2021年高考艺术生数学基础复习 考点02 指数与对数的运算（教师版含解析）

考点02 指数与对数的运算

一．指数运算

1．根式

(1)根式的概念

(2)两个重要公式

①＝(n为偶数)；

②()n＝a(注意a必须使有意义)．

2．有理指数幂

(1)分数指数幂的表示

①正数的正分数指数幂是＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；

②正数的负分数指数幂是＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；

③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．

(2)有理指数幂的运算性质

①asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)；②(as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．

二．对数的概念

(1)对数的定义

①一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．

②底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0.

(2)几种常见对数

4.对数的性质与运算法则

(1)对数的性质

①＝N(a>0且a≠1，N>0)；           ②logaaN＝N(a>0且a≠1)．

(2)对数的重要公式

①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)；②logab＝(a，b均大于零且不等于1)．

(3)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；                ②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)；                  ④＝logaM

考向一  根式

【例1】(2020·全国练习)化简下列各式：

(1)；   (2)；  (3).

【答案】(1)(2)原式(3)

【解析】(1)原式.

(2)原式，

当时，原式；

当时，原式.

∴原式

(3)原式

.

【举一反三】

1．_____________.

【答案】

【解析】

化简得：，

整理得：.

故答案为：.

2．(2020·四川省冕宁中学校)下列根式与分数指数幂的互化，正确的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】A. ，故错误；

B. ，故错误；

C. ,故正确；

D. ，故错误；故选：C

3．下列各式正确的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确；

对于B，，当时无意义，故B不正确；

对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确；

对于D，，故D正确.故选：D.

考向二 指数运算

【例2】(2020·浙江课时练习)计算下列各式：

(1).

(2).

(3).

【答案】(1)；(2)100；(3).

【解析】(1)原式.

(2)原式.

(3)原式.

【举一反三】

（1）               

(2)．

(3)；                       

(4)

(5)

(6)

；

【答案】(1).(2)(3)0(4)(5)；(6)7)

【解析】(1)由题意，根据实数指数幂的运算性质，

可得：，故答案为：

(2)．

(3).

(4)

(5)原式

(6)原式.

(7)原式；

考向三 指对数的转化

【例3】将下列指数式与对数式互化.

(1)；              (2)；

(3)；            (4).

【答案】(1).(2).(3).(4).

【解析】因为由可得，所以

(1)由可得；

(2)由可得；

由可得，所以

(3)由可得；

(4)由可得.

【举一反三】

1．(2020·上海课时练习)将下列指数式改为对数式：

(1)，对数式为_____________；

(2)，对数式为___________；

(3)，对数式为_____________；

(4)，对数式为_____________.

【答案】               

【解析】(1) 利用互化公式可得，.

(2) 利用互化公式可得，

(3) 利用互化公式可得，

(4) 利用互化公式可得，.

故答案为: ；；；.

2．(2020·全国课时练习)用对数的形式表示下列各式中的x：

(1)；(2)；(3)；(4).

【答案】(1)；(2)；(3)；(4).

【解析】(1) 根据指数式与对数式的相互转化

(2)根据指数式与对数式的相互转化∴

(3)根据指数式与对数式的相互转化

(4)根据指数式与对数式的相互转化

考点四 对数式求值

【例4】(2020·全国课时练习)求下列各式中x的值：

(1)；                (2)；

(3)；                    (4).

【答案】(1)；(2)；(3)2；(4)

【解析】(1)因为所以.

(2)因为,所以.又所以

(3)因为所以于是

(4)因为所以于是

【举一反三】

1．(2020·宁县第二中学)方程的解__________

【答案】

【解析】∵，∴，∴

经检验满足故答案为：.

2．(2019·安徽金安·六安一中)已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵，∴，∴，∴．

∴．故选D．

3.求下列各式中的x的值．

(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；(3)log(＋1)＝x.

【答案】(1)3   (2)32  (3)1

【解析】　(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.

(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.

(3)＝＝＋1，所以log(＋1)＝log(＋1)(＋1)＝1，所以x＝1.

考点五 对数运算或化简

【例5】(2020·上海课时练习)计算下列各式：

(1)___________；

(2)_________；

(3)_________；

(4)________；

(5)________．

【答案】-2        6        2   

【解析】(1)；

(2)

(3)

(4)

(5)

故答案为：；；；；.

【举一反三】

1．(2020·四川达州·高三其他(文))计算______．

【答案】0

【解析】由题意.

故答案为：.

2．(2020·石嘴山市第三中学)______.

【答案】

【解析】根据对数的运算性质及换底公式化简可得

，

故答案为：.

3.   log2＋log212－log242；

【答案】－

【解析】原式＝log2＝log22＝－.

4.(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3.

【答案】1

【解析】原式＝(lg2＋lg5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.

一．化简或计算下列指数式

(1)           (2)

(3).             (4)

(5)；               (6).

(7)；                     (8)

(9)                  (10)

(11)；

(12)

(13)

(14)；

(15)

【答案】(1)；(2)-2 (3)0(4)41 (5)； (6) (7)6；(8).

（9）；(10)(11)(12)；(13)(14)(15)44

【解析】(1)原式．

(2)原式．

(3)原式

(4)原式

(5)原式；

(6)原式.

(7)原式

.

(8)原式.

(9)原式；

(10)原式；

(11)原式；

(12)

(13)

(14)；

(15)，，.

二．化简或计算下列对数式

(1)           (2)

(3)                             (4)．

(5).

(6).

(7)

(8)

(9)．

(10).

【答案】(1)(2).(3)1(4)(5)520(6)3(7) ；(8)(9)9(10)5

【解析】(1)原式，，

(2)

(3)

(4)原式

(5)原式

(6)

.

(7) ，

(8)

(9)原式

，故答案为：.

(10)

故答案为：5