2021年高考艺术生数学基础复习 考点44 双曲线（教师版含解析）

这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点44 双曲线（教师版含解析），共29页。教案主要包含了直线与曲线的位置关系，弦长，离心率与渐近线等内容，欢迎下载使用。

考点44 双曲线
知识理解

一．双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
二.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.
三．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形


性质
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：x轴，y轴
对称中心：(0,0)
对称轴：x轴，y轴
对称中心：(0,0)
顶点
顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)

四．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．
例：由消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：
Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
考向分析
考向一 双曲线的定义
【例1-1】(2021·浙江省德清县第三中学)已知双曲线的左､右焦点分别为､，若点在的右支上，且，则( )
A．3 B．5 C． D．
【答案】B
【解析】由题可知：双曲线方程为，所以又，所以
故选：B
【例1-2】．(2020·河北张家口市)已知，动点P满足，当分别为4和12时，点P的轨迹分别为( )
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
【答案】C
【解析】由题意，得
当时，，可知点P的轨迹为双曲线左支；
当时，，可知点P的轨迹为以为端点的一条射线.故选：C
【例1-3】．(2021·全国课时练习)已知F1，F2分别为双曲线C：的左､右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|等于________.
【答案】4
【解析】由双曲线方程知：，
在△PF1F2中，由余弦定理知：
，
∴，而，
∴.
故答案为：4.
【方法总结】双曲线定义
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．
(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．
(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．


【举一反三】
1．(2021·上海普陀区)设P是双曲线上的点，若，是双曲线的两个焦点，则( )
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】C
【解析】由双曲线可得
根据双曲线的定义可得：
故选：C
2．(2021·上海市)已知两点和，动点满足，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．一条射线 D．双曲线的右支
【答案】C
【解析】由两点和，动点满足，
所以动点的轨迹是一条射线.故选：C
3．(2021·浙江省宁海中学高三月考)在平面直角坐标系中，，，()，若点的轨迹为双曲线，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，由点的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.则，所以 故选: A
4．(2021·全国高三专题练习)已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为____________
【答案】
【解析】双曲线，则，所以，
利用双曲线定义知， ，
两边平方得，且，
由余弦定理，
解得：，则.
故答案为：

考向二 双曲线的标准方程
【例2-1】(2021·福建龙岩市)“”是“方程表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若方程表示双曲线，
则，得，
则能推出，不能推出，
“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，
故选：A．
【例2-2】．(2021·全国课时练习)过点(1,1)，且的双曲线的标准方程是( )
A． B．
C． D．或
【答案】D
【解析】由，知：.
当焦点在x轴上时，设双曲线方程为，将点(1,1)代入可得，则双曲线方程为.同理，焦点在y轴上时，双曲线方程为.故选：D

