2021高考数学考点专项突破数列的通项与求和含解析

数列的通项与求和

一、单选题

1、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）已知公差不为零的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设公差为，由得到，

整理得到，因，故，

，所以，故选A.

2、已知等差数列的前项之和为，前项和为，则它的前项的和为（   ）

A.             B.              C.               D.

【答案】C

【解析】由于等差数列中也成等差数列，即成等差数列，所以，故选C.

3、设等差数列的前n项和为，若，则(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】是等差数列

又，

∴公差，

，故选C．

4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知数列中，，()，则等于（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】

∵，()，
，
，
，
，
…，
∴数列是以3为周期的周期数列，
，
，
故选：A.

5．（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）已知数列满足，则（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

由题得，则有，

，故选C．

6、（2020·浙江高三）等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，则“d＝0”是“Z”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，

若d＝0，则{an}为常数列，故an=，

即⇒“Z”，

当Z时，d不一定为0，

例如，数列1，3，5，7，9，11中，4，d＝2，

故d＝0是Z的充分不必要条件．

故选：A．

7、（2020届山东省德州市高三上期末）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题中定义可得，

即，即，

等式两边同时除以，得，且，

所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，

因此，.

故选：B.

8、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知数列，满足且设是数列的前项和，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由且，

得，，

所以，，

，

又，所以，解得，

故选：C.

9、在数列中，已知，，则“”是“是单调递增数列”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若在数列中，已知，，，则，解得．

若数列是单调递增数列，则对任意的都满足：，

，即.

因此，“”是“是单调递增数列”的充分必要条件.

故选：C.

二、多选题

10、已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题，其中是真命题的是　

A．公差 B．在所有中，最大 

C． D．满足的的个数有15个

【答案】

【解析】，且，

，即，

又，，

，即，

，故选项，为真命题；

，，

，即，

又，

，

又，

，

又，

，

故选项为真命题，选项为假命题；

故选：．

11、（2019秋•济宁期末）若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an+1，（n∈N*），则下列说法正确的是（　　）

A．a5＝﹣16 B．S5＝﹣63 

C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn+1}是等比数列

【答案】AC

【解析】：∵Sn＝2an+1，（n∈N*），

∴①当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，∴a1＝﹣1，

②当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an+1﹣2an﹣1﹣1，∴2an﹣1＝an，∴，

∴数列{an}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，故选项C正确，

∴，

∴，，故选项A正确，选项B错误，

又∵，∴数列{Sn+1}不是等比数列，故选项D错误，

故选：AC．

12、（2019秋•宁阳县校级月考）设是数列的前项和，且，，则　　

A． B． 

C．数列为等差数列 D．

【答案】

【解析】：是数列的前项和，且，，则，

整理得（常数），

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．故正确

所以，

故：．

所以当时，

（首项不符合通项），

故故正确

所以，故正确．

故选：．

三、填空题

13、（2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的通项公式_______

【答案】

【解析】设数列公差为，由已知得，解得．

∴．

故答案为：．

14、（2020届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三12月联考）设为数列的前n项和，若（），且，则的值为______.

【答案】1240

【解析】当时，，，可得，

当时，由，得，

∴，即，

∴数列是首项，公差为6的等差数列，

∴，

故答案为：1240.

15、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考）设等比数列的公比为，前项和为.若存在，使得，且，则正整数的值为______.

【答案】

【解析】，，得，，解得.

由，可得，所以，，

即，，，，解得，

故答案为.

16、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列前n项和为．若，，则________，的最大值为________．

【答案】4    42   

【解析】

∵数列是等差数列，∵，∴，，

又，，，

，

,

∴当或时，有最大值42.

故答案为：（1）4；（2）42.

17、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列中，，其前项和满足，则__________；__________.

【答案】       

【解析】

（1）由题：，令，

，

得：，所以；

（2）由题，

，化简得：

，

，

是一个以2为首项，1为公差的等差数列，

，，

故答案为：(1).     (2).

18、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）数列的前项和为，，，则__________；若时，的最大值为__________.

【答案】26    807   

【解析】∵，，

∴，，，，，……

∴；

由可知，，

故时，的最大值为807；

故答案为：26；807．

四、解答题

19、（2020年高考全国Ⅰ卷理数）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

【解析】（1）设的公比为，由题设得 即.

所以 解得（舍去），.

故的公比为.

（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以

，

.

可得

所以.

20、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.

(1)求;

(2)设，求的前项和.

【解析】 (1)设数列的公差为，

由题意知:    ①

又因为成等比数列，

所以，

，

，

又因为，

所以.  ②

由①②得，

所以，

， ，，

.

(2)因为，

所以

所以数列的前项和

21、（2020年高考全国III卷理数）设数列{an}满足a1=3，．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

【解析】（1） 猜想 由已知可得

，

，

……

.

因为，所以

（2）由（1）得，所以

.  ①

从而

.②

得

，

所以

22、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为．

(1)求的通项公式；

(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）设等差数列的公差为d，

由得，解得，

；

（2），

， ，

若，则，整理得，

又，，整理得，

解得，

又，，，

∴存在满足题意．

23、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列是等比数列，且，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【解析】（1）设数列的公比为，∵，

∴，∴，

∵，

∴，

∴，

即：，

解得：.

∴，

∴.

（2），

∴

.

24、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列的前项和满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【解析】（1）因为,,

所以,,

两式相减得,

整理得,

即,,所以为常数列,

所以,

所以

（2）由（1）,,

所以

两式相减得：

，  

， 

化简得

25、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：

（1）；

（2）数列的前项和.

【解析】（1）设的公比为q.

因为成等差数列，

所以，即.

因为，所以.

因为，所以.

因此.

由题意，.

所以，

，从而.

所以的公差.

所以.

（2）令，则.

因此.

又

两式相减得

.

所以.