初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形知识点教学设计

专题01 全等及等腰三角形

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重难突破

知识点一  全等三角形判定定理及性质  

1．全等三角形的性质

①全等三角形的对应边相等

②全等三角形的对应角相等

2．全等三角形的常用判定方法

①三边分别相等的两个三角形全等(SSS)

②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS)

③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(ASA)

④两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)

⑤斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(HL)

典例1

(2019春•宝安区期末)如图，在中，，，的角平分线交于，，过点作交的延长线于，则的长为　　

A． B． C． D．

【解答】证明：延长与延长线交于点，

，，

，

，

，

在和中，，

，

，

平分，，

，

在和中，，

，

，

，

即，

故选：．

典例2

(2019春•龙华区期末)如图，在中，的平分线交于点，的两边分别与、相交于，两点，且，若，，则四边形的面积为　　．

【解答】解：过点作于点，于点，

平分，于点，于点，

，

，

，

又

，

又，，

，

，

，

，，

，

，

，

．

故答案为：．

知识点二  等腰三角形性质及判定

1．等腰三角形的性质

性质：等腰三角形的两个底角相等；简述为：等边对等角.

推论：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．

总结：

（1）等边对等角

①在同一个三角形中，将边相等转化为角相等；

②结合三角形内角和定理，解决三角形中有关角度的计算问题.

（2）三线合一

①证明角相等；②证明线段相等；③证明线段垂直.

2．等腰三角形的判定

①定义：两边相等的三角形是等腰三角形；

②有两个角相等的三角形是等腰三角形.简述为：等角对等边．

典例1

(2019秋•临洮县期末)如图，中，，是中点，下列结论中不正确的是　　

A． B． C．平分 D．

【解答】解：中，，是中点

，(故正确)

，(故正确)

(故正确)

无法得到，(故不正确)．

故选：．

典例2

(2019春•简阳市 期末)已知：等腰三角形的一个角，求其余两角与的度数．

【解答】解：是等腰三角形，

当是底角时，

，，

当是底角时，

，，

当是顶角时，

，

综上所述，其余两角与的度数为，或，，或，．

典例3

(2019春•福田区期末)中，，则一定是　　

A．锐角三角形 B．等腰三角形 

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【解答】解：，

是等腰三角形，

故选：．

知识点三  等边三角形性质及判定

1．等边三角形的定义

三边都相等的三角形是等边三角形．

2．等边三角形的性质

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于．

注意：

（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的性质，即也具有“三线合一”的性质；

（2）根据定义，等边三角形还有一个性质，等边三角形的三边都相等；

（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.

3．等边三角形的判定方法

①三边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角是的等腰三角形是等边三角形．

典例1

(2019春•锦江区期末)如图，将等边沿直线平移到，使点与点重合，连接，若，则的长为　　

A． B． C．3 D．

【解答】解：由平移得：，

是等边三角形，且，

，，

，

，

，

中，，

，

故选：．

典例2

(2018春•章丘区期末)如图，是等边中边上的点，，，则的形状是　　

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状

【解答】解：为等边三角形

，

，

是等边三角形．

故选：．

知识点四  含30°角的直角三角形的性质定理

性质定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

注意：

（1）此性质只适用于含30°角的直角三角形，而非一般的直角三角形或非直角三角形；

（2）应用时，要找准30°角所对的直角边，明确斜边.

典例1

(2019春•简阳市 期末)已知直角三角形中角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是　　

A．2厘米 B．4厘米 C．6厘米 D．8厘米

【解答】解：直角三角形中角所对的直角边长是2厘米，

斜边的长是4厘米．

故选：．

典例2

(2019春•南山区期末)如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，．

(1)求证：；

(2)连接，请判断的形状，并说明理由．

【解答】(1)证明：

连接，

是的垂直平分线，

，

，

，

在中，，

；

(2)解：是等边三角形，

理由如下：连接．

垂直平分，

为中点，

，

，

，

是等边三角形．

巩固训练

一、单选题(共6小题)

