2021年高考艺术生数学基础复习 考点47 直线与曲线的最值问题（教师版含解析）

考点47  直线与曲线的最值问题

一.圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

1.是几何法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；

2.是代数法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解

二．解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：

①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；

③利用基本不等式求出参数的取值范围；

④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．

考向一 最值问题

【例1】(2021·漠河市高级中学高三月考(文))如图，已知椭圆上一点，右焦点为，直线交椭圆于点，且满足， ．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆相交于两点，求四边形面积的最大值．

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)为椭圆上一点，

又 ，可得，，即

所以椭圆的标准方程是.

(2)由(1)知，，直线的方程为，

联立 ，整理得：，

解得：，

设点，到直线的距离为和，

则，，

直线与椭圆相交于两点，

联立，整理得：，解得：.

.

设四边形面积为，则.

设，则，

当，即，即时，四边形面积有最大值.

【举一反三】

1．(2021·四川成都市·高三二模(理))已知椭圆：经过点，其长半轴长为2．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设经过点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求△的面积的取值范围．

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】(Ⅰ)由已知，即椭圆的方程为．

∵椭圆经过点，

∴，解得．

∴椭圆的方程为．

(Ⅱ)由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，．

由，消去，得．

∵，

∴，．

∵为点关于轴的对称点，

∴．

∴直线的方程为，即．

令，则．

∴．

∴△的面积．

令，则．

∴．

∵，

∴．

∴△的面积的取值范围为．

2．(2021·浙江省宁海中学高三月考)已知点，在直线：上(在上方)，，，斜率为的直线交抛物线：于点，，直线交抛物线于点，.

(1)求的取值范围；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)由题意可设：，由于与抛物线，直线均有交点，

故，，

联立与的方程得到，得，

而，得到，

得，

由于与抛物线、直线均有交点，故得，

综上，.

(2)设，，，，则

，，

故，

记，到直线的距离分别为，

则，

设：，其中，与抛物线联立得

，由韦达定理得，

同理设：，由韦达定理得

故

，

由(1)可知，，

故，

当且仅当，即等

故的取值范围是.

考向二 综合运用

【例2】(2021·浙江高三其他模拟)如图，椭圆的左顶点为，离心率为，长轴长为4，椭圆和抛物线有相同的焦点，直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点．

(1)求抛物线的方程；

(2)若点，满足，，求的取值范围．

【答案】(1)；(2)．

【解析】(1)因为椭圆的离心率为，长轴长为4，，所以，，

因为椭圆和抛物线有相同的焦点，所以，即，

所以抛物线的方程为．

(2)由(1)知椭圆，

由得，

，得，．

设，，

则，

所以．

易知，所以．

由得．

，得．

设，，

则，

所以，

所以．

所以

，，

易知函数在上单调递减，

所以

【举一反三】

1．(2021·辽宁铁岭市·高三一模)已知椭圆方程，直线与轴相交于点，过右焦点的直线与椭圆交于，两点．

(1)若过点的直线与垂直，且与直线交于点，线段中点为，求证：．

(2)设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否垂直，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析；(2)是垂直；证明见解析．

【解析】(1)由椭圆方程为知，右焦点坐标，

直线方程为，点坐标．

由知，直线斜率不为0，

故设直线的方程为，

从而，直线的方程为，

令得，点坐标为，

故直线的方程来，

联立方程组，消去得：，

设，，

即，，

从而，线段的中点，

，

综上可知，．

(2)

(ⅰ)当直线的斜率为0时，点即为点，从而．

(ⅱ)当直线的斜率不为0时，

由(1)知，，，

所以，则，

直线的方程为，

又，令，得，

所以点的坐标为，即．

2．(2021·浙江期末)如图，已知A，B，C，D是抛物线上四个不同的点，且，设直线与直线相交于点P，设．

(1)求证：A，P，B三点的横坐标成等差数列；

(2)当直线经过点，且时，若面积的为，求直线的方程．

【答案】(1)证明见解析；(2)．

【解析】(1)由题意，点A，B，C，D是抛物线上四个不同的点，

设，

因为．所以，即，化简得：， ①

因为，所以，解得，

因为，，所以，

于是，所以， ②

由①②可知，即A，P，B三点的横坐标成等差数列．

(2)设直线的方程为，代入，得，

所以，且，所以，

由(1)可知，且，可得，

同理．

由，得，即，

同理可得，

所以是方程的两个实根，于是，

又因为，，所以，解得，

设线段的中点为M，则，

所以，

于是，

因为面积的为，所以，解得，

所以直线的方程为．

1．(2021·天津高三月考)已知椭圆的左焦点为F，离心率，长轴长为4.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)过点F的直线l与椭圆交于M，N两点(非长轴端点)，的延长线与椭圆交于P点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)2，或.

【解析】(Ⅰ)因为椭圆长轴长为4，所以，

因为椭圆的离心率为，所以，

又，解得，

所以椭圆C的方程为；

(Ⅱ)法一：设的方程为，

联立方程组

  ，

，

原点到直线的距离

点P到直线的距离为 ，

，

令 ，

，

当时，面积取到最大值2，

此时，直线l的方程为或.

法二：

当k不存在时，

；

②当k存在且时，设直线方程为，

与椭圆方程联立，

可得，

显然，，

∴

，

∴，

，

令 ，

∴上式，

∴上式，

当且仅当，即时，取到最值.

综上，当时，取得最大值2.

此时，直线l的方程为或.

