第18讲 正态分布强化专题练-2021届高考数学（理）培优专题提升训练（解析版）

 第18讲 正态分布强化专题练

A组

一、选择题

1．在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若，则， .（    ）

A. 906    B. 1359    C. 2718    D. 3413

【答案】B

【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积 ，

则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为 .本题选择B选项.

2．2019年1月我市某校高三年级1600名学生参加了2019届全市高三期末联考，已知数学考试成绩（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为

A. 120    B. 160    C. 200    D. 240

【答案】C

【解析】结合正态分布图象的性质可得：此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为 .

本题选择C选项.

3．已知随机变量X服从正态分布

A. 0．84    B. 0．68    C. 0．32    D. 0．16

【答案】B

【解析】∵∴，∴

∴.故选B．

4．随机变量服从正态分布,且,则

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】由题,又随机变量服从正态分布，则对称轴，则，可得．故本题答案选．

5．已知随机变量～，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（   ）

附：若随机变量～，则，

A. 6038    B. 6587    C. 7028    D. 7539

【答案】B

【解析】由题意 ，则落入阴影部分的点的个数的估计值为 ，故选B.

二、填空题

6．在我校2019届高三11月月考中理科数学成绩（），统计结果显示，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有      人．

【答案】

【解析】我校成绩高于分的有人.

7．已知随机变量服从正态分布，若，则______．

【答案】

【解析】由正态分布的图象可知,故,故.

三、解答题

8．质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：

（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出答案）；

（Ⅱ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一桶的质量指标大于20；

（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的桶数，求的数学期望．

注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得

②若，则，．

【解析】（Ⅰ），.

（Ⅱ）设事件：在甲种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，

事件：在乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，

事件：在甲、乙两种食用油中随机抽取1桶，恰有一个桶的质量指标不大于20，且另一个不大于20，

则，，∴ ，

（Ⅲ）计算得：，由条件得，从而，

∴从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55,38.45）的概率是0.6826，

根据题意得，∴.

9．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等极如下表：

从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：

（1）根据以上抽样调查数据 ，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定？

（2）在样本中，按产品等极用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；

（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？

【解析】（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.

（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率.

（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为

“质量提升月”活动后，产品质量指标值近似满足，则.

所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6

10．某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位： ）的数据，如下表：

（1）求出与的回归方程；

（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；

（3）设该地1月份的日最低气温～，其中近似为样本平均数， 近似为样本方差，求.

附：①回归方程中， ， .

②， ，若～，则， .

【解析】 (1) ∵令,， ,

∴      ∴        

∴（或者： ）    ∴所求的回归方程是     

(2) 由知与之间是负相关，  

将代入回归方程可预测该店当日的销售量 (千克)  （或者： ）                          

 (3)由(1)知，又由

得 

从而   . 

B组

一、选择题

1．已知随机变量服从正态分布，且，则=（    ）

A. 0.6826    B. 0.3413    C. 0.4603    D. 0.9207

【答案】A

【解析】由正态分布的性质可得，正态分布的图象关于直线对称，则.

本题选择A选项.

2．某校高考数学成绩近似地服从正态分布，且，则的值为（    ）

A. 0.49    B. 0.48    C. 0.47    D. 0.46

【答案】D

【解析】依据题设条件及正太分布的对称性可知所以，则，所以，应选答案D。

3．设随机变量服从正态分布，若，则（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】随机变量服从正态分布， .

4．设随机变量服从正态分布，若，则（   ）

A. 0.2    B. 0.3    C. 0.7    D. 与的值有关

【答案】C

【解析】因为随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称，所以，所以，故选C.

5．随机变量～，若，则为（ ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】， ，故选D．

6．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】根据正态分布密度曲线的对称性可知，若，函数的对称轴是 ，所以，故选B.

