北师大版七年级上册4.1 线段、射线、直线知识点教学设计

专题06 线段有关计算与证明

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重难突破

知识点一  线段、直线、射线的联系与区别

1．直线、射线、线段的性质

2．直线的性质

直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线，可简述为“两点确定一条直线”.

直线的其他性质：

①直线没有端点，是向两方无限延伸的，直线不能测量；

②直线上有无穷多个点；

③过一点可以画无数条直线；

④两直线相交只有一个交点.

典例1

(2019秋•嘉祥县期末)如图，下列不正确的几何语句是　　

A．直线与直线是同一条直线 

B．射线与射线是同一条射线 

C．射线与射线是同一条射线 

D．线段与线段是同一条线段

【解答】解：正确，因为直线向两方无限延伸；

正确，射线的端点和方向都相同；

错误，因为射线的端点不相同；

正确．

故选：．

典例2

(2019秋•北海期末)对于直线，线段，射线，在下列各图中能相交的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：中这条直线与这条射线能相交；中直线和线段不能相交；中射线和线段不能相交；中直线和射线不能相交．

故选：．

典例3

(2018秋•福田区校级期末)直线上有5个不同的点、、、、，则该直线上共有　　条线段．

A．8 B．9 C．12 D．10

【解答】解：根据题意画图：

由图可知有、、、、、、、、、，

共10条．

故选：．

知识点二  线段中点及计算

1．线段的性质

线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短.简述为：两点之间，线段最短.

两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离.

2．线段的中点及等分点

线段的中点的概念：把一条线段分成相等的两条线段的点，如图所示，是线段的中点，则，另外线段还有三等分点、四等分点等．

3．双中点模型

(1)如图，点C是线段AB上一点，点M是AC中点，点N是BC中点，结论：．

(2)如图，点C是线段AB延长线上一点，点M是AC中点，点N是BC中点，结论：．

4．分类讨论

如：点C在直线AB上，则分成如下三种情况：

①点C在线段BA的延长线上时，；

②点C在线段AB上时，；

③点C在线段AB的延长线上时，．

典例1

(2019秋•沈河区期末)下列说法：①经过一点有无数条直线；②两点之间线段最短；③经过两点，有且只有一条直线；④若线段等于线段，则点是线段的中点；⑤连接两点的线段叫做这两点之间的距离．其中正确的个数为　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：①经过一点有无数条直线，这个说法正确；

②两点之间线段最短，这个说法正确；

③经过两点，有且只有一条直线，这个说法正确；

④若线段等于线段，则点不一定是线段的中点，因为、、三点不一定在一条直线上，所以这个说法错误；

⑤连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，所以这个说法错误．

所以正确的说法有三个．

故选：．

典例2

(2019秋•龙岗区期末)如图，已知线段，按下列要求自己完成画图并计算，延长线段到点，使，取中点；如果，则线段的长度为　   　．

【解答】解：如图，点，即为所求．

，，

，

，

，

，

，

故答案为3．

典例3

(2019秋•唐县期末)两根木条，一根长，另一根长，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为　　

A． B． C．或 D．或

【解答】解：如图，设较长的木条为，较短的木条为，

、分别为、的中点，

，，

①如图1，不在上时，，

②如图2，在上时，，

综上所述，两根木条的中点间的距离是或；

故选：．

典例4

(2019秋•郓城县期末)如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动在线段上，在线段上)，运动的时间为．

(1)当时，，请求出的长；

(2)当时，，请求出的长；

(3)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长；

(4)在(3)的条件下，是直线上一点，且，求的长．

【解答】解：(1)根据、的运动速度知：，，

则，

，

，即，

，，

，则；

(2)根据、的运动速度知：，，

则，

，

，即，

，，

，则；

(3)根据、的运动速度知：

，

，即，

点在线段上的处，即；

(4)如图：

，

；

又，

，

；

当点在的延长线上时，

，

所以．

综上所述，或．

巩固训练

一、单选题(共6小题)