2．(2021·湖北武汉市)已知椭圆过点，离心率.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线与椭圆相交于，两点.

①当直线，的斜率之和为时(其中为坐标原点)，求直线的斜率；

②求的取值范围.

【答案】(1)；(2)①；②．

【解析】(1)由题意得，解得，.

设椭圆E的方程为，又因为点在椭圆E上，

所以，，

所以椭圆E的方程为；

(2)①设直线l方程为：，代入椭圆E的方程可得，

因为直线l与椭圆E有两个交点，所以，即.

设，，则，，

.

又

解得，经检验成立.所以，直线l的斜率；

②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，

将代入，解得，则，，

当直线l的斜率存在时，由(2)①得

因为，所以的范围为．

综上，得的取值范围是．

3．(2021·内蒙古高三月考(文))已知椭圆的离心率，其左，右集点为，过点的直线与椭圆交于两点､的周长为.

(1)求椭圆的标准方程：

(2)过右焦点的直线互相垂直，且分别交椭圆于和四点，求的最小值

【答案】(1)；(2)最小值为.

【解析】(1)由椭圆的定义知，的周长为，

由，即，得

，

故椭圆的方程为：

(2)由(1)得，椭圆右焦点为，设，，，

①当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，

直线，此时；直线，此时；

②当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，；

③当直线，的斜率都存在，设直线的方程为，则直线的方程为

联立，整理得

恒成立，则

同理可得

则

令，则

当时，，则

所以

综上可知，，的最小值为

4．(2021·江西上高二中)已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点，分别以为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.

(1)求动点的轨迹方程；

(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程.

【答案】(1)；(2)1，.

【解析】(1)设，，，

则以A为切点的切线为，整理得：，

同理：以为切点的切线为：，

联立方程组：，解得，

设直线的方程为：，

联立方程组，整理得：，

恒成立，     

由韦达定理得：，，故，

所以点的轨迹方程为；

(2)由(1)知：，     

到直线的距离为：，                       

∴，                     

∴时，取得最小值，此时直线的方程为.

5．(2021·浙江)如图，点在抛物线外，过点作抛物线的两切线，设两切点分别为、，记线段的中点为．

(1)证明：线段的中点在抛物线上；

(2)设点为圆上的点，当取最大值时，求点的纵坐标．

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】(1)设直线的方程为，

联立，可得，

，，

所以，直线的方程为，即，

同理可知直线的方程为.

联立，解得，即点，

线段的中点为，

所以，线段的中点为，

因此，，因此，线段的中点在抛物线上；

(2)由(1)知，，

，

，

令，则，

所以，，

所以，当时，即当时，取最大值，

此时，解得，

因此，当取最大值时，点的纵坐标为.

7．(2021·深州长江中学)已知直线：与轴交于点，且，其中为坐标原点，为抛物线：的焦点.

(1)求拋物线的方程；

(2)若直线与抛物线相交于，两点(在第一象限)，直线，分别与抛物线相交于，两点(在的两侧)，与轴交于，两点，且为中点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；

(3)在(2)的条件下，求的面积的取值范围.

【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).

【解析】(1)由已知得，且为的中点，所以 .

所以，解得，

故抛物线的方程为.

(2)证明：联立，解得 ，，

由为的中点得.

不妨设，，其中 .

则，.

所以，

即为定值.

(3)由(2)可知直线的方程为，即 ，

与抛物线联立，消 x可得，

解得或(舍)，

所以，即 ，

故点到直线的距离.

设过点的抛物线的切线方程为，

联立得 ，

由，得，

所以切线方程为，令，得 ，

所以要使过点的直线与抛物线有两个交点，，

则有，

又，

所以，

即，故 的面积的取值范围为.

8(2021·浙江高三其他模拟)已知椭圆：的左、右焦点分别是，，且经过点，直线与轴的交点为，的周长为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若是坐标原点，，两点(异于点)是椭圆上的动点，且直线与直线的斜率满足，求面积的最大值．

【答案】(1)；(2)．

【解析】(1)∵的周长为，

∴，∴．

将代入，得，解得．

∴椭圆的标准方程是．

(2)由题意知直线的斜率存在且不为0，

设直线的方程为，，，

将与联立并消去，整理得，

则，．

∵，

∴，

∴，

化简得，

∴或(舍去)．

当时，，则，得．

，

原点到直线的距离，

∴，

当且仅当，即时取等号，经验证，满足题意．

∴面积的最大值是．

9．(2021·全国高三月考(理))如图，已知椭圆的右焦点为，原点为，椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为，椭圆在点处的两切线的交点为.

(1)求证：三点共线；
 

(2)求的最小值.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】(1)椭圆的右焦点为，

设所在的直线的方程为，且

联立方程组可得：

则，，点的坐标为，

所在的直线的方程为，

设在点处的切线为：，与椭圆联立后由，可得，整理得：椭圆在处的切线方程为，，

联立方程组，

解得点的坐标为，

，

故三点共线.

(2)由(1)可知，

，

当且仅当即时，等号成立.

10．(2021·浙江高三其他模拟)设为坐标原点，是轴上一点，过点的直线交抛物线：于点，，且．

(1)求点的坐标；

(2)求的最大值．

【答案】(1)；(2)2．

【解析】(1)设，，，

则，解得，

设直线，联立方程，得得，

由根与系数的关系知，，所以，

故点的坐标为．

(2)由(1)知，，．

易知，，

所以，

则．

令，，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即的最大值是2，当且仅当时取等号．