高三二轮复习精品数学 方法三 解答题的解法（理科） word版含解析

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  www.ks5u.com数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．从历年高考看这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的大有人在，针对以上情况，本节就具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．【常见答题模板展示】模板一　三角函数的图像与性质试题特点：通过升、降幂等恒等变形，将所给三角函数化为只含一种函数名的三角函数(一般化为，然后再研究三角函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等．求解策略：观察三角函数中函数名称、角与结构上的差异，确定三角化简的方向．例1【河北省冀州市2016届高三一轮复习检测一】 已知向量，，设函数．（Ⅰ）求函数取得最大值时取值的集合；（Ⅱ）设，，为锐角三角形的三个内角.若，，求 的值。思路分析：（Ⅰ）首先运用三角恒等变换（如倍角公式、两角和与差的正弦余弦公式）对其进行化简，然后运用三角函数的图像及其性质即可得出取得最大值所满足的取值的集合；（Ⅱ）由题意可得然后运用已知条件可得出角的大小，再由同角三角函数的基本关系可得，最后由两角和的正弦公式即可得出所求的结果.解析：（Ⅰ） 要使取得最大值，须满足取得最小值.  当取得最大值时,取值的集合为点评：高考对三角函数的图像和性质的考查主要围绕三角函数解析式的确定以及三角函数的周期性、单调性、对称性的展开，本题在三角函数解析式的确定上呈现的非常好.【规律总结】答题模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式．如：.第二步：根据f(x)的表达式求其周期、最值．第三步：由sin x、cos x的单调性，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为解不等式问题．第四步：明确规范表述结论．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范.【举一反三】1. 【2015高考湖北】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0   05 0   （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值. 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：00500且函数表达式为.                            模板二　三角变换与解三角形试题特点：题中出现边与角的关系或者给定向量的关系式，利用正、余弦定理或利用向量的运算，将向量式转化为代数式，再进行有关的三角恒等变换解三角形．求解策略：（1）利用数量积公式、垂直与平行的主要条件转化向量关系为三角问题来解决．（2）利用正、余弦定理进行三角形边与角的互化．例2 【河北省武邑中学2016届高三上学期期末考试】已知的面积为，且.(1)求的值；(2)若，，求的面积.思路分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则及面积公式化简已知等式，求出的值即可；（2）由与的值，利用两角和与差的正切函数公式求出的值，进而求出的值，利用正弦定理求出的值，再利用三角形面积公式即可求出． (2)，即，∵，，∴，. ∴.  由正弦定理知：， .  点评：解三角形的两条思路要牢记：边角互化与使用三角恒等变换公式，其中正、余弦定理是常使用的，其作用就是边角互化，用一句话概括：“化边化角整体待，三角变换用起来”【规律总结】答题模板第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．第四步：回顾反思，在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形.【举一反三】【2015高考湖南】设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.（1）证明：；（2）求的取值范围.模板三　离散型随机变量的分布列、期望与方差试题特点：主要考查古典概型、几何概型，等可能事件的概率计算公式，互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式，相互独立事件的概率乘法公式，事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率计算公式等五个基本公式的应用及离散型随机变量的分布列和数学期望、方差等内容．求解策略：（1）搞清各类事件类型，并沟通所求事件与已知事件的联系．（2）涉及“至多”、“至少”问题时要考虑是否可通过计算对立事件的概率求解．（3）注意识别特殊的二项分布．（4）在概率与统计的综合问题中，能利用统计的知识提取相关信息用于解题．例3【江西省吉安市第一中学2016届高三上学期第四次周考数学理试题】某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了位校友（），其中女校友6位，组委会对这位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合” ..（1）若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求的最大值；（2）当时，设选出的2 位校友代表中女校友人数为，求随机变量的分布列和数学期望.