2021高考数学考点专项突破等差数列与等比数列含解析

等差数列与等比数列

一、单选题

1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（　　）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】C 

【解析】∵a1=12，S5=90，∴5×12+ d=90，

解得d=3．故选C．

2、已知公差不为0的等差数列，前项和为，满足，且成等比数列，则（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】B

【解析】设等差数列的公差为，则 ，

解得或（舍），故，

故选：B.

3、设数列{an}是等差数列，若a3+a4+a5＝12，则a1+a2+…+a7＝（    ）

A．14 B．21 C．28 D．35

【答案】C

【解析】数列{an}是等差数列，则；

故选：

4、（2019年高考全国III卷理数）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（    ）

A．16  B．8 

C．4  D．2

【答案】C

【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，

解得，，故选C．

5、等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由等差数列的性质及求和公式得，,，故选C.

6、（2018年高考全国I卷理数）设为等差数列的前项和，若，，则（    ）

A．            B．

C．            D．

【答案】B

【解析】设等差数列的公差为，根据题中的条件可得，

整理解得，所以，故选B．

7、（2019·湖南衡阳市八中高三月考（理））公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为

当阿基里斯和乌龟的速度恰好为米时，乌龟爬行的总距离为

故选

8、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知数列满足且，则（    ）

A．-3 B．3 C． D．

【答案】B

【解析】,∴数列是以2为公差的等差数列，

，

，，，

故选：B.

9、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【解析】由已知，得，

故选：C.

9、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】C

【解析】根据题意有，即，因为数列各项都是正数，所以，而，故选C.

10、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.

11、（2020届山东实验中学高三上期中）古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（    ）

A．6天 B．7天 C．8天 D．9天

【答案】C

【解析】

设该女子第一天织布尺，

则，

解得，

前天织布的尺数为：，

由，得，

解得的最小值为8．

故选：．

12、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】，，，，.

，.

故选：D

二、多选题

13、若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an+1，（n∈N*），则下列说法正确的是（　　）

A．a5＝﹣16 B．S5＝﹣63 

C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn+1}是等比数列

【答案】AC

【解析】：∵Sn＝2an+1，（n∈N*），

∴①当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，∴a1＝﹣1，

②当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an+1﹣2an﹣1﹣1，∴2an﹣1＝an，∴，

∴数列{an}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，故选项C正确，

∴，

∴，，故选项A正确，选项B错误，

又∵，∴数列{Sn+1}不是等比数列，故选项D错误，

故选：AC．

14、（2019秋•潍坊期末）设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0且S6＝S9，则（　　）

A．d＞0 B．a8＝0 

C．S7或S8为Sn的最大值 D．S5＞S6

【答案】BC

【解析】：a1＞0且S6＝S9，∴6a1d＝9a1d，化为：a1+7d＝0，可得a8＝0，d＜0．

S7或S8为Sn的最大值，S5＜S6．

故选：BC．

15、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（   ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】等比数列的公比，

和异号， ，故A正确；

但不能确定和的大小关系；故B不正确；

和异号，且且，

和中至少有一个数是负数，

又 ， ，故D正确，

一定是负数，即 ，故C不正确；

故选：AD

16、（2020届山东省济宁市高三上期末）设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是（    ）

A．S2019<S2020 B．

C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值

【答案】AB

【解析】当时，，不成立；

当时，，不成立；

故，且，故，正确；

，故正确；

是数列中的最大值，错误；

故选：

三、填空题

17、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在等差数列（）中，若，，则的值是______.

【答案】-15

【解析】数列是等差数列，，又，，

，故.

故答案为：

18、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知等比数列的前项和为，若，则的值是       ．

【答案】-2

【解析】，

19、（2019年高考全国I卷理数）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=___________．

【答案】

【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，

所以所以．

18、（2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次联合调研）已知等差数列an的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为_____.

【答案】1

【解析】由的等差数列,

因为成等比数列,则,即,

可得,则,

故答案为：1

19、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）设等差数列的前项和为，若，则的值为_______.

【答案】.

【解析】由得，即，

，

故答案为：.

20、（2019年高考北京卷理数）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为___________．

【答案】 0，.

【解析】等差数列中,,得又,所以公差,,

由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.

21、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，则________.

【答案】3

【解析】从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列，

，第行的个数为，

从第1行到第行的所有数的个数总和为，

，是第行第个数，

，

整理得.

故答案为:3.

四、解答题

22、（2018年高考全国II卷理数）记为等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）求，并求的最小值．

【答案】（1）an=2n–9；（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．

【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．

由a1=–7得d=2．

所以{an}的通项公式为an=2n–9．

（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．

所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．

23、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知数列满足：.

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】（1）证明：因为，

所以．

因为

所以

所以．

又，

所以是首项为，公比为2的等比数列，

所以．

（2）解：由（1）可得，

所以

．

24、已知等差数列满足.

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）记数列的前项和为，若，求的最小值.

【解析】（1）设等差数列的公差为.依题意有

解得

所以.

（2）因为，

所以.

因为，即，

所以.所以的最小值为

25、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，是和的等比中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，证明数列是等比数列，并求的前n项和.

【解析】因为是和的等比中项，所以

设数列的首项为，公差为，则，

即，∵，∴①

，整理得②

（或，∴）

由①②解得

所以

（2）

因为

所以数列是以为首项，4为公比的等比数列

所以数列的前n项和为

26、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）在数列中，，，且对任意的N*，都有.

（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围.

【解析】

（Ⅰ）由可得．

又，，所以，故.

所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以.  

所以.

（Ⅱ）因为.

所以

.

又因为对任意的都有，所以恒成立，

即,即当时，.

27、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知数列的前项和为，且．公比大于的等比数列的首项为，且．

（1）求和的通项公式；

（2）若，求证：，．

【解析】（1）数列的前项和为，且，

当时，，

当时，，

经检验，满足，

所以，数列的通项公式为；

设的公比为，

即，

将代入，得，

解得，

所以，数列的通项公式为.

（2），

当时，，

即，

，，

当时，，

.

28、（2020届山东实验中学高三上期中）设正项数列的前n项和为，已知

(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式

(2)设数列的前n项和为，且，若对任意都成立，求实数的取值范围.

【解析】（1）证明:∵，且，

当时，，解得．

当时，有即，即．于是，

即．

∵，∴为常数

∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴．

（2）由（1）可得： ，

∴

，即对任意都成立，

①当为偶数时，恒成立，

令，

，

在上为增函数，

②当为奇数时，恒成立，又，在为增函数，

∴由①②可知：

综上所述的取值范围为: