试卷 2021年甘肃省平凉市崆峒区中考数学一模试卷

这是一份试卷 2021年甘肃省平凉市崆峒区中考数学一模试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，解答题二等内容，欢迎下载使用。

2021年甘肃省平凉市崆峒区中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（﹣1）2＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．（3分）下列图形一定是相似图形的是（　　）
A．任意两个菱形 B．任意两个正三角形
C．两个等腰三角形 D．两个矩形
3．（3分）﹣2的倒数是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
4．（3分）cos45°的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）小杰从正面（图示“主视方向”）观察左边的热水瓶时，得到的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），则k的值是（　　）
A．﹣ B．﹣ C．6 D．﹣6
7．（3分）两个相似三角形的相似比是1：4，那么它们的面积比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．1
8．（3分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是xkm，则据题意列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．（4分）把数字35980000用科学记数法表示为　 　．
12．（4分）使有意义的x的取值范围是　 　．
13．（4分）因式分解：ab2﹣4a＝　 　．
14．（4分）求值：2sin30°＝　 　．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝　 　．
16．（4分）如图，在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N．若AM＝2，MB＝4，BC＝6，则MN的长为　 　．

17．（4分）若sin（x﹣30°）＝，则x＝　 　．
18．（4分）下列用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2021个图共有　 　枚棋子．

三、解答题（共5小题，满分38分）
19．（5分）计算：（）﹣2﹣|﹣1+|+2sin60°+（﹣1﹣）．
20．（5分）如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等．发射塔P建在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹）．

21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．

22．（10分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．

23．（10分）如图，AB和CD是同一地面上的两座相距39米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°．求楼CD的高（结果保留根号）．

四、解答题二（共5小题，清分50分）
24．（8分）有3张背面相同的纸牌A，B，C，其正面分别画有三个不同的几何图形（如图）．
（1）将这3张紙牌背面朝上洗匀后摸出一张，求摸出的图案是圆的概率；
（2）这3张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张，用树状图或列表法求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率．

25．（10分）2016年《政府工作报告》中提出了十大新词汇，为了解同学们对新词汇的关注度，某数学兴趣小组选取其中的A：“互联网+政务服务”，B：“工匠精神”，C：“光网城市”，D：“大众旅游时代”四个热词在全校学生中进行了抽样调查，要求被调查的每位同学只能从中选择一个我最关注的热词．根据调查结果，该小组绘制了如下的两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了多少名同学？
（2）条形统计图中，m＝　 　，n＝　 　；
（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是多少度？
26．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求DF的长．

27．（10分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长．

28．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．


2021年甘肃省平凉市崆峒区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（﹣1）2＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据乘方的定义：（﹣1）2表示两个﹣1的乘积，即可求解．
【解答】解：（﹣1）2＝1．
故选：A．
2．（3分）下列图形一定是相似图形的是（　　）
A．任意两个菱形 B．任意两个正三角形
C．两个等腰三角形 D．两个矩形
【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
【解答】解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；
C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；
D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．
故选：B．
3．（3分）﹣2的倒数是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣，
故选：C．
4．（3分）cos45°的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可得出结论．
【解答】解：cos45°＝．
故选：B．
5．（3分）小杰从正面（图示“主视方向”）观察左边的热水瓶时，得到的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看可得到图形的左边是一个小矩形，右边是一个同心圆，故选C．
6．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），则k的值是（　　）
A．﹣ B．﹣ C．6 D．﹣6
【分析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），
∴k＝﹣2×3＝﹣6．
故选：D．
7．（3分）两个相似三角形的相似比是1：4，那么它们的面积比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．1
【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：4，
∴它们的面积比是1：16．
故选：C．
8．（3分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是xkm，则据题意列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先设他家到学校的路程是xkm，再把10分钟、5分钟化为小时的形式，根据题意列出方程，选出符合条件的正确选项即可．
【解答】解：设他家到学校的路程是xkm，
∵10分钟＝小时，5分钟＝小时，
∴+＝﹣．
故选：A．
9．（3分）某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，再根据在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，即可求出他遇到黄灯的概率．
【解答】解：∵经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯，
∴在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，
∵在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，
∴遇到黄灯的概率为1﹣﹣＝；
故选：D．
10．（3分）学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的（　　）
A． B．
C． D．
【分析】国旗的高度是徐徐上升的，高度从0开始，不断增大，图象为正比例函数图象．
【解答】解：根据题意：徐徐上升的国旗的高度与时间的变化是稳定的，即为直线上升．
故选：A．
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．（4分）把数字35980000用科学记数法表示为　3.598×107　．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：35980000＝3.598×107．
故答案为：3.598×107．
12．（4分）使有意义的x的取值范围是　x≥1　．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣1≥0，解得x≥1．
故答案为：x≥1．
13．（4分）因式分解：ab2﹣4a＝　a（b+2）（b﹣2）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（b2﹣4）
＝a（b+2）（b﹣2），
故答案为：a（b+2）（b﹣2）
14．（4分）求值：2sin30°＝　1　．
【分析】根据特殊教的三角函数值直接解答．
【解答】解：2sin30°＝2×＝1．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝　　．
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．
【解答】解：由sinA＝＝知，可设a＝3x，则c＝5x，b＝4x．
∴tanA＝＝＝．
16．（4分）如图，在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N．若AM＝2，MB＝4，BC＝6，则MN的长为　6　．