思路分析：（1）由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率，由此能求出的最大值．（2）由题意得，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和均值．的分布列为012.点评：解决概率问题首先要考虑是考查哪种概率类型；其次要弄清互斥事件、相互独立事件的概率计算；再次在研究概率的前提下找出随机变量的所有可能取值、列出分布列、求解期望，注意特殊分布的公式的运用.【规律总结】答题模板第一步：确定离散型随机变量的所有可能值．第二步：求出每个可能值的概率．第三步：画出随机变量的分布列．第四步：求期望和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题可重点查看随机变量的所有可能值是否正确；根据分布列性质检查概率是否正确.【举一反三】【2015高考湖南】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.于是，，，，故的分布列为0123的数学期望为 .模板四　立体几何中位置关系的证明及空间角的计算问题试题特点：立体几何解答题主要分两类：一类是空间线面关系的判定和推理证明，主要是证明平行和垂直；另一类是空间几何量(空间角、空间距离、几何体体积与面积)的计算．求解策略：（1）利用“线线⇔线面⇔面面”三者之间的相互转化证明有关位置关系问题：①由已知想未知，由求证想判定，即分析法与综合法相结合来找证题思路；②利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．（2）空间几何量的计算，常用方法是依据公理、定理以及性质等经过推理论证，作出所求几何量并求之．一般解题步骤是“作、证、求”．例4 【江西省吉安市第一中学2016届高三上学期第四次周考】如图，是圆的直径，是圆上异于的一个动点，垂直于圆所在的平面，.（1）求证：；（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.思路分析：(1)由线面垂直得，由圆周角性质得，从而平面，由此能证明平面． (2)以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成的锐二面角的余弦值．（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，令得，设平面的一个法向量为，则，令得，，∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.点评：寻找立体几何的解题思路重点把握好以下几点：一是要有转化与化归的意识，即将线线关系、线面关系、面面关系之间的问题相互转化；二是要有平面化的思想，即将空间问题转化到某一平面处理；三是割补的意识，即将原几何体分割或补形，使之成为新的、更方便处理的几何体；四是要用好向量这个强有力的工具.【规律总结】答题模板第一步：根据条件合理转化．第二步：写出推证平行或垂直所需的条件，条件要充分．第三步：写出所证明的结论．第四步：建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标．第五步：求(或找)两个半平面的法向量．第六步：求法向量n1，n2的夹角或cos〈n1，n2〉(若为锐二面角则求|cos〈n1，n2〉|)．第七步：将法向量的夹角转化为二面角的夹角．第八步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．【举一反三】【2015高考北京】如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．(Ⅰ) 求证：；(Ⅱ) 求二面角的余弦值；(Ⅲ) 若平面，求的值． 【解析】 (Ⅰ)由于平面平面，为等边三角形，为的中点，则，根据面面垂直性质定理，所以平面EFCB，又平面，则.（Ⅲ）有（1）知平面EFCB，则，若平面，只需，，又，，解得或，由于，则.模板五　数列通项公式及求和问题试题特点：数列解答题一般设两到三问，前面两问一般为容易题，主要考查数列的基本运算，最后一问为中等题或较难题，一般考查数列的通项和前项和的求法、最值等问题．如果涉及递推数列，且与不等式证明相结合，那么试题难度大大加强．求解策略：（1）利用数列的有关概念求特殊数列的通项与前项和．（2）利用转化与化归思想(配凑、变形)将一般数列转化为等差、等比数列(主要解决递推数列问题)．（3）利用错位相减、裂项相消等方法解决数列求和．（4）利用函数与不等式处理范围和最值问题．例5【江西省吉安市第一中学2016届高三上学期第四次周考】已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.思路分析：（1）根据，即可求出数列的通项公式；（2）由（1）可得，可得然后再采用裂项相消即可求出结果.点评：高考数列大题常常以等差和等比数列为背景进行设置，以递推式为载体，与相关知识交汇的力度在加大，总体上难度有所上升.重点考查仍然是数列的通项、求和、累加法、累乘法、错位相减法、数列与函数的关系、数列与导数的关系、不等式的放缩等.【规律总结】答题模板第一步：令n＝1，由Sn＝f(an)求出a1.第二步：令n≥2，构造an＝Sn－Sn－1，用an代换Sn－Sn－1(或用Sn－Sn－1代换an，这要结合题目特点)，由递推关系求通项．第三步：验证当n＝1时的结论是否适合当n≥2时的结论．如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示．第四步：写出明确规范的答案．