7．高三某班有50名学生,一次数学考试的成绩服从正态分布: ,已知,该班学生此次考试数学成绩在115分以上的概率为(   )

A. 0.1587    B. 0.3413    C. 0.1826    D. 0.5000

【答案】A

【解析】因为数学考试的成绩服从正态分布: ,，所以该正态曲线关于 对称， ，故选A.

8．随机变量，则（   ）

A．0．0215                 B．0．1359                

C．0．1574                 D．0．2718

（参考数据：，，）

【答案】B

【解析】根据正态分布的对称性，有．

二、填空题

9．已知随机变量服从正态分布，且，则      。

【答案】

【解析】由题设和正态分布的性质可得，即，所以。故应填。

三、解答题

10．从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（用同一组数据用该区间的中点值用代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.

（i）利用该正态分布，求；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（i）的结果，求.

附：，若，则，

【解析】（Ⅰ）抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为

，

，

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，从而,

(ii)由（i）知，一件产品中质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以.

C组

一、选择题

1．2019年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（   ）

A．80                 B．100                C．120                D．200

【答案】D

【解析】正态曲线图象的对称轴为，根据其对称性可知， 成绩不低于分的学生人数约为人，故选D.

2．已知随机变量服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数的图象，若，则（   ）

A．               B．               C．                D．

【答案】A

【解析】由已知得函数的图像关于直线对称，且与直线，和构成的图形面积为，所以，选A．

3．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（   ）

（附：若随机变量服从正态分布，则，）

A．        B．         C．           D．

【答案】B

【解析】由题意

故选B．

4．设两个正态分布和曲线如图所示,则有 （    ）

A．   B．    C．   D．

【答案】A

【解析】由正态曲线和均值、标准差的意义，得；故选A．

5．设，其正态分布密度曲线如图所示，且，那么向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（    ）

附：（随机变量服从正态分布，则，

）

A．6038        B．6587        C．7028         D．7539

【答案】B．

【解析】由题意得，，

∴，∴，

∴，故估计的个数为个，故选B．

二、填空题

6．若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．

【答案】1620

【解析】随机变量，均值是2，且，∴；
∴；
又展开式的通项公式为，
令，解得，不合题意，舍去；令，解得，对应的系数为；令，解得，不合题意，舍去；∴展开式中项的系数是，故答案为1620.

三、解答题

7．某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图：

（Ⅰ）求直方图中的值；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，试计算数据落在上的概率．

参考数据：若，则， ．

（Ⅲ）设生产成本为，质量指标为，生产成本与质量指标之间满足函数关系假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．

【解析】

（Ⅰ）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，从而

．

由题设条件及食品的质量指标的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：

根据题意，生产该食品的平均成本为

．

8．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示（单位：μm）．

（I）计算平均值μ与标准差σ

（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ）；该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件．度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？

参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．

【解析】（I）平均值μ==105μm

方差==36，标准差σ=6

（Ⅱ）需要进一步调试，Z服从正态分布N（105，36），

P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，∴内径在（87，123）之外的概率为0.0026，

而86∉（87，123），根据3σ原则，若机器异常，需要进一步调试．

9．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.

（i）利用该正态分布，求；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.

附：

若则，。

【解析】（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为

，

．

（II）（i）由（I）知，服从正态分布，从而

．

（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．

10．某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：

经计算：样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于或车速大于是需矫正速度.

（1）从该快速车道上所有车辆中任取个，求该车辆是需矫正速度的概率；

（2）从样本中任取个车辆，求这个车辆均是需矫正速度的概率；

（3）从该快速车道上所有车辆中任取个，记其中是需矫正速度的个数为，求的分布列和数学期望.

【解析】（1）记事件为“从该快速车道上所有车辆中任取个，该车辆是需矫正速度”，

因为，

由样本条形图可知，所求的概率为

.

（2）记事件为“从样本中任取个车辆，这个车辆均是需矫正速度”

由题设可知样本容量为，又需矫正速度个数为个，故所求概率为.

（3）需矫正速度的个数服从二项分布，即，

∴， ，

，

因此的分布列为

由，知数学期望.