三角形面积.

3．(2020·宁夏银川九中高三月考(文))已知、、为锐角三角形的三个内角，若向量与向量是共线向量.

(1)求角；

(2)求函数的最大值.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)，且，

所以，，

即，即，即，

所以，，

为锐角，则，；

(2)由三角形的内角和定理可得，

所以，，

为锐角三角形，则，即，解得，

所以，，

当时，函数取得最大值，即.

考向三  解析几何中的运用

【例3】(2020·福建莆田一中高三期中)在中，，为线段边上一点，，．

(1)若，求；

(2)若，求．

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)考察，记，

由余弦定理得：，

即化简得：，

∴或6，

由，，∴，

∴为钝角，∴，∴．

(2)记，则，

由可得，

考察，由正弦定理可得：即，

∴，

化简得：，

∴，即．

【举一反三】

1．(2020·全国高三其他模拟)已知中，角，，的对边分别为，，，且.

(1)求；

(2)若，为外一点，如图所示，且，，的面积为，求.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)因为，所以，

由，根据正弦定理得，

即，整理得，

即，所以，

又由，联立解得或，

因为，所以，故，

(2)由(1)知且，

所以，

故的面积，解得，

又由，

在中，

由余弦定理可得，

所以.

在中，余弦定理，

可得，解得．

2．(2019·贵州高三期末(文))如图，在平面四边形中，与互补，，

(1)求的长；

(2)求.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)由题意，在中，根据余弦定理得：

，

；

(2)因为且，，

又与互补，则

由正弦定理得：

.

3．(2020·广东高三月考)如图，在平面四边形中，的面积为.

(1)求；

(2)若，求四边形周长的最大值.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)由面积公式得，

所以，

在中，由余弦定理得，

所以；

(2)令，

在中，由余弦定理得，

则，

即，

所以，

当且仅当时，等号成立.

所以四边形周长的最大值为.

1．(2020·四川阆中中学高三月考)“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹤雀楼》，鹤雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹤雀在此停留，故有此名，下面是复建的鹤雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC=2AC，则楼高AB约为____(保留到整数位，

【答案】74米

【解析】设，则，

在中，，所以是等腰直角三角形，所以，

在中，，所以，即，

解得：，所以，故答案为：74米

2．(2020·云南昆明一中高三月考)在平面直角坐标系中，已知顶点和，点在双曲线的右支上，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为点在双曲线的右支上，且和为双曲线的两个焦点，所以；又因为，所以由正弦定理得，故选：D.

3．(2020·黑龙江铁人中学高三期中)某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为3km和5km，测得灯塔A在观察站C北偏西，灯塔B在观察站C北偏东，则两灯塔A，B间的距离为(    )

A． B． C．7 D．

【答案】C

【解析】由题意，中，，，，

利用余弦定理可得：，∴.故选：C.

4．(2020·重庆高三月考)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个3丈高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为(3丈=5步)(    )

A．1200步 B．1300步 C．1155步 D．1255步

【答案】D

【解析】设海岛的高为步，由题意知，步，步，步，

步，则，即，

，所以，

则，解得，即海岛的高为步，

故选：D.

5．(2020·安徽高三月考(文))如图，地面四个5G中继站A．B．C．D，已知A．B两个中继站的距离为，，，，则C，D两个中继站的距离是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在中，，

在中，，

设，则，，

在中，由余弦定理，，

解得，

故选：C

6．(2020·全国高三其他模拟)如图，海岸三角洲地区有，，三座城市，，城市到城市，的距离均为．为缓解陆上交通压力，决定在，上分别建立两个交通码头，，并在两个交通码头之间开通直线型水上航道．但以城市为中心的水域为水上经济区，航道不能通过，故当所建航道最短时，码头到城市的距离为______，水上航道的最短距离为______．

【答案】20       

【解析】过点作的垂线，垂足为，当时满足题意.

设，则，，

故.

，

因为，所以，

所以，

当，时等号成立时，

此时，.

故答案为：20；

7．(2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中)已知．

(1)求的最大值及该函数取得最大值时的值；

(2)在中，分别是角所对的边，，是的面积，，比较与的大小．

【答案】(1)当时，有最大值2；(2)．

【解析】(1)∵

，

∴当，即时，有最大值2；

(2)由题意可得，

∴，

∴，

∴，

由余弦定理，代入数据得，

又∵，

∴，

当且仅当时取等号，

∴．

8．(2020·天津经济技术开发区第一中学高三期中)已知向量，，设函数.

(1)求函数取得最大值时取值的集合；

(2)设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若，，求的值.

【答案】(1)；(2)

【解析】(1)

，

要使函数取得最大值，需要满足取得最小值，

所以，所以，

所以当取得最大值时取值的集合为，

(2)因为A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，

所以，

由，得，

因为所以，解得，

所以

所以.

9．(2020·山东省淄博实验中学高三月考)已知向量，，函数．

(1)若，求的取值范围；

(2)在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，求的面积．

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)向量，

．

由此可得函数，

又，得．

，即的取值范围是；

，(B)，

又，，，可得．

，

根据正弦定理，可得，

由得，所以，

因此，可得是以为直角顶点的直角三角形，

的面积．

10．(2020·营口市第五中学高三月考(文))已知向量，，函数.

(1)求的最小正周期；

(2)记的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，且的面积为，，求的周长.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)∵，，∴，

∴

.

即.

∴的最小正周期是.

(2)由，得，∵，∴，∴，∴.

∵的面积为，∴，由(1)知，∴，

由余弦定理得：，

∴，得：，

∴的周长为.

11．(2020·湖南衡阳市八中高三月考)某市规划一个平面示意图为如下图五边形的一条自行车赛道，，，，，为赛道(不考虑宽度)，为赛道内的一条服务通道，，，.

(1)求服务通道的长度；

(2)求折线段赛道的长度的取值范围.

【答案】(1)5；(2).

【解析】(1)如图所示：连接，

在中，由余弦定理得：

，

∴，

∵，

∴，

又，

∴，

在中，；

(2)在中，，，

由余弦定理得，

即，

故，

从而，

即，

当且仅当时，等号成立，

即设计为时，折线段赛道最长.所以折线段赛道的长度的取值范围是.

12．(2020·河南高三月考)如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点，，．为增加景区人民的收入，景区管委会又开发了风景优美的景点．经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向上，还位于景点的北偏西方向上，已知，．

(1)景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；

(2)求的正弦值．

【答案】(1)；(2)．

【解析】(1)在中，，，，设，

则由余弦定理得，

即，解得，

而，舍去，∴，

∴这条公路的长为．

(2)在中，，

∴，∴，

在中，，

∴

，

∴

．

13．(2020·广东高三月考)如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，.

(1)求的长；

(2)若，求的值.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)因为，在中，由余弦定理得

，所以，所以

，所以.

(2)在中，由正弦定理得，所以，

所以.因为点在边上，所以，而，

所以只能为钝角，所以，

所以

.