2021学年2.1 有理数知识点教案

专题02 有理数有关概念

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重难突破

知识点一  有理数概念及分类

1、相反意义的量

在实际问题中，如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其相反意义的量．

注意：(1)相反意义的量包含两个要素：①必须是同类量，且意义相反；②具有一定的数量．

(2)相反意义的量是成对出现的.

2、正数、负数、整数、分数

正数：大于0的数叫做正数，如，，(正号“”可以省略不写)；

负数：在正数前面加 “”号的数叫做负数，如，，(负号“”不能省略)；

整数：包括正整数、零、负整数，如1，2，3等；

分数：包括正分数、负分数，如，，等.

注意：既不是正数，也不是负数，但0是整数，也是自然数.

3、有理数的分类

(1)有理数：能够写成分数形式，且同时满足：①是互质的整数；②时，才表示一个分数.

(2)有理数的分类

①按定义分类：                              ②按有理数的性质符号分类：

注意：

(1)对有理数的分类要按统一标准进行，做到既不重复，也不遗漏；

(2)两种分类有一个共同点：都是将有理数细分为五类，即正整数、正分数、0、负整数、负分数.

典例1

(2019秋•宝安区期中)若把记作0，超过记作正，则表示　　

A．零上 B．零下 C． D．

【解答】解：把记作0，超过作正，则表示，

故选：．

典例2

(2019秋•宝安区期中)，，，，，负数共有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：，，

负数共有2个，

故选：．

典例3

(2019秋•市北区期中)在，2020，，0，，，，中，正整数有个，负数有个，则的值为　　．

【解答】解：正整数有2020，，共2个；

负数有，，，共3个；

，，

．

故答案为：5．

知识点二  数轴、绝对值及相反数  

1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

注意：(1)数轴三要素：原点、正方向、单位长度.

(2)巧记：一画二选三定向，0挤中间不能忘；线画水平两边延，箭头最右边，下边数相连.

2、数轴上的点与对应关系

关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点表示；

点的位置：0用原点表示，正有理数可以用数轴上原点右边的点表示，负有理数可以用数轴上原点左边的点表示，所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来.

注意：不能说数轴上所有的点都表示有理数，它们还可以表示我们以后将要学习的无理数.

数轴直观地体现了数形结合思想.

3、相反数

如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，的相反数是．

注意：互为相反数的两个数的和为零，即若与互为相反数，则；反之，，则与互为相反数．

示例：前面的“”号是偶数()个，所以；

前面的“”号是奇数()，所以．

4、绝对值

(1)绝对值定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作.

(2)绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

①如果，那么;

②如果，那么;

③如果，那么．

(4)绝对值的非负性

如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．

示例：若，则，，．

5、比较大小

①正数负数；

②两个正数，绝对值大的较大；

③两个负数，绝对值大的反而小.

典例1

(2019秋•罗湖区校级期中)有理数，在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：根据数轴上点的位置得：，．

故选：．

典例2

(2019秋•龙华区期中)下列各组数相等的是　　

A．和 B．和 C．和 D．和

【解答】解：、，，不相等；

、，，不相等；

、，，相等；

、，，不相等．

故选：．

典例3

(2019秋•龙岗区期中)若等式成立，那么的值为　　．

【解答】解：根据题意得，，

解得，，

则．

故答案为：1．

典例4

(2019秋•金牛区校级期中)比较每组数的大小：　　；　　；　　2.3．

【解答】解：，

，，

，

，

故答案为：，，．

巩固训练

一、单选题(共6小题)

1．(2019秋•福田区期中)一袋大米的质量标识为“千克”，则下列大米中质量合格的是　　

A．9.80千克 B．10.16千克 C．9.90千克 D．10.21千克

【解答】解：(千克)，(千克)，

合格范围为：千克，

故选：．

2．(2019秋•罗湖区校级期中)如图：下面给出的四条数轴中画得正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、没有原点，故错误；

、三要素完整，故正确；

、0的左边应该是负数，右边是正数，故错误；

、单位长度不一致，故错误．

故选：．

3．(2019秋•市北区期中)下面关于有理数的说法正确的是　　

A．0只能表示没有 

B．符号不同的两个数互为相反数 

C．一个数不是正数，就是负数 

D．没有最小的有理数

【解答】解：、由有理数的定义可知错误；

、只有符号不同的两个数叫做互为相反数，故错误；

、有理数包括：正数、负数和零，故错误；

、没有最小的有理数，故正确．

故选：．

4．(2019秋•长清区期中)在，，，0，中，负整数的个数有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：，，，

所以负整数有，．

故选：．

5．(2019秋•宝安区期中)点和点都在同一数轴上，点表示3，点和点相距5个单位长度，则点表示的数是　　

A．8 B． C．8或 D．或2

【解答】解：点表示3，点和点相距5个单位长度，

点表示的数是：或，

即点表示的数是8或，

故选：．

6．(2018秋•槐荫区期末)如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动、那么数轴上的所对应的点与圆周上字母　　所对应的点重合．

A． B． C． D．

【解答】解：，

(周，

所以应该与字母所对应的点重合．

故选：．

二、填空题(共5小题)

7．(2019秋•龙岗区期末)小明和小聪坐公交从学校去体育馆参加运动会，他们从学校门口的公交车站上车，上车后发现连同他们俩共13人，经过2个站点小明观察到上下车情况如下(记上车为正，下车为负)，．经过，这两站点后，车上还有　　人．

【解答】解：人，

故答案为：16．

8．(2019秋•市北区期中)比较大小：　　

【解答】解：，，

，

．

故答案为：．

9．(2020秋•盐田区期末)点，，在同一数轴上，其中点，分别表示，1．若，则

　　(多选)．

【解答】解：点，在数轴上表示，1．且，

当点在点的右侧时，则点表示的数为3，此时；

当点在点的左侧时，则点表示的数为，此时；

因此的长为2或6．

故答案为：或．

10．(2019秋•金牛区校级期中)已知数轴上表示数的点到原点的距离是3个单位长度，则的值为　   　．

【解答】解：数轴上表示数的点到原点的距离是3个单位长度

或

当时，

当时，

故答案为：0或6．

11．(2019秋•历下区期中)设，化简的结果为　　．

【解答】解：，

．

故答案为：．

三、解答题(共2小题)

12．(2019秋•槐荫区期中)如图所示，点、点在数轴上，点表示，点表示，点表示．

(1)点表示　　，点表示　　；

(2)在数轴上表示出点，点，点；

(3)比较大小：　　　　　　　　　　．

【解答】解：(1)观察数轴，得

点表示，点表示3．

故答案为、3．

(2)点表示，

点表示，

点表示．

如下图即在数轴上表示出了点，点，点．

(3)观察(2)中的数轴，

可知

故答案为、、、2、3．

13．(2019秋•龙岗区期中)出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“”，向北记作“”．他这天下午行车情况如下：(单位：千米；每次行车都有乘客)

，，，，，，，

请回答：

(1)小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？

(2)若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内(含3千米)只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？

(3)若小王的出租车每千米耗油0.3升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午是盈利还是亏损了？盈利(或亏损)多少钱？

【解答】解：(1)(千米)，

答：小王在下午出车的出发地的南方，距下午出车的出发地8千米；

(2)

(元，

答：小王这天下午收到乘客所给车费共多108元；

(3)

(元，

(元

答：小王这天下午是盈利，盈利46.8元．