2021年高考艺术生数学基础复习 考点08 正、余弦定理（教师版含解析）

这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点08 正、余弦定理（教师版含解析），共30页。教案主要包含了正余弦的选择，三角形的面积公式，正余弦综合运用等内容，欢迎下载使用。
考点08 正、余弦定理
知识理解

一．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝c2＋a2－2cacosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC
变形
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
sin A＝，sin B＝，sin C＝；
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
使用条件
1.两角一边求角
2.两边对应角
1.三边求角
2.两边一角求边

二.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．




考向分析

考向一 正余弦的选择
【例1】(1)(2020·陕西省商丹高新学校)已知在中，，则_______．
(2)(2020·全国高三专题练习)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由于，
所以由正弦定理可得：，即：，解得：，
由于在中，，根据大边对大角可知：，则,
由，解得：，故答案为
(2)由正弦定理，得，结合可得，则.
【举一反三】
1．(2020·吉林高三其他模拟)在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则__．
【答案】5
【解析】因为，，，
所以由正弦定理，可得，解得．故答案为：5
2．(2020·海南华侨中学高三月考)在中，已知，，，则角的度数为______．
【答案】30°
【解析】由正弦定理，得，
又因为，故．故答案为：30°．
3．(2020·肥东县综合高中高三月考(文))在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则________．
【答案】
【解析】由正弦定理知，，所以，解得，
则或，又因为，所以为锐角，即，所以，
故答案为: .
4．(2020·上海市罗店中学)在中，已知，则=______
【答案】或.
【解析】在中，因为，
由正弦定理得，即所以，所以或
当时，得到，所以，故；
当时，得到，所以.
故答案为：或.
5．(2020·湖北高三月考)在中，，，则__________.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，解得.故答案为：
考向二 边角互换
【例2】(1)(2020·上海高三其他模拟)在锐角△中，角所对应的边分别为，若，则角等于________.
(2)(2020·上海格致中学高三月考)在三角形中，角的对边分别为，若，则角________
【答案】(1)(2)
【解析】(1)利用正弦定理化简，得，因为，所以，因为为锐角，所以．
(2)由得：，即，
，是三角形的内角，故答案为：.
【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习)在锐角中，角所对的边分别为，若，则角________．
【答案】
【解析】∵，∴ 根据正弦定理边角互化得：，
又∵，∴ ，∴ ，
∵为锐角三角形，∴ ∴ 故答案为：
2．(2020·全国高三专题练习)在中，角所对应的边分别为．已知，则______ ．
【答案】
【解析】将，利用正弦定理可得：，
即，∵，∴，利用正弦定理可得：，
则． 故答案为．
3．(2020·广东中山纪念中学高三月考)的内角的对边分别为若，则B=___________.
【答案】
【解析】已知， 由正弦定理可得，，
由，化简可得，∵，故．故答案为：
4．(2020·西安市第六十六中学高三期末(文))在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则角______.
【答案】
【解析】由正弦定理及
可得：,在中，，
∴,即∴，又B为三角形内角，∴=
故答案为:.
5．(2020·拉孜县中学高三月考)在中，角的对边分别为，且.则_________
【答案】
【解析】由正弦定理可知， 化简得，
，
又由，，得出，故答案为：.
考向三 三角形的面积公式
【例3】(1)(2020·天津耀华中学高三期中)在中..则的面积等于________．
(2)(2020·北京铁路二中高三期中)若的面积为，则________．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由余弦定理得，即，解得(舍去)，所以．故答案为：．
(2)因为，所以，
又因为，所以，解得，
因为，所以，故答案为：
【举一反三】
1．(2020·陕西高三三模)已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为__________.
【答案】
【解析】由于，，，
∵，∴，，
由余弦定理得，解得，
∴的面积.
故答案为：.
2．(2020·江西省信丰中学高三月考(文))在中，，，若的面积等于，则边长为__________．
【答案】
【解析】因为，故，所以.又，所以，故，从而，填．
3．(2020·黑龙江鹤岗一中高三月考(文))的内角，，的对边分别为，，．已知，，则的面积为_______．
【答案】
【解析】由已知条件及正弦定理可得，
易知，所以，
又，所以，
所以，所以，即，，
所以的面积．
故答案为：.
4．(2020·河南焦作·高三一模)在中，角，，的对边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为_______.
【答案】4
【解析】因为，所以，
因为已知的面积为，
所以，整理得，
由余弦定理得，所以.故答案为：
考向四 正余弦综合运用
【例4】(2020·江苏宿迁中学高三期中)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，，____________？
【答案】选择见解析；三角形存在，或4.
【解析】方案一：选条件①.
在中，由余弦定理得，
故.
由①和可得，从而.
由此可得，解得或4.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时或4.
方案二：选条件②.
在中，由余弦定理得，
故.
由②可得，解得或4.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时或4.
方案三：选条件③.
在中，由余弦定理得，
故.
由正弦定理和，得，
从而，
由此可得，解得或4.
因此，选条件③时问题中的三角形存在，此时或4.
【举一反三】
1．(2020·江苏高三期中)在①，②，③sinB+cosB=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，___________，A=，b=.
(1)求角B；
(2)求△ABC的面积.
【答案】条件选择见解析；(1)；(2).
【解析】(1)若选①，，则由余弦定理得
，
因为，所以
若选②，，由正弦定理得
，
又，所以，所以
又，，，
若选③，由得，
所以，又，
所以，，所以，
(2)由正弦定理得，又，，
所以，
，
所以
所以
2．(2020·江苏高三期中)在①a＝6；②a＝8；③a＝12这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sinB的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，且a2＋b2－c2=4，c=，__________？
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】由题意可知在△ABC中，因为a2＋b2－c2=4，
且，所以，
由余弦定理可知，
因为，且，所以，
若选①a＝6，由正弦定理可得，解得，
在△ABC中，因为c>a，所以C>A，又因为，则A只有一解，且，所以，
所以；
若选②a＝8，由正弦定理可得，解得，
在△ABC中，因为c