试卷 2021年河南省洛阳市汝阳县中考数学一模试卷

这是一份试卷 2021年河南省洛阳市汝阳县中考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣3B．直线x＝3C．直线x＝2D．直线x＝﹣2
2．（3分）为了解汝阳县汽车站今年春节期间每天乘车人数这个问题，随机抽查了其中七天的乘车人数，被抽查的这七天的乘车人数是这个问题的（ ）
A．总体B．个体C．样本D．以上都不对
3．（3分）如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（ ）
A．﹣B．C．D．以上都不对
4．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4B．k＝﹣4C．k≥﹣4D．k≥4
5．（3分）李红同学遇到了这样一道题：tan（α+20°）＝1，你猜想锐角α的度数应是（ ）
A．40°B．30°C．20°D．10°
6．（3分）若AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，则点C一定在（ ）
A．⊙O内B．⊙O外C．⊙O上D．⊙O内或⊙O上
7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，且a＜0，a﹣b+c＞0，则一定有（ ）
A．b2﹣4ac＞0B．b2﹣4ac＝0C．b2﹣4ac＜0D．b2﹣4ac≤0
8．（3分）某市公园的东、南、西、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，已知⊙O中∠AOB度数为100°，C是圆周上的一点，则∠ACB的度数为（ ）
A．130°B．100°C．80°D．50°
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③④C．①②③④D．①②③④⑤
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）圆锥的底面半径为5cm，圆锥母线长为13cm，则圆锥的侧面积为 cm2（结果保留π）．
12．（3分）一个不透明的盒子里有红、黄、白小球共80个，它们除颜色外均相同．小文将这些小球摇匀后，随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次实验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为在30%和40%，由此可估计盒中大约有白球 个．
13．（3分）已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1＝0的根，求代数式a2﹣2015a﹣的值为 ．
14．（3分）如图，在⊙E中，弦AB与CD相交于坐标原点O，已知B（0，﹣3），C（﹣2，0），D（6，0），则点A的坐标是 ．
15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是 ．
三.解答题（本大题共8个小题，满分75分要求写出必要的过程，）
16．（8分）先化简，再求代数式÷（a﹣1﹣）的值，其中a＝2sin60°﹣2tan45°．
17．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB＝4，AE＝2，求⊙O的半径．
18．（9分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
19．（9分）某校为了解学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行测试，并将测试成绩（百分制，得分均为整数）进行统计分析，绘制了不完整的频数表和频数直方图．
由图表中给出的信息回答下列问题：
（1）表中的a＝ ；抽取部分学生的成绩的中位数在 组；
（2）把如图的频数直方图补充完整；
（3）如果成绩达到80分以上（包括80分）为优秀，请估计该校1500名学生中成绩优秀的人数．
20．（9分）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
21．（10分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cs26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）
22．（10分）已知二次函数y1＝a（x﹣2）2+k中，函数y1与自变量x的部分对应值如表：
（1）求该二次函数的表达式；
（2）将该函数的图象向左平移2个单位长度，得到二次函数y2的图象，分别在y1、y2的图象上取点A（m，n1）B（m+1，n2），试比较n1与n2的大小．
23．（11分）【问题探究】
已知：如图①所示，∠MPN的顶点为P，⊙O的圆心O从顶点P出发，沿着PN方向平移．
（1）如图②所示，当⊙O分别与射线PM，PN相交于A、B、C、D四个点，连接AC、BD，可以证得△PAC∽△ ，从而可以得到：PA•PB＝PC•PD．
（2）如图③所示，当⊙O与射线PM相切于点A，与射线PN相交于C、D两个点．求证：PA2＝PC•PD．
【简单应用】