【举一反三】
1．(2021·海原县第一中学)根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)焦点在轴上，离心率，求双曲线的标准方程；
(2)，，焦点在轴上，求双曲线的标准方程．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由题意可得，，，
因为双曲线的焦点在轴上，因此，双曲线的标准方程为；
(2)由已知条件可得，解得，，
因为双曲线的焦点在轴上，因此，双曲线的标准方程为
2．(2021·浙江)已知曲线，( )
A．若E表示双曲线，则 B．若，则E表示双曲线
C．若E表示椭圆，则 D．若且，则E表示椭圆
【答案】D
【解析】因为曲线，当解得或时曲线表示双曲线；
当即且时曲线表示椭圆；故选：D
3．(2021·江苏南通市)命题“”是命题“曲线表示双曲线”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】命题“曲线表示双曲线”，则，即，
解得由于命题能推出命题，命题不能推出命题则命题是命题的充分不必要条件
故选：C
考向三 直线与曲线的位置关系
【例3】(2021·全国课时练习)若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，求实数k的取值范围．
【答案】
【解析】4x2－y2＝16渐近线方程为，因为直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，所以k≠±2，
将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由可得，解得.
【举一反三】
1．(2021·徐汇区·上海中学)已知直线与双曲线，则为何值时，直线与双曲线有一个公共点？
【答案】或．
【解析】由得，
因为直线与双曲线有一个公共点，所以或，解得或．
2．(2021·江苏南通市)直线与双曲线有且只有一个公共点，则的取值有( )个
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】联立，消去并整理得，
由于直线与双曲线有且只有一个公共点，
所以，或，
解得或，对于方程，判别式为，方程有两个不等的实数解.显然不满足方程.
综上所述，的取值有个.故选：D.
3．(2021·陕西宝鸡市)如果直线与双曲线只有一个交点，则符合条件的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【解析】由，得，
若，即，
时，，方程组只有一解；时，，方程组只有一解；
时，，，此时方程组也只有一解．
方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条．
故选：D．
考向四 弦长
【例4】(2020·全国高三专题练习)直线x＋y＝1与双曲线4x2－y2＝1相交所得弦长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将直线代入得.
设两交点，则，
.故选:B．
【举一反三】
1．(2020·辽宁朝阳市·高三月考)直线与双曲线有两个交点为，，则( )
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】由，得，，∴.
故选：C．
2．(2021·全国高三专题练习)过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝( )
A．2 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.
所以x1x2＝＝10.
所以|AB|＝·＝4.
故选:D.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，　①
.　②
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.
由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.
故选：D
考向五 离心率与渐近线
【例3】(2021·浙江湖州市)双曲线的离心率是_______，渐近线方程是_______．(两条都写出)
【答案】
【解析】由题可知，，故
渐近线方程为：即.故答案为：；
【举一反三】
1．(2021·浙江杭州市·学军中学)双曲线的渐近线方程是___________；离心率为___________.
【答案】
【解析】由双曲线方程得：，则
因此渐近线方程是；离心率为故答案为：；
2．(2021·湖北高三一模)已知分别是双曲线的左､右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率为___________.
【答案】5
【解析】设
双曲线的离心率.
故答案为：
3．(2020·河北张家口市)已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，则双曲线的离心率为_____________.

【答案】
【解析】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为，
根据椭圆及双曲线的定义：，
所以，，
由余弦定理可得，，
整理得，.故答案为：.
强化练习

1．(2021·甘肃高三一模(文))设，是双曲线的左、右焦点，一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且，则的面积等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线方程知其渐近线方程为：，又一条渐近线方程为，，
由双曲线定义知：，
解得：，，又，
，，
.
故选：A.
2．(2021·甘肃兰州市·高三其他模拟(文))点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的一条渐进方程是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，
因为，由双曲线的定义，可得，解得，
所以双曲线的一条渐进方程是，即.
所以双曲线的一条渐进方程是.
故选：C.
3．(2021·云南高三其他模拟(理))设双曲线：的左､右焦点分别为，，若为右支上的一点，且，则( )
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】易知，则，.
因为为右支上的一点，所以.
因为，所以，
则，解得，所以，
故.
故选：A
4．(2021·江西赣州市·高三期末(理))已知双曲线的离心率为，则实数的值为( )
A．1 B． C． D．1或
【答案】D
【解析】当焦点在轴时，，即
(舍)
当焦点在轴上时，，即
，(舍)，
故选：D
5．(2021·定远县育才学校)已知方程的图像是双曲线，那么k的取值范围是( )
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】因为方程的图像是双曲线，所以，解得或，故选：C
6．(2021·陕西省黄陵县中学)若方程表示双曲线，则的取值范围是( )
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】由题意，解得或．故选：A．
7．(2021·全国单元测试)焦距为10，且的双曲线的标准方程为( )
A． B．
C． D．或
【答案】D
【解析】由题意知2c＝10，c＝5，又，c2＝b2＋a2，
∴a2＝9，b2＝16，
∴所求双曲线的标准方程为或．
故选：D．
8．(2021·江西上)已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和顶点，则双曲线的方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由椭圆可得，，所以，
可得，
所以椭圆的长轴端点为，焦点为
所以双曲线的焦点为，顶点为
设双曲线方程为，可得，，
所以，
所以双曲线的方程为，
故选：C.
9．(2021·安徽)已知双曲线：经过点，则的渐近线方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意可得，解得，所以双曲线：，所以，
则的渐近线方程为.
故选：C．
10．(2021·安徽淮南市)已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设双曲线的标准方程为，，
由已知条件可得，解得，
因此，该双曲线的标准方程为.
故选：B
11．(2021·宁夏银川市·银川一中)已知两定点，曲线上的点P到的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
该曲线是以为焦点的双曲线，
，，即，
，
则该曲线的方程为.
故选：A.
12．(2021·全国高三月考(理))已知双曲线的一个顶点坐标为，且该双曲线的离心率是，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】据题意，得
所以.
又该双曲线的离心率等于，所以，
所以．
故选：C．
13．(2021·全国高三月考(文))若双曲线的离心率等于，则该双曲线的渐近线方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】据题意，得，所以，所以所求双曲线渐近线的方程为
故选：C.
14．(2021·浙江高三其他模拟)已知双曲线的焦距为10，则双曲线的渐近线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的焦距为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，
故选：D．
15．(2021·湖北黄石市·黄石二中)已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】联立直线方程和双曲线方程，化为，
因为直线与双曲线的右支交于不同两点，
所以，且，，
解得，
所以实数的取值范围为，
故选：D
16．(2020·全国高三专题练习)过点与双曲线只有一个公共点的直线有( )条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为双曲线的方程为，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
又点在直线上，
如图所示：

