试卷 2021年广西贵港市覃塘区中考数学第一次质检试卷

这是一份试卷 2021年广西贵港市覃塘区中考数学第一次质检试卷，共26页。试卷主要包含了选择题每小题都给出标号为A，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．﹣
2．（3分）目前我国经济保持了中高速增长，2020年国内生产总值突破100万亿元，稳居世界第二，将数据“100万亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1×1013B．1×1014C．1×1015D．1×1016
3．（3分）下列运算不正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（y3）4＝y12
C．（﹣2x）3＝﹣8x3D．x3+x3＝2x6
4．（3分）从n个苹果和4个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则n的值是（ ）
A．8B．6C．4D．2
5．（3分）若点M（a，﹣1）与点N（2，b）关于y轴对称，则a+b的值是（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣kx+2k﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝7，则（x1﹣x2）2的值是（ ）
A．13或11B．12或﹣11C．13D．12
7．（3分）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3B．m＜3C．m≤3D．m≥3
8．（3分）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）
A．15°B．35°C．25°D．45°
10．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：36，则S△BDE与S△BAC的比是（ ）
A．1：3B．1：4C．1：5D．1：36
11．（3分）如图，点P是菱形AOBC内任意一点，∠C＝45°，OP＝2，点M和点N分别是射线OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
A．2B．2C．4D．2
12．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，
其中正确的结论是（ ）
A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若式子1+在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．（3分）分解因式：m2n+4mn﹣4n＝ ．
15．（3分）已知一组从小到大排列的数据：1，x，y，2x，6，10的平均数与中位数都是5，则这组数据的众数是 ．
16．（3分）如图，直线a∥b，∠B＝22°，∠C＝50°，则∠A的度数为 °．
17．（3分）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在上，点C的对应点为E，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（3分）已知正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3…在直线y＝x+1上，C1，C2，C3…在x轴上，则点A2021的坐标是 ．
三、解答题
19．（10分）（1）计算：|﹣2|﹣（﹣）﹣2+（3.14﹣π）0+2cs30°．
（2）解分式方程：．
20．（5分）如图，已知⊙O和点P（点P在⊙O内部），请用直尺和圆规作⊙O的一条弦AB，使得弦AB经过点P且最短（要求不写作法，保留作图痕迹）．
21．（6分）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）相交于点A（，4）和点B（m，1）．
（1）求k的值和直线AB的表达式；
（2）请根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集．
22．（8分）为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求样本容量；
（2）补全条形图，并填空：n＝ ；
（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？
23．（8分）学校为奖励在艺术节系列活动中表现优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元，购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）学校计划购买甲、乙两种奖品共1800件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品多少件才能使总费用最小？最小费用是多少元？
24．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3AE，写出求tanC的思路．
25．（11分）如图，已知抛物线y＝αx2+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若P是直线BC下方的抛物线上一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M在抛物线的对称轴上，点N在y轴上，当以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标．
26．（10分）已知：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，点F是线段OD的中点，连接EF．
（1）如图1，若AB＝2，∠CBD＝30°，则线段EF的长为 ．
（2）如图2，设EF与AC的交点为P，连接AF．
①求证：点P是线段EF的中点；
②若AF＝EF，矩形ABCD的形状有怎样的变化？并证明你的结论．
2021年广西贵港市覃塘区中考数学第一次质检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共2小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的.请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑.
