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试卷 2021年辽宁省鞍山市铁东区中考数学一模试卷
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这是一份试卷 2021年辽宁省鞍山市铁东区中考数学一模试卷，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省鞍山市铁东区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）|﹣|的值是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．﹣ D．
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．球
3．（3分）习近平总书记提出了未来五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为（ ）
A．1.17×107 B．11.7×106 C．0.117×107 D．1.17×108
4．（3分）如图，AB∥CD，点E在CD上，点F在AB上，如果∠CEF：∠BEF＝6：7，∠ABE＝50°，那么∠AFE的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
5．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．2a2+3a2＝5a5
C．a10÷a5＝a2 D．（xy2）3＝x3y6
6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，OC＝2，则弦AB的长为（ ）
A．2 B． C．2 D．
7．（3分）如图，点A（2，m）在反比例函数y＝上，点B在反比例函数y＝上，OB⊥OA，AB∥y轴，则k的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4
8．（3分）如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB＝2，连接BF，过A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为（ ）
A． B． C．3﹣ D．3+
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）一圆锥的底面圆半径为2cm，母线长为3cm，则侧面积为 ．
10．（3分）分解因式：3m2x﹣6mx+3x＝ ．
11．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，把△ABC绕点C顺时针旋转45°得到△A'CB'，边A'C、A'B'分别交AB于E、F，则A'E的长为 ．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系第一象限中，线段AB、CD是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，AB⊥x轴，点A、点C在x轴上，AC＝CD＝6，则B点坐标为 ．
14．（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为 ．
15．（3分）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，连接OP交AB于点C，交弧AB于点D，∠APB＝70°，点Q为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为 ．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0； ③4a+c＞0； ④若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；⑤当图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣，其中正确的结论有 ．
三、解答题：（17题满分16分，18题满分16分，共16分）
17．（8分）先化简，再求值：（+2）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示：（每个方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；写出B点对应点B1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请你求出线段OB1旋转过程中扫过的面积．
四、解答题：（19题10分，20题、21题、22题每小题10分，共40分）
19．（10分）春节期间，全国爆发了新型冠状病毒传染的肺炎，对环境的治理工作迫在眉睫．某社区为了疫情防控落实到位，社区成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
20．（10分）近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图无人机从A处观测，测得某建筑物顶点O的俯角为22°，继续水平前行10米到达B处，测得俯角为45°，已知无人机的飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（精确到0.1米）参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈．
21．（10分）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．
求证：（1）△ABF≌△DAE；
（2）DE＝BF+EF．
22．（10分）如图，直线y＝mx+6与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（，n）与x轴交于点B（﹣3，0），M为该图象上任意一点，过M点作x轴的平行线交y轴于点P，交AB于点N．
（1）求m、n的值和反比例函数的表达式；
（2）若点P为MN中点时，求△AMN的面积．
五、解答题：（本题10分）
23．（10分）如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．
（1）求证：DC与⊙O相切；
（2）若⊙O半径为4，，求AC的长．
六、解答题：（本题10分）
24．（10分）某企业接到一批防护服生产任务，按要求15天完成，已知这批防护服的出厂价为每件80元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制．该企业第x天生产的防护服数量为y件，y与x之间的关系可以用图中的函数图象来刻画．
（1）直接写出y与x的函数关系式 ；
（2）由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件50元，从第6天起每件服装的成本比前一天增加2元，设第x天创造的利润为w元，直接利用（1）的结论，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝出厂价﹣成本）
七、解答题：（本题12分）
25．（12分）已知Rt△ABC和Rt△DEB中，∠ACB＝∠DEB＝90°，∠ABC＝∠DBE，DE＝kAC．（其中0＜k＜1），连接AD、CE，点M为线段AD的中点，连接ME、MC，△BDE绕点B顺时针旋转，探究线段ME与MC的数量关系．
（1）如图1，点E落在BC边上时，探究ME与MC的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E落在△ABC内部时，探究ME与MC的数量关系，并说明理由；
（3）若∠ABC＝30°，k＝，当A、E、D共线时，直接写出的值．
八、解答题：（本题14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点，过点P作PM⊥x轴交BC于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCM是直角三角形时，求P点坐标；
（3）如图2，作P点关于直线BC的对称点P'，作直线P′M与抛物线交于EF，设抛物线对称轴与x轴交点为Q，当直线P'M经过点Q时，请你直接写出EF的长．
2021年辽宁省鞍山市铁东区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）|﹣|的值是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．﹣ D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数进行计算便可．
【解答】解：，
故选：D．
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．球
【分析】根据主视图与左视图，主视图与俯视图的关系，可得答案．
【解答】解：由主视图与左视图都是高平齐的矩形，主视图与俯视图都是长对正的矩形，得
几何体是矩形，
故选：B．
3．（3分）习近平总书记提出了未来五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为（ ）
A．1.17×107 B．11.7×106 C．0.117×107 D．1.17×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：11700000＝1.17×107．
故选：A．
4．（3分）如图，AB∥CD，点E在CD上，点F在AB上，如果∠CEF：∠BEF＝6：7，∠ABE＝50°，那么∠AFE的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【分析】由平行线的性质得∠ABE+∠BEC＝180°，∠AFE+∠CEF＝180°，根据角的和差分别求∠CEF＝60°，∠AFE的度数为120°．
【解答】解：设∠CEF＝6x，如图所示：
∵∠CEF：∠BEF＝6：7，
∴∠BEF＝7x，
又∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEC＝180°，
又∵∠ABE＝50°，
∴∠BEC＝130°，
又∵∠BEC＝∠CEF+∠BEF，
∴7x+6x＝130°，
解得：x＝10°，
∴∠CEF＝60°，
又∵AB∥CD，
∴∠AFE+∠CEF＝180°，
∴∠AFE＝120°，
故选：B．
5．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．2a2+3a2＝5a5
C．a10÷a5＝a2 D．（xy2）3＝x3y6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A.3a与2b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.2a2+3a2＝5a2，故本选项不合题意；
C．a10÷a5＝a5，故本选项不合题意；
D．（xy2）3＝x3y6，正确．
故选：D．
6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，OC＝2，则弦AB的长为（ ）
A．2 B． C．2 D．
【分析】连接OA，根据勾股定理求出AD，根据垂径定理得到AB＝2AD，得到答案．
【解答】解：连接OA，
在Rt△AOD中，AD＝＝＝，
∵OD⊥AB，
∴AB＝2AD＝2，
故选：A．
7．（3分）如图，点A（2，m）在反比例函数y＝上，点B在反比例函数y＝上，OB⊥OA，AB∥y轴，则k的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4
【分析】过A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥y轴于点D，先由反比例解析式求得m的值，进而得AC，OC，BD，再证明△AOC∽△OBD，由相似三角形的比例线段求得OD，得B点坐标进而求得k．
【解答】解：过A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥y轴于点D，如图，
∵点A（2，m）在反比例函数y＝上，
∴m＝1，
∴AC＝2，OC＝1，
又∵AB∥y轴，点B在反比例函数y＝上，
∴B（2，），
∴BD＝2．OD＝﹣，
∵OB⊥OA，∠ACO＝∠ODB＝90°
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠OAC＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴，即，
∴OD＝4，
∴B（2，﹣4），
∴k＝2×（﹣4）＝﹣8．
故选：B．
8．（3分）如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB＝2，连接BF，过A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为（ ）
A． B． C．3﹣ D．3+
【分析】如图1中，取AB的中点O，连接OG，OC．首先证明O，G，C共线时，CG的值最小（如图2中），证明CF＝CG＝BH即可解决问题（图2中）．
【解答】解：如图1中，取AB的中点O，连接OG，OC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，
∴OB＝OA＝1，
∴OC＝＝＝，
∵AH⊥BF，
∴∠AGB＝90°，
∵AO＝OB，
∴OG＝AB＝1，
∵CG≥OC﹣OG，
∴当O，G，C共线时，CG的值最小，最小值＝﹣1（如图2中），
∵OB＝OG＝1，
∴∠OBG＝∠OGB，
∵AB∥CD，
∴∠OBG＝∠CFG，
∵∠OGB＝∠CGF，
∴∠CGF＝∠CFG，
∴CF＝CG＝﹣1，
∵∠ABH＝∠BCF＝∠AGB＝90°，
∴∠BAH+∠ABG＝90°，∠ABG+∠CBF＝90°，
∴∠BAH＝∠CBF，
∵AB＝BC，
∴△ABH≌△BCF（ASA），
∴BH＝CF＝﹣1，
∴CH＝BC﹣BH＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）一圆锥的底面圆半径为2cm，母线长为3cm，则侧面积为 6πcm2 ．
【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝×3×2π×2＝6π（cm2）．
故答案为6πcm2．
10．（3分）分解因式：3m2x﹣6mx+3x＝ 3x（m﹣1）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝3x（m2﹣2m+1）
＝3x（m﹣1）2．
故答案为：3x（m﹣1）2．
11．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，把△ABC绕点C顺时针旋转45°得到△A'CB'，边A'C、A'B'分别交AB于E、F，则A'E的长为 4﹣2 ．
【分析】由旋转的性质可得∠ACE＝45°，∠A＝∠A'＝45°，AC＝A'C＝4，由等腰直角三角形的性质可求AE＝CE＝2，即可求解．
【解答】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转45°得到△A'CB'，
∴∠ACE＝45°，∠A＝∠A'＝45°，AC＝A'C＝4，
∴CE⊥AB，∠A＝∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝2，
∴A'E＝A'C﹣CE＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠0 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x≠0，
解得：x≥﹣1且x≠0．
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系第一象限中，线段AB、CD是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，AB⊥x轴，点A、点C在x轴上，AC＝CD＝6，则B点坐标为 （3，2） ．
【分析】根据位似变换的概念得到△OAB∽△OCD，根据相似三角形的性质列出比例式，根据坐标与图形性质解答．
【解答】解：由题意得，△OAB∽△OCD，相似比为，
∴＝＝，即＝，
解得，OA＝3，AB＝2，
∴B点坐标为（3，2），
故答案为：（3，2）．
14．（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为 ＝ ．
【分析】先求得小李每小时分拣的件数，然后根据小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同列方程即可．
【解答】解：设小江每小时分拣x个物件，则小李每小时分拣（x+20）个物件．
根据题意，得＝．
故答案是：＝．
15．（3分）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，连接OP交AB于点C，交弧AB于点D，∠APB＝70°，点Q为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为 10° ．
【分析】如图，连接OA．根据切线长定理求出∠OPB＝∠OPA＝35°，再利用平行线的性质求出∠POQ，求出∠AOQ即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA．