（3）如图④所示，（2）中条件不变，经过点P的另一条射线与⊙O相交于E、F两点．利用上述（1），（2）两问的结论，直接写出线段PA与PE、PF之间的数量关系 ；当PA＝4，EF＝2，则PE＝ ．
【拓展延伸】
（4）如图⑤所示，在以O为圆心的两个同心圆中，A、B是大⊙O上的任意两点，经过A、B两点作线段，分别交小⊙O于C、E、D、F四个点．求证：AC•AE＝BD•BF．（友情提醒：可直接运用本题上面所得到的相关结论）
2021年河南省洛阳市汝阳县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分下列各小题均有四个答案，只有一个是正确的.）
1．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣3B．直线x＝3C．直线x＝2D．直线x＝﹣2
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h即可确定抛物线y＝（x﹣2）2+3的对称轴．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+3，
∴对称轴是直线x＝2．
故选：C．
2．（3分）为了解汝阳县汽车站今年春节期间每天乘车人数这个问题，随机抽查了其中七天的乘车人数，被抽查的这七天的乘车人数是这个问题的（ ）
A．总体B．个体C．样本D．以上都不对
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．根据定义即可判断．
【解答】解：被抽查的这七天的乘车人数是这个问题的样本．
故选：C．
3．（3分）如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（ ）
A．﹣B．C．D．以上都不对
【分析】根据图中阴影部分可知，这个无理数在1到3之间，结合选项进行排除即可．
【解答】解：∵，
2，
，
∴被阴影覆盖的可能是．
故选：B．
4．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4B．k＝﹣4C．k≥﹣4D．k≥4
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝42﹣4k＝16﹣4k＝0，
解得：k＝4．
故选：A．
5．（3分）李红同学遇到了这样一道题：tan（α+20°）＝1，你猜想锐角α的度数应是（ ）
A．40°B．30°C．20°D．10°
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【解答】解：∵tan（α+20°）＝1，
∴tan（α+20°）＝，
∵α为锐角，
∴α+20°＝30°，α＝10°．
故选：D．
6．（3分）若AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，则点C一定在（ ）
A．⊙O内B．⊙O外C．⊙O上D．⊙O内或⊙O上
【分析】利用圆周角定理得到AB所对的圆周角为90°，然后利用∠ACB＝90°可判断点与圆的位置关系．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴AB所对的圆周角为90°，
而∠ACB＝90°，
∴点C在⊙O上．
故选：C．
7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，且a＜0，a﹣b+c＞0，则一定有（ ）
A．b2﹣4ac＞0B．b2﹣4ac＝0C．b2﹣4ac＜0D．b2﹣4ac≤0
【分析】由a＜0可以得到抛物线的开口向下，又a﹣b+c＞0，所以当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，画草图可以推出抛物线与x轴有两个交点，由此可以得到b2﹣4ac＞0．
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线的开口向下．
∵a﹣b+c＞0，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
画草图得：抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0．
故选：A．
8．（3分）某市公园的东、南、西、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的有4种等可能结果，
所以佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率为＝，
故选：B．
9．（3分）如图，已知⊙O中∠AOB度数为100°，C是圆周上的一点，则∠ACB的度数为（ ）
A．130°B．100°C．80°D．50°
【分析】首先在优弧AB上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理，可求得∠D的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案．
【解答】解：在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵∠D＝∠AOB＝×100°＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠D＝130°．