【分析】首先判定△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质可得，然后再代入相应数据可得答案．
【解答】解：∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∵AM＝2，MB＝4，BC＝6，
∴，
∴MN＝6．
故答案为：6．
17．（4分）若sin（x﹣30°）＝，则x＝　90°　．
【分析】根据特殊角的三角函数值得出x﹣30°＝60°，再求出答案即可．
【解答】解：∵sin（x﹣30°）＝，
∴x﹣30°＝60°，
∴x＝90°，
故答案为：90°．
18．（4分）下列用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2021个图共有　6064　枚棋子．

【分析】根据图形的变化规律，寻找第n个图的一般形式，然后代入数值计算即可．
【解答】解：观察图形可知：
第1个图形的棋子个数为1×3+1＝4，
第2个图形的棋子个数为2×3+1＝7，
第3个图形的棋子个数为3×3+1＝10，
第4个图形的棋子个数为4×3+1＝13，
…
第n个图形的棋子个数为3n+1．
当n＝2021时，3×2021+1＝6064个，
故答案为：6064．
三、解答题（共5小题，满分38分）
19．（5分）计算：（）﹣2﹣|﹣1+|+2sin60°+（﹣1﹣）．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣（﹣1）+2×﹣1﹣
＝4﹣+1+﹣1﹣
＝4﹣．
20．（5分）如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等．发射塔P建在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹）．

【分析】作线段AB的垂直平分线，再作直线m与n的夹角的角平分线，两线的交点就是P点．
【解答】解：如图所示．

21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．

【分析】根据勾股定理求出AC，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC＝＝＝8，
所以sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，tanA＝＝＝．
22．（10分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．

【分析】根据相似三角形的性质得出＝，进而代入求出即可．
【解答】解：根据题意得出：QR∥ST，
则△PQR∽△PST，
故＝，
∵QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，
∴＝，
解得：PQ＝90（m），
∴河的宽度为90米．
23．（10分）如图，AB和CD是同一地面上的两座相距39米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°．求楼CD的高（结果保留根号）．

【分析】在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可．
【解答】解：延长过点A的水平线交CD于点E，则有AE⊥CD，四边形ABDE是矩形，AE＝BD＝39米．
∵∠CAE＝45°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴CE＝AE＝39米．
在Rt△AED中，tan∠EAD＝，
∴ED＝39×tan30°＝13米，
∴CD＝CE+ED＝（39+13）米．
答：楼CD的高是（39+13）米．

四、解答题二（共5小题，清分50分）
24．（8分）有3张背面相同的纸牌A，B，C，其正面分别画有三个不同的几何图形（如图）．
（1）将这3张紙牌背面朝上洗匀后摸出一张，求摸出的图案是圆的概率；
（2）这3张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张，用树状图或列表法求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率．

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9个等可能的结果，摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将这3张紙牌背面朝上洗匀后摸出一张，摸出的图案是圆的概率为；
（2）画树状图如图：

共有9个等可能的结果，摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的结果有4个，
∴摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率为．
25．（10分）2016年《政府工作报告》中提出了十大新词汇，为了解同学们对新词汇的关注度，某数学兴趣小组选取其中的A：“互联网+政务服务”，B：“工匠精神”，C：“光网城市”，D：“大众旅游时代”四个热词在全校学生中进行了抽样调查，要求被调查的每位同学只能从中选择一个我最关注的热词．根据调查结果，该小组绘制了如下的两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了多少名同学？
（2）条形统计图中，m＝　60　，n＝　90　；
（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是多少度？
【分析】（1）根据A的人数为105人，所占的百分比为35%，求出总人数，即可解答；
（2）C所对应的人数为：总人数×30%，B所对应的人数为：总人数﹣A所对应的人数﹣C所对应的人数﹣D所对应的人数，即可解答；
（3）根据B所占的百分比×360°，即可解答．
【解答】解：（1）105÷35%＝300（人），答：一共调查了300名同学，
（2）n＝300×30%＝90（人），m＝300﹣105﹣90﹣45＝60（人）．
故答案为：60，90；
（3）×360°＝72°．
答：扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是72度．
26．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求DF的长．

【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出DF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE＝x，则 DE＝x，AE＝6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，
∴x2＝42+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∵DF＝．
27．（10分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长．

【分析】（1）连接OD，只要证得∠EDO＝90°即可得到DE是⊙O的切线；
（2）根据线段中点的定义和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∵OA＝OB，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝4（cm），
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AC＝AB，
∵AD＝3cm，
∴AC＝＝＝5（cm），
∵DE⊥AC，
∴DE＝＝＝（cm），
∴AE＝＝＝（cm）．

28．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y＝mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，
得，
解之得：，
∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；

（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；

（3）设P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1＝，t2＝；
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．