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝∠OPA＝∠APB＝35°，PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠POA＝90°﹣35°＝55°，
∵OQ∥PB，
∴∠POQ＝180°﹣∠OPB＝145°，
∴AOQ＝360°﹣145°﹣55°＝160°，
∵OQ＝OA，
∴∠OQA＝∠OAQ＝（180°﹣∠AOQ）＝10°，
故答案为10°．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0； ③4a+c＞0； ④若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；⑤当图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣，其中正确的结论有 ②③④⑤ ．
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；根据判别式的意义对②进行判断；利用x＝1时得到a+b+c＞0，把b＝2a代入得到3a+c＞0，然后利用a＞0可对③进行判断；利用二次函数当x＝﹣1时有最小值可对④进行判断；由于二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的一个交点为（，2），利用对称性得到二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的另一个交点为（﹣，2），从而得到x1＝﹣，x2＝，则可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
即﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
而b＝2a，
∴3a+c＞0，
∵a＞0，
∴4a+c＞0，所以③正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），
即a﹣bt≤at2+b，所以④正确；
∵图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的一个交点为（，2），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的另一个交点为（﹣，2），
即x1＝﹣，x2＝，
∴x1+2x2＝﹣+2×＝﹣，所以⑤正确．
故答案为②③④⑤．
三、解答题：（17题满分16分，18题满分16分，共16分）
17．（8分）先化简，再求值：（+2）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的除法运算法则化简，进而解不等式组求出x的取值范围，把符合题意的一个x的值代入求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
，
解①得：x＞﹣4，
解②得：x≤，
故不等式组的解集为：﹣4＜x≤，
当x＝﹣2，﹣1，0时，分式无意义，
故当x＝﹣3时，原式＝＝．
18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示：（每个方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；写出B点对应点B1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请你求出线段OB1旋转过程中扫过的面积．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出图形，即可写出B点对应点B1的坐标；
（2）根据△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°，即可得到△A2B2C2；再根据扇形面积计算公式即可得出线段OB1旋转过程中扫过的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；B点对应点B1的坐标为（﹣3，5）；
（2）如图所示，线段OB1旋转过程中扫过的面积为＝．
四、解答题：（19题10分，20题、21题、22题每小题10分，共40分）
19．（10分）春节期间，全国爆发了新型冠状病毒传染的肺炎，对环境的治理工作迫在眉睫．某社区为了疫情防控落实到位，社区成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果，从中找出“甲组抽到A小区”的结果数，“甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区”的结果数，进而求出相应的概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种结果，
（1）共有12种结果，其中甲组抽到A小区的有3种结果，
因此，甲组抽到A小区的概率为＝，
故答案为：；
（2）共有12种结果，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的只有1种，
因此，甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为．
20．（10分）近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图无人机从A处观测，测得某建筑物顶点O的俯角为22°，继续水平前行10米到达B处，测得俯角为45°，已知无人机的飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（精确到0.1米）参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈．
【分析】作OC⊥AB，作OD⊥AE，根据等腰直角三角形的性质得到OC＝BC，根据正切的定义列式求出OC，结合图形计算，得到答案，
【解答】解：作OC⊥AB交AB的延长线于点C，作OD⊥AE于点E，
∵DA⊥AC，OC⊥AB，OD⊥AE，
∴四边形ADOC为矩形，
∴AD＝OC，
同理可得，DE＝OH，
在Rt△OCB中，∠OBC＝45°，
∴OC＝BC，
在Rt△OCA中，tan∠OAC＝，
∴≈，
解得，OC＝，
∴OH＝DE＝45﹣＝≈38.3，
答：这栋楼的高度是约为38.3米．
21．（10分）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．
求证：（1）△ABF≌△DAE；
（2）DE＝BF+EF．
【分析】（1）根据菱形的性质得到AB＝AD，AD∥BC，由平行线的性质得到∠BPA＝∠DAE，等量代换得到∠BAF＝∠ADE，求得∠ABF＝∠DAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝BF，DE＝AF，根据线段的和差即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∴∠BPA＝∠DAE，
∵∠ABC＝∠AED，
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，
∴∠ABF＝∠DAE，
∵AB＝DA，
∴△ABF≌△DAE（ASA）；
（2）∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，DE＝AF，
∵AF＝AE+EF＝BF+EF，
∴DE＝BF+EF．
22．（10分）如图，直线y＝mx+6与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（，n）与x轴交于点B（﹣3，0），M为该图象上任意一点，过M点作x轴的平行线交y轴于点P，交AB于点N．
（1）求m、n的值和反比例函数的表达式；
（2）若点P为MN中点时，求△AMN的面积．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入相应的函数表达式即可求解；
（2）设点M（t，），点P为MN中点，则点N（﹣t，6﹣2t），则＝6﹣2t，解得：t＝1或2，即可求解．
【解答】解：（1）将点B的坐标代入y＝mx+6并解得：m＝2；
故直线的表达式为y＝2x+6；
将点A的坐标代入上式得：n＝2×+6＝+3，
则点A（，）代入y＝得，k＝×（+3）＝4，
故反比例函数表达式为y＝；
（2）设点M在y＝上，则点M（t，），点P为MN中点，
点N在直线y＝2x+6上，则点N（﹣t，6﹣2t），
∵MN∥x轴，故＝6﹣2t，解得：t＝1或2，
当t＝1时，点M、N的坐标分别为（1，4）、（﹣1，4），则点P（0，4），
则MN＝1+1＝2，
△AMN的面积＝×MN×（yA﹣yP）＝×2×（+3﹣4）＝﹣1，
当t＝2时，
同理可得：△AMN的面积＝2+2，
故△AMN的面积为﹣1或2+2．
五、解答题：（本题10分）
23．（10分）如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．
（1）求证：DC与⊙O相切；
（2）若⊙O半径为4，，求AC的长．
【分析】（1）连接OC，由圆周角定理和已知条件得出∠BOC＝∠D，证出∠OCH＝90°，得出DC⊥OC，即可得出结论；
（2）作AG⊥CD于G，则AG∥OC，由三角函数定义求出OH＝OC＝5，得出AH＝OA+OH＝9，由勾股定理得出CH＝＝3，证△OCH∽△AGH，求出AG＝OC＝，GH＝CH＝，得出CG＝GH﹣CH＝，再由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵DE⊥OA，
∴∠HED＝90°，
∴∠H+∠D＝90°，
∵∠BOC＝2∠A，∠D＝2∠A，
∴∠BOC＝∠D，
∴∠H+∠BOC＝90°，
∴∠OCH＝90°，
∴DC⊥OC，
∴DC与⊙O相切；
（2）解：作AG⊥CD于G，如图2所示：
则AG∥OC，
∵DC⊥OC，
∴∠OCH＝90°，
∵∠BOC＝∠D，OC＝4，
∴cos∠BOC＝＝，
∴OH＝OC＝5，
∴AH＝OA+OH＝4+5＝9，CH＝＝＝3，
∵AG∥OC，
∴△OCH∽△AGH，
∴＝＝＝，
∴AG＝OC＝，GH＝CH＝，
∴CG＝GH﹣CH＝﹣3＝，
∴AC＝＝＝．
六、解答题：（本题10分）
24．（10分）某企业接到一批防护服生产任务，按要求15天完成，已知这批防护服的出厂价为每件80元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制．该企业第x天生产的防护服数量为y件，y与x之间的关系可以用图中的函数图象来刻画．
（1）直接写出y与x的函数关系式 ；
（2）由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件50元，从第6天起每件服装的成本比前一天增加2元，设第x天创造的利润为w元，直接利用（1）的结论，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝出厂价﹣成本）
【分析】（1）根据题意即可得出y与x的函数关系式；
（2）分0≤x≤5和5＜x≤15两种情况讨论，根据题意可得到w与x的关系式，再根据一次函数与二次函数的性质解答．
【解答】解：（1）270÷5＝54，（570﹣270）÷（15﹣5）＝30，
当5＜x≤15时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（x为正整数），根据题意得：
，解得，
∴y＝30x+120，
∴y与x的函数关系式为，
故答案为：；
（2）当0≤x≤5时，w＝（80﹣50）×54x＝1620x，
∵1620＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝5时，w最大＝1620×5＝8100；
当5＜x≤15时，w＝[80﹣50﹣2（x﹣5）]×（30x+120）＝﹣60x2+960x+4800，
对称轴，
∴x＝8时，＝8640．
∵8640＞8100，
∴第8天时利润最大，最大利润是8640元．
七、解答题：（本题12分）
25．（12分）已知Rt△ABC和Rt△DEB中，∠ACB＝∠DEB＝90°，∠ABC＝∠DBE，DE＝kAC．（其中0＜k＜1），连接AD、CE，点M为线段AD的中点，连接ME、MC，△BDE绕点B顺时针旋转，探究线段ME与MC的数量关系．
（1）如图1，点E落在BC边上时，探究ME与MC的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E落在△ABC内部时，探究ME与MC的数量关系，并说明理由；
（3）若∠ABC＝30°，k＝，当A、E、D共线时，直接写出的值．
【分析】（1）如图1中，结论：ME＝MC．利用全等三角形的性质，证明EM＝MH，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
（2）如图2中，结论：ME＝MC．想办法证明EM＝MH，∠ECH＝90°即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解：①如图3﹣1中，当点E在线段AD上时，设AE交BC于M′．证明EC＝EB即可．②如图3﹣2中，当点E在AD的延长线上时，证明EC＝2BE即可．
【解答】解：（1）如图1中，结论：ME＝MC．
理由：延长EM交AC于H，
∵∠ACB＝∠BED＝90°，
∴∠ACB＝∠DEC＝90°，
∴DE∥AH，
∴∠MDE＝∠MAH，
∵DM＝AM，∠EMD＝∠HMA，
∴△MDE≌△MAH（ASA），
∴EM＝HM，
∵∠ECH＝90°，
∴CM＝EM＝MH，即ME＝MC．
（2）如图2中，结论：ME＝MC．
理由：作AH∥DE交EM的延长线于H，连接EC，CH，延长BE交AH的延长线于J，设AC交BJ于O．
∵AH∥DE，
∴∠MDE＝∠MAH，
∵DM＝AM，∠EMD＝∠AMH，
∴△MDE≌△MAH（ASA），
∴EM＝HM，DE＝AH，
∵AJ∥DE，
∴∠AJB＝∠DEJ＝90°，
∴∠AJB＝∠ACB，
∵∠AOJ＝∠BOC，
∴∠EBC＝∠CAJ，
∵∠DBE＝∠ABC，∠BED＝∠ACB＝90°，
∴△BED∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∵∠CAH＝∠CBH，
∴△CBE∽△CAH，
∴∠BCE＝∠ACH，
∴∠ECH＝∠BCA＝90°，
∵EM＝MH，
∴CM＝ME＝MH，即ME＝MC．
（3）如图3﹣1中，当点E在线段AD上时，设AE交BC于M′．
∵∠DBE＝30°，∠BED＝90°，
∴DE＝BE，
∵DE＝AC，
∴BE＝AC，
∵∠AM′C＝∠BM′E，∠ACM′＝∠BEM′＝90°，
∴△AM′C≌△BM′E（AAS），
∴M′A＝M′B，CM′＝EM′，
∴∠M′BA＝∠M′AB＝∠M′CE＝∠M′EC＝30°，
∴∠EBC＝30°，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∴＝1．
如图3﹣2中，当点E在AD的延长线上时，
∵∠BEA＝∠ACB＝90°，
∴E，B，C，A四点共圆，
∴∠BEC＝∠BAC＝60°
∵BE＝AC，
∴＝，
∴∠ECB＝∠AEC，
∴AE∥BC，
∴∠EBC+∠BED＝180°，
∵∠BED＝90°，
∴∠EBC＝90°
∴∠ECB＝30°，
∴EC＝2BE，
∴＝2．
八、解答题：（本题14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点，过点P作PM⊥x轴交BC于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCM是直角三角形时，求P点坐标；
（3）如图2，作P点关于直线BC的对称点P'，作直线P′M与抛物线交于EF，设抛物线对称轴与x轴交点为Q，当直线P'M经过点Q时，请你直接写出EF的长．
【分析】（1）根据直线与坐标轴的交点在抛物线上，用待定系数法列方程组求出抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示点P、点M的纵坐标，再由相似三角形的性质列方程，求出m的值，进而求出点P的坐标；
（3）根据三角形三边的特殊关系，求出直线P′M经过点Q时点M的坐标，再求此时直线P′M的解析式，再列方程组，求点E、F的坐标，再求EF的长．
【解答】解：（1）由直线y＝x+2与x轴交于点B、与y轴交于点C，得B（4，0）、C（0，2），
把B（4，0）、C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）设P（m，﹣m2+m+2），则M（m，m+2）．
如图1，点P在直线BC上方，∠MPC＝90°，则∠PCM＝∠CBO，
∴＝tan∠PCM＝tan∠CBO＝，
∴PM＝PC，
∴﹣m2+m+2﹣（m+2）＝m，
解得m＝2或m＝0（不符合题意，舍去），
∴P（2，2）；
如图2，点P在直线BC下方，∠PCM＝90°，作CG⊥PM于点G，则∠GPC＝90°﹣∠PCG＝∠MCG＝∠CBO，
∴，PG＝2CG，
∴2﹣（﹣m2+m+2）＝﹣2m，
解得m＝﹣6或m＝0（不符合题意，舍去），
∴P（﹣6，﹣10）．
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（﹣6，﹣10）．
（3）如图3，在OB上取一点G，使∠GCB＝∠GBC，
则CG＝BG，∠CGO＝2∠CBO，
由22+OG2＝4﹣OG2，得OG＝，
∴tan∠CGO＝＝，
设PM交x轴于点H，则∠P′EH＝2∠P′PE＝2∠CBO，
∴∠P′EH＝∠CGO，
∴tan∠P′EH＝tan∠CGO＝，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2+，
∴Q（1，0）．
当直线P'M经过点Q时，则QH＝MH，BH＝2MH，
∴（m+2）+2（m+2）＝3，
解得m＝，
∴M（，）．
设直线P'M的解析式为y＝rx+t，
则，解得，
∴y＝x﹣，
由，得，，
∴F（，），E（，）
∴EF＝＝＝．
故答案为：．
2021年辽宁省鞍山市铁东区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）|﹣|的值是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．﹣ D．
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．球
3．（3分）习近平总书记提出了未来五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为（ ）
A．1.17×107 B．11.7×106 C．0.117×107 D．1.17×108
4．（3分）如图，AB∥CD，点E在CD上，点F在AB上，如果∠CEF：∠BEF＝6：7，∠ABE＝50°，那么∠AFE的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
5．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．2a2+3a2＝5a5
C．a10÷a5＝a2 D．（xy2）3＝x3y6
6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，OC＝2，则弦AB的长为（ ）
A．2 B． C．2 D．
7．（3分）如图，点A（2，m）在反比例函数y＝上，点B在反比例函数y＝上，OB⊥OA，AB∥y轴，则k的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4
8．（3分）如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB＝2，连接BF，过A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为（ ）
A． B． C．3﹣ D．3+
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）一圆锥的底面圆半径为2cm，母线长为3cm，则侧面积为 ．
10．（3分）分解因式：3m2x﹣6mx+3x＝ ．
11．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，把△ABC绕点C顺时针旋转45°得到△A'CB'，边A'C、A'B'分别交AB于E、F，则A'E的长为 ．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系第一象限中，线段AB、CD是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，AB⊥x轴，点A、点C在x轴上，AC＝CD＝6，则B点坐标为 ．
14．（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为 ．
15．（3分）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，连接OP交AB于点C，交弧AB于点D，∠APB＝70°，点Q为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为 ．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0； ③4a+c＞0； ④若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；⑤当图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣，其中正确的结论有 ．
三、解答题：（17题满分16分，18题满分16分，共16分）
17．（8分）先化简，再求值：（+2）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示：（每个方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；写出B点对应点B1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请你求出线段OB1旋转过程中扫过的面积．
四、解答题：（19题10分，20题、21题、22题每小题10分，共40分）
19．（10分）春节期间，全国爆发了新型冠状病毒传染的肺炎，对环境的治理工作迫在眉睫．某社区为了疫情防控落实到位，社区成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
20．（10分）近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图无人机从A处观测，测得某建筑物顶点O的俯角为22°，继续水平前行10米到达B处，测得俯角为45°，已知无人机的飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（精确到0.1米）参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈．
21．（10分）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．
求证：（1）△ABF≌△DAE；
（2）DE＝BF+EF．
22．（10分）如图，直线y＝mx+6与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（，n）与x轴交于点B（﹣3，0），M为该图象上任意一点，过M点作x轴的平行线交y轴于点P，交AB于点N．
（1）求m、n的值和反比例函数的表达式；
（2）若点P为MN中点时，求△AMN的面积．
五、解答题：（本题10分）
23．（10分）如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．
（1）求证：DC与⊙O相切；
（2）若⊙O半径为4，，求AC的长．
六、解答题：（本题10分）
24．（10分）某企业接到一批防护服生产任务，按要求15天完成，已知这批防护服的出厂价为每件80元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制．该企业第x天生产的防护服数量为y件，y与x之间的关系可以用图中的函数图象来刻画．
（1）直接写出y与x的函数关系式 ；
（2）由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件50元，从第6天起每件服装的成本比前一天增加2元，设第x天创造的利润为w元，直接利用（1）的结论，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝出厂价﹣成本）
七、解答题：（本题12分）
25．（12分）已知Rt△ABC和Rt△DEB中，∠ACB＝∠DEB＝90°，∠ABC＝∠DBE，DE＝kAC．（其中0＜k＜1），连接AD、CE，点M为线段AD的中点，连接ME、MC，△BDE绕点B顺时针旋转，探究线段ME与MC的数量关系．
（1）如图1，点E落在BC边上时，探究ME与MC的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E落在△ABC内部时，探究ME与MC的数量关系，并说明理由；
（3）若∠ABC＝30°，k＝，当A、E、D共线时，直接写出的值．
八、解答题：（本题14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点，过点P作PM⊥x轴交BC于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCM是直角三角形时，求P点坐标；
（3）如图2，作P点关于直线BC的对称点P'，作直线P′M与抛物线交于EF，设抛物线对称轴与x轴交点为Q，当直线P'M经过点Q时，请你直接写出EF的长．
2021年辽宁省鞍山市铁东区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）|﹣|的值是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．﹣ D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数进行计算便可．
【解答】解：，
故选：D．
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．球
【分析】根据主视图与左视图，主视图与俯视图的关系，可得答案．
【解答】解：由主视图与左视图都是高平齐的矩形，主视图与俯视图都是长对正的矩形，得
几何体是矩形，
故选：B．
