2020-2021学年河南省周口市重点示范高中高二下学期3月第一次考试理科数学试题

周口市重点示范高中2020-2021学年高二下学期3月第一次考试数学（理科）试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．“余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数”，以上推理

A．结论正确 B．小前提不正确 C．大前提不正确 D．全部正确

2．用反证法证明命题“设实数a、b、c满足，则a、b、c中至少有一个数不小于”时假设的内容是   

A．a、b、c都不小于 B．a、b、c都小于

C．a、b、c至多有一个小于 D．a、b、c至多有两个小于

3．以下推理为归纳推理的是   

A．幂函数在（0，+∞）是单调函数，是幂函数，故在（0，+∞）是单调函数

B．平行于同一条直线的两直线平行，已知，则

C．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，得“正四面体的内切球切于四个面的中心”

D．由1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，得（n∈）

4．已知函数，则

A． B．e C．－1 D．1

5．已知函数，则　　

A．1 B．0 C． D．

6．函数的图象如图所示，则阴影部分的面积是     

A．     B． 

C．  D．

7．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是

A．  B．

C．   D．        

8．将正奇数数列1，3，5，7，9，依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：，，，，，称为第1组，为第2组，依次类推，则原数列中 的2021位于分组序列中

A．第404组 B．第405组       C．第808组        D．第809组

9．已知偶函数的导函数为，且满足．当时，，则使得成立的x的取值范围为

A．                  B．

C．                  D．

10．已知函数在(1,2)内不是单调函数，则实数a的取值范围是

A．                           B．         

C．                D．

11．已知函数满足，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是

A． B．      C．        D．

12．设函数，，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的最大值为

A．  B．            C．                D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数在处有极值，则a的值是       ．

14．已知函数 ，则       ．

15．甲、乙、丙三人参加知识竞赛．赛后，他们三个人预测名次的谈话如下：甲：“我第二名，丙第一名”；乙：“我第二名，丙第三名”；丙：“我第二名，甲第三名”；最后公布结果时，发现每个人的预测都只猜对了一半，则这次竞赛第一名的是______．

16．已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是        ．

三、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分10分）

已知函数，

（1）分别求，，的值；

（2）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．

18．（本小题满分12分）

已知数列，

（1）计算；

（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．

19．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求f(x)的单调区间．

20．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）求函数在[－2,1]上的最大值和最小值．

21．（本小题满分12分）

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

22．（本小题满分12分）

  已知函数．

（1）讨论函数f(x)的导函数的单调性；

（2）若对，都有，求a的取值范围．

数学（理科）参考答案

1．【答案】B

【解析】 由于不余弦函数，所以小前提不正确．故选：B．

2．【答案】B

【解析】反证法证明命题时，要假设结论不成立．故用反证法证明命题“设实数、、满足，则、、中至少有一个数不小于”时的假设是“、、都小于”．故选：B．

3．【答案】D

【解析】对于A，符合三段论的形式，是演绎推理；选项B，符合三段论的形式，是演绎推理是由特殊到一般的推理；对于C，是由特殊到特殊的推理，是类比推理；对于D，是归纳推理．故选：B．

4．【答案】C

【解析】由题得，

所以．故选：C．

5．【答案】A

【解析】由题得，∴．因为=，

∴=1故选A．

6．【答案】C

 【解析】由图可得阴影部分的面积为，

故选：C．

7．【答案】A

【解析】由的图象可知：在先单调递增，后单调递减，再单调递增，而在上单调递减，故在区间上先大于0，后小于0，再大于0，在上恒小于0．

8．【答案】B

【解析】正奇数数列1,3,5,7,9的通项公式为 则2021为第1011个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，共个数，共组．