故选：A．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③④C．①②③④D．①②③④⑤
【分析】由图象可知，a＜0，c＝1，对称轴x＝﹣＝﹣1，即b＝2a；①当x＝1时，y＜0；②当x＝﹣1时，y＞1；③abc＝2a2＞0；④当x＝﹣3时，y＜0；⑤c﹣a＝1﹣a＞1．
【解答】解：由图象可知，a＜0，c＝1，
对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
①∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故正确；
②∵当x＝﹣1时，y＞1，
∴a﹣b+c＞1，故正确；
③abc＝2a2＞0，故正确；
④由图可知当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，故正确；
⑤c﹣a＝1﹣a＞1，故正确；
∴①②③④⑤正确，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）圆锥的底面半径为5cm，圆锥母线长为13cm，则圆锥的侧面积为 65π cm2（结果保留π）．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×5×13÷2＝65πcm2．
故答案为：65π．
12．（3分）一个不透明的盒子里有红、黄、白小球共80个，它们除颜色外均相同．小文将这些小球摇匀后，随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次实验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为在30%和40%，由此可估计盒中大约有白球 24 个．
【分析】先求出白球所占的比例，再乘以总球数求解．
【解答】解：80×（1﹣30%﹣40%）
＝80×30%
＝24（个）．
答：盒中大约有白球24个．
故答案为：24．
13．（3分）已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1＝0的根，求代数式a2﹣2015a﹣的值为 ﹣1 ．
【分析】利用方程解的定义得到a2＝2016a﹣1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2016x+1＝0根，
∴a2﹣2016a+1＝0，
∴a2＝2016a﹣1，
∴原式＝2016a﹣1﹣2015a﹣
＝a﹣1﹣a
＝﹣1．
故答案是：﹣1．
14．（3分）如图，在⊙E中，弦AB与CD相交于坐标原点O，已知B（0，﹣3），C（﹣2，0），D（6，0），则点A的坐标是 （0，4） ．
【分析】连接AD，BC，根据点的坐标求出OB、OC、OD的长度，根据圆周角定理求出∠DAO＝∠BCO，求出△AOD∽△COB，根据相似三角形的性质得出比例式，最后求出答案即可．
【解答】解：连接AD，BC，
∵B（0，﹣3），C（﹣2，0），D（6，0），
∴OB＝3，OC＝2，OD＝6，
由圆周角定理得：∠DAO＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△COB，
∴＝，
∴＝，
解得：OA＝4，
∵点A在y轴上，
∴点A的坐标是（0，4），
故答案为：（0，4）．
15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是 4 ．
【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2，
∴a2＝20，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴BE＝2a＝4，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH＝＝＝，
∴DH＝BD，
∴CD+BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
故答案为4．
三.解答题（本大题共8个小题，满分75分要求写出必要的过程，）
16．（8分）先化简，再求代数式÷（a﹣1﹣）的值，其中a＝2sin60°﹣2tan45°．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（a﹣1﹣）
＝
＝
＝
＝，
当a＝2sin60°﹣2tan45°＝2×﹣2×1＝﹣2时，原式＝．
17．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB＝4，AE＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线；
（2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠2．
∵DA平分∠BDE，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．∴OA∥DE．
∴∠OAE＝∠4，
∵AE⊥CD，∴∠4＝90°．
∴∠OAE＝90°，即OA⊥AE．
又∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°．
∵∠5＝90°，∴∠BAD＝∠5．
又∵∠2＝∠3，∴△BAD∽△AED．
∴，
∵BA＝4，AE＝2，∴BD＝2AD．
在Rt△BAD中，根据勾股定理，
得BD＝．
∴⊙O半径为．
18．（9分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【分析】根据方程的解的定义得出m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2，再整体代入即可得出a的值．
【解答】解：存在，理由如下：
∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2，
∴﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）
＝﹣（m+n）[7（m2﹣2m）+a][3（n2﹣2n）﹣7]
＝﹣2×（7+a）（3﹣7）
＝﹣8（7+a），
由﹣8（7+a）＝8得a＝﹣6，
∴存在实数a＝﹣6﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8．
19．（9分）某校为了解学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行测试，并将测试成绩（百分制，得分均为整数）进行统计分析，绘制了不完整的频数表和频数直方图．
由图表中给出的信息回答下列问题：
（1）表中的a＝ 14 ；抽取部分学生的成绩的中位数在 C 组；
（2）把如图的频数直方图补充完整；
（3）如果成绩达到80分以上（包括80分）为优秀，请估计该校1500名学生中成绩优秀的人数．
【分析】（1）首先计算抽取的学生总数，再利用总人数×频率可得a的值；
（2）根据（1）中计算的数据画图即可；
（3）利用样本估计总体的方法可得答案．
【解答】解：（1）抽取的学生总数：6÷0.12＝50，
则a＝50×0.28＝14，
抽取部分学生的成绩的中位数在C组，
故答案为：14；C．
（2）如右图所示：
（3）1500×（0.20+0.08）＝1500×0.28＝420（人），
答：该校1500名学生中成绩优秀的有420人．
20．（9分）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
【分析】（1）本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出S与t之间的函数关系式；
（2）把S＝30代入累计利润S＝t2﹣2t的函数关系式里，求得月份；
（3）分别t＝7，t＝8，代入函数解析S＝t2﹣2t，再把总利润相减就可得出．
【解答】解：（1）由图象可知其顶点坐标为（2，﹣2），
故可设其函数关系式为：S＝a（t﹣2）2﹣2．
∵所求函数关系式的图象过（0，0），
于是得：
a（0﹣2）2﹣2＝0，
解得a＝．
∴所求函数关系式为：S＝（t﹣2）2﹣2，即S＝t2﹣2t．
答：累积利润S与时间t之间的函数关系式为：S＝t2﹣2t；
（2）把S＝30代入S＝（t﹣2）2﹣2，
得 （t﹣2）2﹣2＝30．
解得t1＝10，t2＝﹣6（舍去）．
答：截止到10月末公司累积利润可达30万元．
（3）把t＝7代入关系式，
得S＝×72﹣2×7＝10.5，
把t＝8代入关系式，
得S＝×82﹣2×8＝16，
16﹣10.5＝5.5，
答：第8个月公司所获利是5.5万元．
21．（10分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cs26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）
【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CN、AF，即可求出点A到直线DE的距离；
（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．
【解答】解：（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，
由题意可知，AC＝80，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，
在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×＝40mm＝FM，
∠DCN＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠DCB＝80°，
∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，
∴AM∥CN，
∴∠A＝∠BCN＝50°，
∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，
在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44mm，
∴AM＝AF+FM＝51.44+40≈120.7mm，
答：点A到直线DE的距离约为120.7mm；