3．（3分）习近平总书记提出了未来五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为（ ）
A．1.17×107 B．11.7×106 C．0.117×107 D．1.17×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：11700000＝1.17×107．
故选：A．
4．（3分）如图，AB∥CD，点E在CD上，点F在AB上，如果∠CEF：∠BEF＝6：7，∠ABE＝50°，那么∠AFE的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【分析】由平行线的性质得∠ABE+∠BEC＝180°，∠AFE+∠CEF＝180°，根据角的和差分别求∠CEF＝60°，∠AFE的度数为120°．
【解答】解：设∠CEF＝6x，如图所示：
∵∠CEF：∠BEF＝6：7，
∴∠BEF＝7x，
又∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEC＝180°，
又∵∠ABE＝50°，
∴∠BEC＝130°，
又∵∠BEC＝∠CEF+∠BEF，
∴7x+6x＝130°，
解得：x＝10°，
∴∠CEF＝60°，
又∵AB∥CD，
∴∠AFE+∠CEF＝180°，
∴∠AFE＝120°，
故选：B．
5．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．2a2+3a2＝5a5
C．a10÷a5＝a2 D．（xy2）3＝x3y6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A.3a与2b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.2a2+3a2＝5a2，故本选项不合题意；
C．a10÷a5＝a5，故本选项不合题意；
D．（xy2）3＝x3y6，正确．
故选：D．
6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，OC＝2，则弦AB的长为（ ）
A．2 B． C．2 D．
【分析】连接OA，根据勾股定理求出AD，根据垂径定理得到AB＝2AD，得到答案．
【解答】解：连接OA，
在Rt△AOD中，AD＝＝＝，
∵OD⊥AB，
∴AB＝2AD＝2，
故选：A．
7．（3分）如图，点A（2，m）在反比例函数y＝上，点B在反比例函数y＝上，OB⊥OA，AB∥y轴，则k的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4
【分析】过A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥y轴于点D，先由反比例解析式求得m的值，进而得AC，OC，BD，再证明△AOC∽△OBD，由相似三角形的比例线段求得OD，得B点坐标进而求得k．
【解答】解：过A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥y轴于点D，如图，
∵点A（2，m）在反比例函数y＝上，
∴m＝1，
∴AC＝2，OC＝1，
又∵AB∥y轴，点B在反比例函数y＝上，
∴B（2，），
∴BD＝2．OD＝﹣，
∵OB⊥OA，∠ACO＝∠ODB＝90°
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠OAC＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴，即，
∴OD＝4，
∴B（2，﹣4），
∴k＝2×（﹣4）＝﹣8．
故选：B．
8．（3分）如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB＝2，连接BF，过A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为（ ）
A． B． C．3﹣ D．3+
【分析】如图1中，取AB的中点O，连接OG，OC．首先证明O，G，C共线时，CG的值最小（如图2中），证明CF＝CG＝BH即可解决问题（图2中）．
【解答】解：如图1中，取AB的中点O，连接OG，OC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，
∴OB＝OA＝1，
∴OC＝＝＝，
∵AH⊥BF，
∴∠AGB＝90°，
∵AO＝OB，
∴OG＝AB＝1，
∵CG≥OC﹣OG，
∴当O，G，C共线时，CG的值最小，最小值＝﹣1（如图2中），
∵OB＝OG＝1，
∴∠OBG＝∠OGB，
∵AB∥CD，
∴∠OBG＝∠CFG，
∵∠OGB＝∠CGF，
∴∠CGF＝∠CFG，
∴CF＝CG＝﹣1，
∵∠ABH＝∠BCF＝∠AGB＝90°，
∴∠BAH+∠ABG＝90°，∠ABG+∠CBF＝90°，
∴∠BAH＝∠CBF，
∵AB＝BC，
∴△ABH≌△BCF（ASA），
∴BH＝CF＝﹣1，
∴CH＝BC﹣BH＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）一圆锥的底面圆半径为2cm，母线长为3cm，则侧面积为 6πcm2 ．
【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝×3×2π×2＝6π（cm2）．
故答案为6πcm2．
10．（3分）分解因式：3m2x﹣6mx+3x＝ 3x（m﹣1）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝3x（m2﹣2m+1）
＝3x（m﹣1）2．
故答案为：3x（m﹣1）2．
11．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，把△ABC绕点C顺时针旋转45°得到△A'CB'，边A'C、A'B'分别交AB于E、F，则A'E的长为 4﹣2 ．
【分析】由旋转的性质可得∠ACE＝45°，∠A＝∠A'＝45°，AC＝A'C＝4，由等腰直角三角形的性质可求AE＝CE＝2，即可求解．
【解答】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转45°得到△A'CB'，
∴∠ACE＝45°，∠A＝∠A'＝45°，AC＝A'C＝4，
∴CE⊥AB，∠A＝∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝2，
∴A'E＝A'C﹣CE＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠0 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x≠0，
解得：x≥﹣1且x≠0．
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系第一象限中，线段AB、CD是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，AB⊥x轴，点A、点C在x轴上，AC＝CD＝6，则B点坐标为 （3，2） ．
【分析】根据位似变换的概念得到△OAB∽△OCD，根据相似三角形的性质列出比例式，根据坐标与图形性质解答．
【解答】解：由题意得，△OAB∽△OCD，相似比为，
∴＝＝，即＝，
解得，OA＝3，AB＝2，
∴B点坐标为（3，2），
故答案为：（3，2）．
14．（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为 ＝ ．
【分析】先求得小李每小时分拣的件数，然后根据小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同列方程即可．
【解答】解：设小江每小时分拣x个物件，则小李每小时分拣（x+20）个物件．
根据题意，得＝．
故答案是：＝．
15．（3分）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，连接OP交AB于点C，交弧AB于点D，∠APB＝70°，点Q为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为 10° ．
【分析】如图，连接OA．根据切线长定理求出∠OPB＝∠OPA＝35°，再利用平行线的性质求出∠POQ，求出∠AOQ即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA．
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝∠OPA＝∠APB＝35°，PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠POA＝90°﹣35°＝55°，
∵OQ∥PB，
∴∠POQ＝180°﹣∠OPB＝145°，