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．﹣
【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵﹣2×（）＝1，
∴﹣2的倒数是﹣．
故选：D．
2．（3分）目前我国经济保持了中高速增长，2020年国内生产总值突破100万亿元，稳居世界第二，将数据“100万亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1×1013B．1×1014C．1×1015D．1×1016
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：100万亿＝100000000000000＝1×1014，
故选：B．
3．（3分）下列运算不正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（y3）4＝y12
C．（﹣2x）3＝﹣8x3D．x3+x3＝2x6
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及合并同类项的法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项不合题意；
B．（y3）4＝y3×4＝y12，故本选项不合题意；
C．（﹣2x）3＝（﹣2）3x3＝﹣8x3，故本选项不合题意；
D．x3+x3＝2x3，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）从n个苹果和4个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则n的值是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【分析】根据概率公式列出方程，解之可得．
【解答】解：根据题意可得＝，
解得：n＝6，
故选：B．
5．（3分）若点M（a，﹣1）与点N（2，b）关于y轴对称，则a+b的值是（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
【分析】根据关于y轴的对称点的纵坐标相等、横坐标互为相反数得出a、b的值，从而得出答案．
【解答】解：∵点M（a，﹣1）与点N（2，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣2、b＝﹣1，
则a+b＝﹣3，
故选：B．
6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣kx+2k﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝7，则（x1﹣x2）2的值是（ ）
A．13或11B．12或﹣11C．13D．12
【分析】根据根与系数的关系结合x12+x22＝7，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，将其代入原方程利用根的判别式△＞0可确定k的值，再根据根与系数的关系结合（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2即可求出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+2k﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝2k﹣1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝7，即k2﹣4k﹣5＝0，
解得：k1＝﹣1，k1＝5．
当k＝﹣1时，原方程为x2+x﹣3＝0，
∴△＝12﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
∴k＝﹣1符合题意，此时x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝13；
当k＝5时，原方程为x2﹣5x+9＝0，
∴△＝（﹣5）2﹣4×1×9＝﹣11＜0，
∴k＝5不符合题意，舍去．
综上可知：（x1﹣x2）2的值是13．
故选：C．
7．（3分）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3B．m＜3C．m≤3D．m≥3
【分析】根据“大大小小找不着”可得不等式2+m≥2m﹣1，即可得出m的取值范围．
【解答】解：，
由①得：x＞2+m，
由②得：x＜2m﹣1，
∵不等式组无解，
∴2+m≥2m﹣1，
∴m≤3，
故选：C．
8．（3分）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据正方形、菱形、等边三角形的性质以及平行四边形的判定即可一一判断；
【解答】解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故正确；
②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故错误；
③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故正确；
④等边三角形既是轴对称图形不是中心对称图形，故错误，
故选：B．
9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）
A．15°B．35°C．25°D．45°
【分析】根据等腰三角形性质知∠CBA＝∠BCA＝65°，∠A＝50°，由平行线的性质及圆周角定理得∠ABD＝∠BDC＝∠A＝50°，从而得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC、∠BCA＝65°，
∴∠CBA＝∠BCA＝65°，∠A＝50°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠A＝50°，
又∵∠ABD＝∠BDC＝50°，
∴∠DBC＝∠CBA﹣∠ABD＝15°，
故选：A．
10．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：36，则S△BDE与S△BAC的比是（ ）
A．1：3B．1：4C．1：5D．1：36
【分析】DE∥AC，推出△DEO∽△CAO可得＝（）2＝，据此的＝，由△BDE∽△BAC知＝（）2＝．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DEO∽△CAO，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝（）2＝，
故选：D．
11．（3分）如图，点P是菱形AOBC内任意一点，∠C＝45°，OP＝2，点M和点N分别是射线OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
A．2B．2C．4D．2
【分析】设点P关于OA的对称点为J，关于OB的对称点为K，当点M、N在JK上时，△PMN的周长最小．
【解答】解：∵四边形AOBC是菱形，∠C＝45°，