（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，
在Rt△BCD中，CD＝80mm，BC＝40mm，
∴tan∠D＝＝＝0.500，
∴∠D≈26.6°，
因此旋转的角度约为：60°﹣26.6°＝33.4°，
答：CD旋转的角度约为33.4°．
22．（10分）已知二次函数y1＝a（x﹣2）2+k中，函数y1与自变量x的部分对应值如表：
（1）求该二次函数的表达式；
（2）将该函数的图象向左平移2个单位长度，得到二次函数y2的图象，分别在y1、y2的图象上取点A（m，n1）B（m+1，n2），试比较n1与n2的大小．
【分析】（1）找出顶点（2，1）代入一个点可求得二次函数的表达式；
（2）分别把A、B两点的坐标代入表达式中，求出对应的n1和n2的值，比较大小即可．
【解答】解：（1）从表格看，二次函数顶点为（2，1），则k＝1，
把（1，2）代入y1＝a（x﹣2）2+1中得：2＝a（1﹣2）2+1，a＝1，
∴二次函数的表达式；y1＝（x﹣2）2+1；
（2）由题意得：y2＝（x﹣2+2）2+1＝x2+1，
把A（m，n1）B（m+1，n2）分别代入y1、y2的表达式中，
n1＝（m﹣2）2+1＝m2﹣4m+5，
n2＝（m+1）2+1＝m2+2m+2，
n1﹣n2＝（m2﹣4m+5）﹣（m2+2m+2）＝﹣6m+3，
﹣6m+3＞0，m＜，
﹣6m+3＜0，m＞，
∴当m＜时，n1﹣n2＞0，即n1＞n2，
当m＝时，n1﹣n2＝0，即n1＝n2，
当m＞时，n1﹣n2＜0，即n1＜n2．
23．（11分）【问题探究】
已知：如图①所示，∠MPN的顶点为P，⊙O的圆心O从顶点P出发，沿着PN方向平移．
（1）如图②所示，当⊙O分别与射线PM，PN相交于A、B、C、D四个点，连接AC、BD，可以证得△PAC∽△ △PDB ，从而可以得到：PA•PB＝PC•PD．
（2）如图③所示，当⊙O与射线PM相切于点A，与射线PN相交于C、D两个点．求证：PA2＝PC•PD．
【简单应用】
（3）如图④所示，（2）中条件不变，经过点P的另一条射线与⊙O相交于E、F两点．利用上述（1），（2）两问的结论，直接写出线段PA与PE、PF之间的数量关系 PA2＝PE•PF ；当PA＝4，EF＝2，则PE＝ 6 ．
【拓展延伸】
（4）如图⑤所示，在以O为圆心的两个同心圆中，A、B是大⊙O上的任意两点，经过A、B两点作线段，分别交小⊙O于C、E、D、F四个点．求证：AC•AE＝BD•BF．（友情提醒：可直接运用本题上面所得到的相关结论）
【分析】（1）由圆内接四边形的性质得出∠PAC＝∠PDB，再由∠P＝∠P，得出△PAC∽△PDB，得出对应边成比例，即可得出PA•P B＝P C•P D；
（2）连接AC、AD，由弦切角定理得出∠PAC＝∠PDA，再由∠P＝∠P，证出△PAC∽△PDA，得出对应边成比例，即可得出结论；
（3）由（2）得出PA2＝PE•PF．代入已知数据得出PE（PE+2）＝48，解方程即可；
（4）过A作⊙O的切线AM，M为切点，过B作⊙O的切线BN，N为切点，连接OA、OM、OB、ON，由切线的性质得出AM⊥OM，BN⊥ON，由（3）得：AM2＝AC•AE，BN2＝BD•BF．在Rt△AOM中，由勾股定理得出AM2＝OA2﹣OM2，在Rt△BON中，由勾股定理得出BN2＝OB2﹣ON2，再由同圆的半径相等，即可得出结论．
【解答】（1）解：由圆内接四边形的性质得：∠PAC＝∠PDB，
又∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PDB，
∴PA：PD＝PC：PB，
∴PA•P B＝P C•P D．
故答案为：△PDB；
（2）证明：连接AC、AD，如图③所示：
∵⊙O与射线PM相切于点A，与射线PN相交于C、D两个点，
∴∠PAC＝∠PDA，
又∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PDA，
∴PA：PD＝PC：PA，
∴PA2＝PC•PD；
（3）解：由（2）得：PA2＝PE•PF．
∵PA＝4，EF＝2，
∴PE•PF＝（4）2＝48，
即PE（PE+2）＝48，
解得：PE＝6，或PE＝﹣8（舍去），
∴PE＝6，
故答案为：PA2＝PE•PF，6；
（4）证明：过A作⊙O的切线AM，M为切点，过B作⊙O的切线BN，N为切点，连接OA、OM、OB、ON，则AM⊥OM，BN⊥ON，如图⑤所示：
由（3）得：AM2＝AC•AE，BN2＝BD•BF．
在Rt△AOM中，AM2＝OA2﹣OM2，
在Rt△BON中，BN2＝OB2﹣ON2，
又∵OM＝ON，OA＝OB，
∴AM2＝BN2，
∴AC•AE＝BD•BF．
组别
成绩x（分）
频数（人）
频率
A组
50≤x＜60
6
0.12
B组
60≤x＜70
a
0.28
C组
70≤x＜80
16
0.32
D组
80≤x＜90
10
0.20
E组
90≤x≤100
4
0.08
x
…
1
2
3
4
…
y
…
2
1
2
5
…
组别
成绩x（分）
频数（人）
频率
A组
50≤x＜60
6
0.12
B组
60≤x＜70
a
0.28
C组
70≤x＜80
16
0.32
D组
80≤x＜90
10
0.20
E组
90≤x≤100
4
0.08
x
…
1
2
3
4
…
y
…
2
1
2
5
…