当过点的直线与直线平行或与x轴垂直(过右焦点)时，与双曲线只有一个公共点，
所以这样的直线有2条．
故选：B
17．(多选)(2020·江苏)关于、的方程(其中)对应的曲线可能是( )
A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线
【答案】ABC
【解析】对于A选项，若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得，
即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，A选项正确；
对于B选项，若方程表示在焦点在轴上的椭圆，
则，解得，
即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，B选项正确；
对于C选项，若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，
则，解得，
即当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，C选项正确；
对于D选项，若表示焦点在轴上的双曲线，
则，这样的不存在，D选项错误.
故选：ABC.
18．(多选)(2021·广东东莞市)已知曲线，则下列选项正确的是( )
A．，曲线表示椭圆
B．，曲线表示椭圆
C．，曲线表示双曲线
D．，曲线表示双曲线
【答案】BD
【解析】时，，，方程表示双曲线，A错；
时，，且，方程表示椭圆，B正确；
时，，且，方程表示椭圆，C错；
时，，方程表示双曲线，D正确．
故选：BD．
19．(多选)(2021·福建漳州市·龙海二中高三月考)已知直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率可能为( )
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，故有.
即，
所以，
所以.
故选：BC.
20．(多选)(2020·武冈市第二中学)已知直线过点，且与双曲线仅有一个公共点，则直线的方程可能为( )
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】双曲线的渐近线方程为，
因为点为双曲线的一个顶点，
所以过点，且与双曲线仅有一个公共点的直线为
，或，或，
即满足的直线可以为，或，
故选：ACD
21．(2021·全国高三专题练习)已知双曲线的离心率为，则( )
A．的焦点在轴上 B．的虚轴长为2
C．直线与相交的弦长为1 D．的渐近线方程为
【答案】BC
【解析】由可知双曲线的焦点在轴上，A错误；
的离心率，解得，的虚轴长为，故B正确；
由B选项知，把代入双曲线的方程得，故弦长为1，C正确；
由B选项知且，且焦点在x轴上，双曲线的渐近线方程为，故D错误.
故选：BC.
22．(2021·广西玉林市)已知双曲线的左､右焦点分别是，，点关于，对称的点分别是，，线段的中点在双曲线的右支上，则___________.
【答案】
【解析】如图，设线段的中点为.
由双曲线的定义可得.
由对称性可得，，分别是线段，，的中点，则，，
故.