1．(2019•高阳县模拟)“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理应是　　

A．两点之间，线段最短 

B．两点确定一条直线 

C．直线可以向两边延长 

D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离

【解答】解：“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理应是两点确定一条直线，

故选：．

2．(2019秋•光明区期末)如图，已知线段，是中点，点在上，，那么线段的长为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，是中点，

，

又，

．

故选：．

3．(2019秋•龙华区期末)如图，已知线段，点是线段是一动点，点是线段的中点，点是线段的中点，在点从点向点运动的过程中，当点刚好为线段的中点时，线段的长为　　

A．3.2 B．4 C．4.2 D．

【解答】解：点是线段的中点，

，

点是线段的中点，

，

点为线段的中点，

，

，

，

，

，

故选：．

4．(2019秋•福田区期末)如图，是中点，是中点，若，则线段　　

A．6 B．8 C．7.5 D．9.5

【解答】解：点是线段的中点，

．

点是线段的中点，

，

故选：．

5．(2019秋•邛崃市期末)已知线段，在直线上取一点，使，则线段的长　　

A．2 B．4 C．8 D．8或4

【解答】解：在直线上画线段，

的长度有两种可能：

①当在之间，

此时；

②当在线段的延长线上，

此时．

故选：．

6．(2019秋•岐山县期末)如图，，是线段上的两点，是的中点，是的中点，若，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意得，

是的中点，是的中点，

又

故选：．

二、填空题(共5小题)

7．(2019秋•丰城市期末)已知平面内有、、、四点，过其中的两点画一条直线，一共可以画　  　直线．

【解答】解：分三种情况：

①四点在同一直线上时，只可画1条；

②当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，可画4条；

③当没有三点共线时，可画6条；

故答案为：1条或4条或6条．

8．(2018秋•禅城区期末)如图，已知为线段的中点，在线段上．若，，则　  　．

【解答】解：，，

，

为线段的中点，

，

．

故答案为：1．

9．(2020春•肇东市期末)如图，点在线段上，，，点为线段中点，点为线段中点，则线段的长度为　  　．

【解答】解：点为线段中点，

，

点为线段中点，

，

，，

，

故答案为3．

10．(2019秋•田家庵区期末)已知线段，在直线上取一点，恰好使，点为线段的中点，则的长为　    　．

【解答】解：当点在线段上时，如图所示：

，，

，，

点为线段的中点，故，

故，

当点在线段的延长线上时，如图所示：

，，

，

点为线段的中点，故，

故

当点在线段的反向延长线上时，不成立

故或10．

故答案为：7或10．

11．(2019秋•罗湖区期末)如图，铁路上依次有、、、四个火车站，相邻两站之间的距离各不相同，则从到售票员应准备　　种不同的车票．

【解答】解：由图可知图上的线段为：、、、、、共6条，所以共需要6种不同的车票．

故答案是：6．

三、解答题(共2小题)

12．(2019秋•龙泉驿区期末)如图，已知线段

(1)尺规作图：延长线段到，使．(保留痕迹，不写作法)

(2)在上图中，若，为直线上一点，且，求的长．

【解答】解：如图所示：

(1)延长线段到，使．

(2)在上图中，，为直线上一点，且，

，

，

，．

答：的长为或．

13．(2019秋•罗湖区期末)如图，点、分别在数轴原点的两侧，且，点对应数是20．

(1)求点所对应的数；

(2)动点、、分别从、、同时出发，其中、均向右运动，速度分别为2个单位长度秒，4个单位长度秒，点向左运动，速度为5个单位长度秒，设它们的运动时间为秒，当点恰好为的中点时，求的值及所表示的数；

(3)当时，的值是否保持不变？若不变，直接写出定值；若变化，试说明理由．

【解答】解：(1)点对应的数是20，

，

，

．

又点在原点的左侧，

点对应的数为．

(2)当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，

依题意，得：，

解得：，

，

即所表示的数为0；

当点恰好为的中点时，，所表示的数为0；

(3)当时，的值保持不变；理由如下：

当时，，

当时，的值保持不变，定值为10．