1．(2020•光明区一模)如图，，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

，

，

．

故选：．

2．(2019春•龙华区期末)如图，等腰中，，．用尺规作图作出线段，则下列结论错误的是　　

A． B． 

C． D．的周长

【解答】解：等腰中，，，

，

由作图痕迹发现平分，

，

，故、正确；

，

错误，故错误；

的周长，

故正确，

故选：．

3．(2019春•坪山区期末)如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，则的长为　　

A．10 B．6 C．8 D．5

【解答】解：，平分，

，

为的中点，

，

故选：．

4．(2019春•龙岗区期中)如图，在中，，过点作于，，，则的值是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：中，，，

，又，

，

在中，，，

可得，

在中，，，

则．

故选：．

5．(2018春•盐田区期中)等腰三角形的顶角是，则一腰上的高与底边的夹角是　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图：中，，是边上的高．

，且，

；

在中，

，；

．

故选：．

6．(2019春•罗湖区期末)等边三角形的边长为6，点是三边垂直平分线的交点，，的两边，与，分别相交于，，绕点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是　　

①；②；③；④周长最小值是9

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：连接、，如图，

为等边三角形，

，

点是等边的内心和外心，

，、分别平分和，

，

，即，

而，即，

，

在和中，，

，

，，①正确；

，

四边形的面积，③错误；

作，如图，则，

，

，

，，

，

，

即随的变化而变化，

而四边形的面积为定值，

；②错误；

，

的周长，

当时，最小，的周长最小，此时，

周长的最小值，④正确．

故选：．

二、填空题(共5小题)

7．(2019春•临淄区期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，腰长为6，则其底边上的高是　3或　．

【解答】解：①三角形是钝角三角形时，如图1，

，

，

，

，

，

底边上的高；

②三角形是锐角三角形时，如图2，，

，

是等边三角形，

底边上的高为，

综上所述，底边上的高是3或．

故答案为：3或．

8．(2017春•高台县期末)如图，中，，于点，，，则　6　．

【解答】解：中，，，

，又，

，

在中，，，

可得，

在中，，，

则．

故答案为：6．

9．(2019春•盐田区期末)等边三角形的两条中线所夹锐角的度数为　　．

【解答】解：如图，

等边三角形，、分别是中线，

、分别是角平分线，

，

．

故答案为：

10．(2019春•宝安区期末)如图，点为线段上一点，且，分别以、为边，在的同一侧作等边和等边，连接，，，则的面积为　　．

【解答】解：和都是等边三角形，

，，，

，

，

，

，即，

，

，

，

故答案为：．

11．(2019春•温江区期末)如图，在中，，，，为等边三角形点为围成的区域(包括各边)的一点过点作，交直线于点作交直线于点，则的最大值为　7.5　．

【解答】解：过作交的延长线于点，

，，

四边形是平行四边形，，

设，，

中，，

，

，

当在点时，的值最大是：，

的最大值为7.5，

故答案为：7.5．

三、解答题(共2小题)

12．(2019春•龙岗区期末)在中，是边上一点，线段垂直的平分线于点，点为边的中点，连接．

(1)求证：；

(2)若，，，求的长．

【解答】(1)证明：在和中，

，

，，

，，

；

(2)解：在中，，

，

由(1)得，，

．

13．(2019春•商河县期末)如图1，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点(点与点不重合)，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结并延长交直线于点．

(1)如图1，猜想　60　；

(2)如图2，3，若当是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想的度数，选取一种情况加以证明；

(3)如图3，若，，且，求的长．

【解答】解：(1)；

证明：如图1，

，且，

则和中，

，

，

，

又因为和中，，

．

故答案为：60；

(2)．以是锐角为例．

证明：如图2，

是等边三角形，

，，

线段绕点顺时针旋转得到线段，

，，

，

即，

在和中，

，

，

，

，

；

(3)作于，如图3，

与(2)一样可证明，

，

，，

，，

为等腰直角三角形，

，

在中，，

，

．