故答案为：16
23．(2021·赣州市赣县第三中学)若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围___________.
【答案】
【解析】方程，表示焦点在轴上的双曲线，
，
．
故答案为：
24．(2021·湖北高三月考)写出一个渐近线的倾斜角为且焦点在y轴上的双曲线标准方程___________.
【答案】(答案不唯一)
【解析】如，焦点在y轴上，令，得渐近线方程为，
其中的倾斜角为.
故答案为：(答案不唯一).
25．(2020·北京人大附中高三月考)若直线l：与双曲线C：有两个公共点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】联立方程组 ，整理得，
因为直线l：与双曲线C：有两个公共点，
所以，解得，且，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
26．(2021·全国课时练习)求双曲线被直线截得的弦长______________．
【答案】
【解析】联立方程组，整理得，
设直线与双曲线交于两点，设，
则，
由弦长公式可得.
故答案为：.
27．(2021·河南新乡市)过双曲线：的右焦点作圆：的切线，此切线与的右支交于，两点，则___________.
【答案】
【解析】因为直线过双曲线的右焦点且与圆相切，所以直线的斜率存在，
设直线方程为()，由直线与圆相切知，解得或，
当时，双曲线的一条渐近线的斜率是，，该直线不与双曲线右支相交于两点，故舍去；
所以直线方程为，联立双曲线方程，消元得.
设，，则，，
所以.
故答案为：
28．(2020·全国课时练习)已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长________.
【答案】10
【解析】∵双曲线：的一条渐近线方程是，
∴，即，∵左焦点，∴
∴，∴，，
∴双曲线方程为，直线的方程为，
设，由，
消可得，∴，，
∴．
故答案为：10.
29．(2020·全国高三专题练习)过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线l与双曲线的交点为A、B，则|AB|＝_____.
【答案】3
【解析】双曲线焦点坐标为F1(－2，0)、F2(2，0)，直线AB的方程为y＝ (x＋2)
把该直线方程代入双曲线方程得，8x2－4x－13＝0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
所以x1＋x2＝，x1x2＝
|AB|＝·＝×＝3
故答案为：3
30．(2020·江苏宿迁市·宿迁中学高三期中)倾斜角为的直线过双曲线的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则_________.
【答案】
【解析】由双曲线标准方程可知：，所以有，
因此焦点的坐标为，由双曲线的对称性不妨设，直线过右焦点，
所以直线方程方程为，与双曲线联立得：
，设，，
因此有：，
所以.
故答案为：
31．(2021·北京海淀区·高三期末)已知双曲线的左右焦点分别为，，点，则双曲线的渐近线方程为__________；__________.
【答案】
【解析】因为双曲线，半实轴，半虚轴,
所以渐近线方程为，即；
因为满足双曲线方程，且在双曲线的左支上，根据双曲线的定义得，
所以-2.
故答案为：；-2
32．(2021·全国课时练习)已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
【答案】(1)；(2)0，，.
【解析】(1)由，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴
解得，且，
∴k的取值范围为．
(2)结合(1)，设A(x1，y1)、B(x2，y2)．则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴，
∵点O到直线l的距离d＝，
∴，解得，
故或，检验符合.
故实数k的值为0，，.
33．(2021·六安市裕安区新安中学)已知双曲线及直线．
(1)若与有两个不同的交点，求实数的取值范围．
(2)若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长．
【答案】(1)且；(2)．
【解析】(1)联立y=2可得．
∵与有两个不同的交点，
．
且，
且．
(2)设，．
由(1)可知，．
又中点的横坐标为．
，
，
或．
又由(1)可知，为与有两个不同交点时，．
．
．
34．(2020·福建福州)双曲线C：，过点，作一直线交双曲线于A、B两点，若P为的中点．
(1)求直线的方程；
(2)求弦的长
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)设，P为的中点
，，
两式相减得：，
，
所以
所以直线的斜率，
直线的方程即，
将代入双曲线，
满足题意
所以直线的方程；
(2)由(1)将代入双曲线，
，

35．(2021·全国高三专题练习)过双曲线的右焦点F作斜率为2的直线l，交双曲线于A，B两点.
(1)求双曲线的离心率和渐近线；
(2)求的长.
【答案】(1)，渐近线方程为；(2).
【解析】(1)因为双曲线方程为，
所以，
则，
所以，渐近线方程为.
(2)双曲线右焦点为，则直线l的方程为
代入双曲线中，化简可得
设，
所以，，
所以.