故原数列中的2021位于分组序列中第405组  故选：B．

9．【答案】B

【解析】令，则，

所以当时，，所以在上为减函数，

因为为偶函数，所以，

所以，所以为偶函数，

因为，所以，

所以当时，等价于等价于

所以，又在上为减函数，

所以，解得，又，所以或．故答案为：B．

10．【答案】D

【解析】函数，定义域，，

当时，，在上是增函数，不符合题意，

当 时，在上，，单调递增，在上，，单调递减，

函数在内不是单调函数，，，故选：D ．

11．【答案】D

【解析】由题知：，设，，

所以在为减函数，

又因为，所以，，即，为增函数，

，，即，为减函数．

又因为函数满足，所以为偶函数．

．

因为，，即，

所以，即．故选：D

12．【答案】C

【解析】设g(x)＝ln(ax2－3x＋1)的值域为A，

因为f(x)＝1－在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A，

所以h(x)＝ax2－3x＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h(0)＝1，

所以实数a需要满足a≤0或解得a≤.所以实数a的最大值为，故选C.

13．【答案】

【解析】∵，∴，

∵函数在处有极值，∴，即：，∴，解得．

14．【答案】

【解析】，

而，表示半圆的面积，即，则．

15．【答案】丙

【解析】若甲获得第一名，甲预测出一半，则丙第一名，矛盾；

若乙获得第一名，乙预测出一半，则丙第三名，甲第二名，则丙预测全错，不合乎题意；

若丙获得第一名，甲预测出一半，则甲第三名，乙第二名，乙、丙都预测出一半，合乎题意．

综上所述，这次竞赛中第一名的是丙．

16．【答案】

【解析】设t＝x＋(x∈[1,4])，则t∈[4,5]，原问题转化为当t∈[4,5]，(|t－a|＋a)max＝5时，求a的取值范围，我们只需在数轴上观察．

①当a≤4时，满足当t∈[4,5]时，(|t－a|＋a)max＝5，符合题意．

②当a>5时，|t－a|＋a>5，不合题意．

③当4<a≤5时，和点a在数轴上的位置有关系，关键点是点，如图．

当4<a≤，t∈[4,5]时，(|t－a|＋a)max＝5，符合题意；

当<a≤5，t∈[4,5]时，(|t－a|＋a)max>5，不合题意．

综上，a的取值范围是.

17. 解：（1）；同理………………5分

（2）由此猜想………………7分

证明：．…10分

18．解：（1）………………4分

（2）………………6分

证明：①当n=1时，，结论成立

②假设当()时，结论成立，即………………8分

当时，

∴当时结论成立………………11分

∴由①②知对于任意的+结论都成立………………12分

19．解：（1），，，………………3分

因此， 所以，曲线在点处的切线方程为，

即；………………6分

（2），

即，即，解得或；………………8分

解不等式，得，即，解得．………………10分

因此，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．………………12分

20．解：（1）函数的定义域为R

，………………1分

时，，时，………………3分

所以函数的极小值点，，………………5分

无极大值．………………6分

（2）

令 得

列表如下：

由上表可知 函数在上的最大值为,最小值为．………………12分

21．解：(1)∵x＝5时，y＝11，

∴＋10＝11，∴a＝2………………4分

(2)由(1)知该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，∴商场每日销售该商品所获得的利润为

f(x)＝2＋10(x－3)(x－6)2，3<x<6．………………6分

f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0，得x＝4．

当3<x<4时，f′(x)>0，函数f(x)在(3，4)上递增；………………8分

当4<x<6时，f′(x)<0，函数f(x)在(4，6)上递减………………10分

∴当x＝4时，函数f(x)取得最大值f(4)＝42．

∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．………………12分

22．（1），，………………1分

当时，，在递减；………………3分

当时，若，则，在递增，………………5分

若，则，在递减；………………6分

（2）设，则，

构造函数，，即在递减．………………7分

∴，，………………9分

设，，∴，

又设，，则，在递增，………………11分

∴，∴，在递减，∴，

即的取值范围是．………………12分

法二，设，则，

构造函数，，即在递减．………………7分

∴，令，则………………8分

当时，，在上单调递减，所以，于是；………………9分

当时，，在上单调递增，所以，

于是；………………10分

当时，在上单调递增，在单调递减，所以，于是.………………11分

综上，的取值范围是．………………12分