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．本题的易错点，易忽略对n＝1和n≥2分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合并.【举一反三】【2015高考新课标1】为数列{}的前项和.已知＞0，=.（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.【解析】（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，当时，==，即，因为，所以=2，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，所以数列{}前n项和为= =.模板六　圆锥曲线中的探索性问题试题特点：主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、中点、轨迹、范围、定值、最值等问题与探索存在性问题．本模板就探索性问题加以总结求解策略：突破解答题，应重点研究直线与曲线的位置关系，要充分运用一元二次方程根的判别式和韦达定理，注意运用“设而不求”的思想方法，灵活运用“点差法”解题，要善于运用数形结合思想分析问题，使数与形相互转化，根据具体特征选择相应方法．例7 【山西省康杰中学等四校2016届高三第二次联考】已知椭圆C：的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆C的标准方程;（2）已知点A,B为动直线与椭圆C的两个交点,问:在轴上是否存在定点E,使得为定值?若存在,试求出点的坐标和定值;若不存在,请说明理由.思路分析：(1）确定椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，即列出两个独立条件即可：椭圆C的长轴长等于圆心到切线的距离，，又，因此c=2, （2）存在性问题，一般从假设存在出发，以算代求：假设x轴上存在定点E(m,0), 则，而=,到此，联立直线方程与椭圆方程方程组，利用韦达定理代入求解得，要使上式为定值,即与k无关,须满足,解得.解析：(1)由得,即 ①      又以原点O为圆心,椭圆C的长轴长为半径的圆为,且与直线相切,所以代入①得c=2,  所以.所以椭圆C的标准方程为  =要使上式为定值,即与k无关,,得.  此时, ,所以在x轴上存在定点E(,0) 使得为定值,且定值为.  点评：解答存在性问题时可以考虑特殊化方法和逆推法，此类问题对运算能力要求较高，在运算过程中对式子的整理与变形尤为重要，渗透了函数与方程的思想、数形结合思想、转化与化归思想和分类讨论的数学思想.【规律总结】答题模板第一步：假设结论存在．第二步：以存在为条件，进行推理求解．第三步：明确规范表述结论．若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设．第四步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．常常容易忽略这一隐含条件以及忽略直线AB与x轴垂直的情况.【举一反三】【2015高考北京】已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．（Ⅱ），直线的方程为：，直线PB与x轴交于点N，令，则.设, , ,,则，所以，（注：点在椭圆上，），则，存在点使得.模板七　函数的单调性、最值、极值问题试题特点：给定函数含有参数，常见的类型有，，，根据对函数求导，按参数进行分类讨论，求出单调性、极值、最值.求解策略：（1）求解定义域；（2）求导（含二次函数形式的导函数）；（3）对二次函数的二次项系数、△判别式、根的大小进行讨论.例7【湖南省长沙市雅礼中学2016届高三月考试卷（三）】已知函数（其中a为常数）.（1）当a=0时，求函数的单调区间；（2）当0<a<1时，设函数的3个极值点为，且.证明：.思路分析：(1) ，令，可得，然后列表即可求出结果； (2)利用导数结合函数的个极值点为，构造函数，利用单调性去判断．解析：(1) ，令，可得.列表如下：单调减区间为；增区间为.  消去a有，令在上递减，在上递增，要证明，∴，∴即证，构造函数，∵，只需要证明单调递减即可.而，，∴在上单调递增，∴，∴当时，.  点评：函数的极值、最值问题常常以含参形式出现，要对参数进行讨论，要熟练掌握函数求导公式、运用导数工具研究单调性的方法.【规律总结】答题模板第一步：确定函数的定义域．第二步：求函数f(x)的导数f′(x)．第三步：求方程f′(x)＝0的根．第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格．第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性；求极值、最值．第六步：明确规范地表述结论．第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．常常容易易忽视定义域，对a不能正确分类讨论.【举一反三】【2015届山东省日照市高三12月校际联合检测】已知二次函数（为常数，）的一个零点是.函数，设函数.（1）求的值，当时，求函数的单调增区间；（2）当时，求函数在区间上的最小值；（3）记函数图象为曲线C，设点是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作轴的垂线交曲线C于点N.判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由.【解析】（1）由是函数的零点可求得.