∴AOQ＝360°﹣145°﹣55°＝160°，
∵OQ＝OA，
∴∠OQA＝∠OAQ＝（180°﹣∠AOQ）＝10°，
故答案为10°．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0； ③4a+c＞0； ④若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；⑤当图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣，其中正确的结论有 ②③④⑤ ．
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；根据判别式的意义对②进行判断；利用x＝1时得到a+b+c＞0，把b＝2a代入得到3a+c＞0，然后利用a＞0可对③进行判断；利用二次函数当x＝﹣1时有最小值可对④进行判断；由于二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的一个交点为（，2），利用对称性得到二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的另一个交点为（﹣，2），从而得到x1＝﹣，x2＝，则可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
即﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
而b＝2a，
∴3a+c＞0，
∵a＞0，
∴4a+c＞0，所以③正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），
即a﹣bt≤at2+b，所以④正确；
∵图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的一个交点为（，2），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的另一个交点为（﹣，2），
即x1＝﹣，x2＝，
∴x1+2x2＝﹣+2×＝﹣，所以⑤正确．
故答案为②③④⑤．
三、解答题：（17题满分16分，18题满分16分，共16分）
17．（8分）先化简，再求值：（+2）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的除法运算法则化简，进而解不等式组求出x的取值范围，把符合题意的一个x的值代入求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
，
解①得：x＞﹣4，
解②得：x≤，
故不等式组的解集为：﹣4＜x≤，
当x＝﹣2，﹣1，0时，分式无意义，
故当x＝﹣3时，原式＝＝．
18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示：（每个方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；写出B点对应点B1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请你求出线段OB1旋转过程中扫过的面积．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出图形，即可写出B点对应点B1的坐标；
（2）根据△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°，即可得到△A2B2C2；再根据扇形面积计算公式即可得出线段OB1旋转过程中扫过的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；B点对应点B1的坐标为（﹣3，5）；
（2）如图所示，线段OB1旋转过程中扫过的面积为＝．
四、解答题：（19题10分，20题、21题、22题每小题10分，共40分）
19．（10分）春节期间，全国爆发了新型冠状病毒传染的肺炎，对环境的治理工作迫在眉睫．某社区为了疫情防控落实到位，社区成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果，从中找出“甲组抽到A小区”的结果数，“甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区”的结果数，进而求出相应的概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种结果，
（1）共有12种结果，其中甲组抽到A小区的有3种结果，
因此，甲组抽到A小区的概率为＝，
故答案为：；
（2）共有12种结果，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的只有1种，
因此，甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为．
20．（10分）近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图无人机从A处观测，测得某建筑物顶点O的俯角为22°，继续水平前行10米到达B处，测得俯角为45°，已知无人机的飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（精确到0.1米）参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈．
【分析】作OC⊥AB，作OD⊥AE，根据等腰直角三角形的性质得到OC＝BC，根据正切的定义列式求出OC，结合图形计算，得到答案，
【解答】解：作OC⊥AB交AB的延长线于点C，作OD⊥AE于点E，
∵DA⊥AC，OC⊥AB，OD⊥AE，
∴四边形ADOC为矩形，
∴AD＝OC，
同理可得，DE＝OH，
在Rt△OCB中，∠OBC＝45°，
∴OC＝BC，
在Rt△OCA中，tan∠OAC＝，
∴≈，
解得，OC＝，
∴OH＝DE＝45﹣＝≈38.3，
答：这栋楼的高度是约为38.3米．
21．（10分）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．
求证：（1）△ABF≌△DAE；
（2）DE＝BF+EF．
【分析】（1）根据菱形的性质得到AB＝AD，AD∥BC，由平行线的性质得到∠BPA＝∠DAE，等量代换得到∠BAF＝∠ADE，求得∠ABF＝∠DAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝BF，DE＝AF，根据线段的和差即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∴∠BPA＝∠DAE，
∵∠ABC＝∠AED，
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，
∴∠ABF＝∠DAE，
∵AB＝DA，
∴△ABF≌△DAE（ASA）；
（2）∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，DE＝AF，
∵AF＝AE+EF＝BF+EF，
∴DE＝BF+EF．
22．（10分）如图，直线y＝mx+6与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（，n）与x轴交于点B（﹣3，0），M为该图象上任意一点，过M点作x轴的平行线交y轴于点P，交AB于点N．
（1）求m、n的值和反比例函数的表达式；
（2）若点P为MN中点时，求△AMN的面积．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入相应的函数表达式即可求解；
（2）设点M（t，），点P为MN中点，则点N（﹣t，6﹣2t），则＝6﹣2t，解得：t＝1或2，即可求解．
【解答】解：（1）将点B的坐标代入y＝mx+6并解得：m＝2；
故直线的表达式为y＝2x+6；
将点A的坐标代入上式得：n＝2×+6＝+3，
则点A（，）代入y＝得，k＝×（+3）＝4，
故反比例函数表达式为y＝；
（2）设点M在y＝上，则点M（t，），点P为MN中点，
点N在直线y＝2x+6上，则点N（﹣t，6﹣2t），
∵MN∥x轴，故＝6﹣2t，解得：t＝1或2，
当t＝1时，点M、N的坐标分别为（1，4）、（﹣1，4），则点P（0，4），
则MN＝1+1＝2，
△AMN的面积＝×MN×（yA﹣yP）＝×2×（+3﹣4）＝﹣1，
当t＝2时，
同理可得：△AMN的面积＝2+2，
故△AMN的面积为﹣1或2+2．
五、解答题：（本题10分）
23．（10分）如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．
（1）求证：DC与⊙O相切；
（2）若⊙O半径为4，，求AC的长．
【分析】（1）连接OC，由圆周角定理和已知条件得出∠BOC＝∠D，证出∠OCH＝90°，得出DC⊥OC，即可得出结论；
（2）作AG⊥CD于G，则AG∥OC，由三角函数定义求出OH＝OC＝5，得出AH＝OA+OH＝9，由勾股定理得出CH＝＝3，证△OCH∽△AGH，求出AG＝OC＝，GH＝CH＝，得出CG＝GH﹣CH＝，再由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵DE⊥OA，
∴∠HED＝90°，
∴∠H+∠D＝90°，
∵∠BOC＝2∠A，∠D＝2∠A，
∴∠BOC＝∠D，
∴∠H+∠BOC＝90°，
∴∠OCH＝90°，
∴DC⊥OC，
∴DC与⊙O相切；
（2）解：作AG⊥CD于G，如图2所示：
则AG∥OC，
∵DC⊥OC，
∴∠OCH＝90°，
∵∠BOC＝∠D，OC＝4，
∴cos∠BOC＝＝，
∴OH＝OC＝5，
∴AH＝OA+OH＝4+5＝9，CH＝＝＝3，
∵AG∥OC，
∴△OCH∽△AGH，
∴＝＝＝，
∴AG＝OC＝，GH＝CH＝，
∴CG＝GH﹣CH＝﹣3＝，
∴AC＝＝＝．
六、解答题：（本题10分）
24．（10分）某企业接到一批防护服生产任务，按要求15天完成，已知这批防护服的出厂价为每件80元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制．该企业第x天生产的防护服数量为y件，y与x之间的关系可以用图中的函数图象来刻画．
（1）直接写出y与x的函数关系式 ；
（2）由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件50元，从第6天起每件服装的成本比前一天增加2元，设第x天创造的利润为w元，直接利用（1）的结论，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝出厂价﹣成本）
【分析】（1）根据题意即可得出y与x的函数关系式；
（2）分0≤x≤5和5＜x≤15两种情况讨论，根据题意可得到w与x的关系式，再根据一次函数与二次函数的性质解答．
【解答】解：（1）270÷5＝54，（570﹣270）÷（15﹣5）＝30，
当5＜x≤15时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（x为正整数），根据题意得：
，解得，
∴y＝30x+120，
∴y与x的函数关系式为，
故答案为：；
（2）当0≤x≤5时，w＝（80﹣50）×54x＝1620x，
∵1620＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝5时，w最大＝1620×5＝8100；
当5＜x≤15时，w＝[80﹣50﹣2（x﹣5）]×（30x+120）＝﹣60x2+960x+4800，
对称轴，
∴x＝8时，＝8640．
∵8640＞8100，
∴第8天时利润最大，最大利润是8640元．
七、解答题：（本题12分）
25．（12分）已知Rt△ABC和Rt△DEB中，∠ACB＝∠DEB＝90°，∠ABC＝∠DBE，DE＝kAC．（其中0＜k＜1），连接AD、CE，点M为线段AD的中点，连接ME、MC，△BDE绕点B顺时针旋转，探究线段ME与MC的数量关系．
（1）如图1，点E落在BC边上时，探究ME与MC的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E落在△ABC内部时，探究ME与MC的数量关系，并说明理由；
（3）若∠ABC＝30°，k＝，当A、E、D共线时，直接写出的值．
【分析】（1）如图1中，结论：ME＝MC．利用全等三角形的性质，证明EM＝MH，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
（2）如图2中，结论：ME＝MC．想办法证明EM＝MH，∠ECH＝90°即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解：①如图3﹣1中，当点E在线段AD上时，设AE交BC于M′．证明EC＝EB即可．②如图3﹣2中，当点E在AD的延长线上时，证明EC＝2BE即可．
【解答】解：（1）如图1中，结论：ME＝MC．
理由：延长EM交AC于H，
∵∠ACB＝∠BED＝90°，
∴∠ACB＝∠DEC＝90°，
∴DE∥AH，
∴∠MDE＝∠MAH，
∵DM＝AM，∠EMD＝∠HMA，
∴△MDE≌△MAH（ASA），
∴EM＝HM，
∵∠ECH＝90°，
∴CM＝EM＝MH，即ME＝MC．
（2）如图2中，结论：ME＝MC．
理由：作AH∥DE交EM的延长线于H，连接EC，CH，延长BE交AH的延长线于J，设AC交BJ于O．
∵AH∥DE，
∴∠MDE＝∠MAH，
∵DM＝AM，∠EMD＝∠AMH，
∴△MDE≌△MAH（ASA），
∴EM＝HM，DE＝AH，
∵AJ∥DE，
∴∠AJB＝∠DEJ＝90°，
∴∠AJB＝∠ACB，
∵∠AOJ＝∠BOC，
∴∠EBC＝∠CAJ，
∵∠DBE＝∠ABC，∠BED＝∠ACB＝90°，
∴△BED∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∵∠CAH＝∠CBH，
∴△CBE∽△CAH，
∴∠BCE＝∠ACH，
∴∠ECH＝∠BCA＝90°，
∵EM＝MH，
∴CM＝ME＝MH，即ME＝MC．
（3）如图3﹣1中，当点E在线段AD上时，设AE交BC于M′．
∵∠DBE＝30°，∠BED＝90°，
∴DE＝BE，
∵DE＝AC，
∴BE＝AC，
∵∠AM′C＝∠BM′E，∠ACM′＝∠BEM′＝90°，
∴△AM′C≌△BM′E（AAS），
∴M′A＝M′B，CM′＝EM′，
∴∠M′BA＝∠M′AB＝∠M′CE＝∠M′EC＝30°，
∴∠EBC＝30°，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∴＝1．
如图3﹣2中，当点E在AD的延长线上时，
∵∠BEA＝∠ACB＝90°，
∴E，B，C，A四点共圆，
∴∠BEC＝∠BAC＝60°
∵BE＝AC，
∴＝，
∴∠ECB＝∠AEC，
∴AE∥BC，
∴∠EBC+∠BED＝180°，
∵∠BED＝90°，
∴∠EBC＝90°
∴∠ECB＝30°，
∴EC＝2BE，
∴＝2．
八、解答题：（本题14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点，过点P作PM⊥x轴交BC于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCM是直角三角形时，求P点坐标；
（3）如图2，作P点关于直线BC的对称点P'，作直线P′M与抛物线交于EF，设抛物线对称轴与x轴交点为Q，当直线P'M经过点Q时，请你直接写出EF的长．
【分析】（1）根据直线与坐标轴的交点在抛物线上，用待定系数法列方程组求出抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示点P、点M的纵坐标，再由相似三角形的性质列方程，求出m的值，进而求出点P的坐标；
（3）根据三角形三边的特殊关系，求出直线P′M经过点Q时点M的坐标，再求此时直线P′M的解析式，再列方程组，求点E、F的坐标，再求EF的长．
【解答】解：（1）由直线y＝x+2与x轴交于点B、与y轴交于点C，得B（4，0）、C（0，2），
把B（4，0）、C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）设P（m，﹣m2+m+2），则M（m，m+2）．
如图1，点P在直线BC上方，∠MPC＝90°，则∠PCM＝∠CBO，
∴＝tan∠PCM＝tan∠CBO＝，
∴PM＝PC，
∴﹣m2+m+2﹣（m+2）＝m，
解得m＝2或m＝0（不符合题意，舍去），
∴P（2，2）；
如图2，点P在直线BC下方，∠PCM＝90°，作CG⊥PM于点G，则∠GPC＝90°﹣∠PCG＝∠MCG＝∠CBO，
∴，PG＝2CG，
∴2﹣（﹣m2+m+2）＝﹣2m，
解得m＝﹣6或m＝0（不符合题意，舍去），
∴P（﹣6，﹣10）．
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（﹣6，﹣10）．
（3）如图3，在OB上取一点G，使∠GCB＝∠GBC，
则CG＝BG，∠CGO＝2∠CBO，
由22+OG2＝4﹣OG2，得OG＝，
∴tan∠CGO＝＝，
设PM交x轴于点H，则∠P′EH＝2∠P′PE＝2∠CBO，
∴∠P′EH＝∠CGO，
∴tan∠P′EH＝tan∠CGO＝，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2+，
∴Q（1，0）．
当直线P'M经过点Q时，则QH＝MH，BH＝2MH，
∴（m+2）+2（m+2）＝3，
解得m＝，
∴M（，）．
设直线P'M的解析式为y＝rx+t，
则，解得，
∴y＝x﹣，
由，得，，
∴F（，），E（，）
∴EF＝＝＝．
故答案为：．
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