，因为，，所以，解，得，所以的单调增区间为   （3）设，则点的横坐标为，直线的斜率 ，曲线在点处的切线斜率，假设曲线在点处的切线平行于直线，则，即，所以 ，不妨设，，则，令，，所以在上是增函数，又，所以，即不成立，所以曲线在点处的切线不平行于直线.   模板八　含参不等式的恒成立问题试题特点：主要包括等式恒成立问题和不等式恒成立问题．求解策略：(1)对于可化为二次函数型的等式与不等式恒成立问题，可借助图象列不等式(组)求解．(2)通过移项，等式或不等式左右两边的函数图象易画，可画图求解．(3)将等式或不等式转化为某含待求参数的函数的值域或最值问题求解．例8【河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试】已知函数.⑴求的单调区间；⑵若，且对任意恒成立，求的最大值；⑶对于在区间上任意一个常数，是否存在正数，使得成立？请说明理由.思路分析：本题考查考查导数的应用，（1）求函数的单调区间，就是求出导函数，然后解不等式（或）得单调增区间（或减区间）；（2）不等式恒成立问题，化简不等式为，为此设，求它的最小值，由最小值大于0得的范围，由，在时，，因此要分类，或，时易得单调性，时，得，问题转化为时求的最大值，最终可得结果；（3）探索性问题，假设存在，不等式转化为，为此只需找到当时，函数的最小值满足即可.⑵由变形，得,整理得，令，,若时，恒成立，即在区间上递增，由,又的最大值为2.若由，由，即在上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上有最小值，为,于是转化为恒成立，求的最大值,令，当时，单调递减,当时，单调递增.在处取得最大值.，, ，的最大值为4.点评：高考函数大题的考查，无论如何变化，都离不开函数单调性的研究，因此在备考中就应该紧紧围绕这个中心问题，进行分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法的训练和总结.【规律总结】答题模板第一步：将问题转化为形如不等式f(x)≥a(或f(x)≤a)恒成立的问题．第二步：求函数f(x)的最小值f(x)min或最大值f(x)max.第三步：解不等式f(x)min≥a(或f(x)max≤a)．第四步：明确规范地表述结论．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及答题规范．如本题重点反思每一步转化的目标及合理性，最大或最小值是否正确.【举一反三】【2015高考福建】已知函数，(Ⅰ)证明：当；(Ⅱ)证明：当时，存在,使得对(Ⅲ)确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有． (2)令则有,当 ,所以在上单调递增, ,故对任意正实数均满足题意.当时，令得．取对任意恒有,所以在上单调递增, ,即.综上，当时，总存在,使得对任意的恒有．(3)当时，由（1）知，对于故，，令，则有故当时，,在上单调递增，故,即,所以满足题意的t不存在.当时，由（2）知存在,使得对任意的任意的恒有．此时,令，则有故当时，,在上单调递增，故,即,记与中较小的为，则当，故满足题意的t不存在.当，由（1）知，，令，则有当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.综上，.此时,令，此时 ,记与中较小的为，则当，故满足题意的t不存在.当，由（1）知，，令，则有当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意．综上，.模板九　探索创新性问题试题特点：主要包括两个类型：一是自定义的创新题，二是考查知识交汇渗透的情境创新题．求解策略：(1)对于自定义的创新题，首先应准确理解新概念、新法则的含义，然后根据新概念、新法则把所求问题转化为我们熟悉的问题求解．(2)对于情境创新题，既要分析每一个知识点在题目中的作用，又要分析它们的交汇点在哪里，应做到两者的有机结合．例9 【宿迁市2015届高三年级摸底考试数学试题】已知数列是等差数列，其前n项和为Sn，若，．（1）求；（2）若数列{Mn}满足条件： ，当时，－，其中数列单调递增，且，．①试找出一组，，使得；②证明：对于数列，一定存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方．思路分析：（1）设数列的首项为，公差为，利用基本量表示有关量进行求解；（2）①先根据固定，再根据，验证是否存在符合题意；②由①的结论。先猜后证.，因为，所以，，解得，所以，满足题意       ②由①知，，，则，，，一般的取，   此时，，则＝－＝，所以为一整数平方．因此存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方．点评：(1)求解时，首先弄清其本质，然后转化为我们熟悉的等差(比)数列．理解E数列An的意义是解题的关键．(2)本题常见的错误：①E数列An的意义不明，无从着手；②在证明充分性时，不能运用不等式的性质去绝对值符号，得到a2 000≤a1＋1 999思维受阻．  【规律总结】答题模板第一步：依据E数列定义，分别求a2，a4，a5进而写出一个E数列A5(不唯一)．第二步：由An的单调性，去绝对值，利用等差数列求an.第三步：利用不等式的性质，判定an＋1－an＝1＞0.第四步：根据充要条件的意义，得证结论．第五步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．【举一反三】【重庆南开中学高2015级高三9月月考】已知函数满足对任意实数都有成立，且当时，,.（1）求的值；（2）判断在上的单调性，并证明；（3）若对于任意给定的正实数，总能找到一个正实数，使得当时，，则称函数在处连续。试证明：在处连续．；当时，必存在使得   取，则当即时，有,而   ,        综上，在处连续．