∴∠AOB＝45°，
分别作点P关于OA、OB的对称点J、K，连接JK，分别交OA、OB于点M、N，连接OJ、OK．
∵点P关于OA的对称点为J，关于OB的对称点为K，
∴PM＝JM，OP＝OJ，∠JOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为K，
∴PN＝KN，OP＝OK，∠KOB＝∠POB，
∴OJ＝OK＝OP＝2，∠JOK＝∠JOA+∠POA+∠POB+∠KOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝90°，
∴△JOK是等腰直角三角形，
∴JK＝＝＝2．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝JM+MN+KN≥C]JK＝2，
故选：B．
12．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，
其中正确的结论是（ ）
A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤
【分析】①由顶点坐标公式判断即可；
②根据图象得到一次函数y＝kx+b为增函数，抛物线当x大于0时为增函数，本选项正确；
③AB长不可能为5，由A、B的横坐标求出AB为5时，直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知矛盾；
④三角形OAB不可能为等边三角形，因为OA与OB不可能相等；
⑤直线y＝﹣kx+b与y＝kx+b关于y轴对称，作出对称后的图象，故y＝﹣kx+b与抛物线交点横坐标分别为﹣3与2，找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．
【解答】解：①抛物线y＝ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；
②根据图象得：直线y＝kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y＝ax2（a≠0）当x＞0时为增函数，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；
③由A、B横坐标分别为﹣2，3，若AB＝5，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，
与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；
④若OA＝OB，得到直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，
∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；
⑤直线y＝﹣kx+b与y＝kx+b关于y轴对称，如图所示：
可得出直线y＝﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，
由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，
则正确的结论有①②⑤．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若式子1+在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≠﹣2 ．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．
【解答】解：若式子1+在实数范围内有意义，则x+2≠0，即x≠﹣2，
故答案为：x≠﹣2．
14．（3分）分解因式：m2n+4mn﹣4n＝ n（m2+4m﹣4） ．
【分析】直接利用找出公因式n，进而提取公因式分解因式即可．
【解答】解：m2n+4mn﹣4n＝n（m2+4m﹣4）．
故答案为：n（m2+4m﹣4）．
15．（3分）已知一组从小到大排列的数据：1，x，y，2x，6，10的平均数与中位数都是5，则这组数据的众数是 6 ．
【分析】根据平均数与中位数的定义可以先求出x，y的值，进而就可以确定这组数据的众数．
【解答】解：∵一组从小到大排列的数据：1，x，y，2x，6，10的平均数与中位数都是5，
∴（1+x+y+2x+6+10）＝（2x+y）＝5，
解得x＝3、y＝4，
则这组数据为1、3、4、6、6、10
∴这组数据的众数是6．
故答案为：6．
16．（3分）如图，直线a∥b，∠B＝22°，∠C＝50°，则∠A的度数为 28 °．
【分析】如图，由平行线的性质可求得∠1＝∠C，再根据三角形外角的性质可求得∠A．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠C＝50°，
又∠1＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠1﹣∠B＝50°﹣22°＝28°，
故答案为：28．
17．（3分）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在上，点C的对应点为E，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】连接BD，过A作AF⊥BD于F，根据旋转的性质得出扇形ABC和扇形ADE的面积相等，AB＝AD＝BC＝BD＝2，求出△ABD是等边三角形，求出∠ABF＝60°，解直角三角形求出BF和AF，再根据阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABD﹣S△ABD）求出答案即可．
【解答】解：连接BD，过A作AF⊥BD于F，则∠AFB＝90°，如图，
∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在上，点C的对应点为E，
∴扇形ABC和扇形ADE的面积相等，AB＝AD＝BC＝BD＝2，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
∴∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝＝1，由勾股定理得：AF＝＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABD﹣S△ABD）
＝﹣（﹣）
＝+，
故答案为：+．
18．（3分）已知正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3…在直线y＝x+1上，C1，C2，C3…在x轴上，则点A2021的坐标是 （22020﹣1，22020） ．
【分析】根据直线y＝x+1 这个条件，可以判定直线与x轴的夹角是45°，且OA1＝1；再结合正方形条件，可以判定所有三角形都是等腰直角三角形；点Ak（k＝1，2，3，…） 的高度（纵坐标）恰为前一个正方形边长的2倍，也是Ak﹣1 高度（纵坐标）的2倍．即Ak＝2×Ak﹣1，所以，其中 A1＝1．
【解答】解：根据条件y＝x+1，可以得到该直线与x轴的夹角是45°，且OA1＝1，即；
再结合正方形条件，可以判定所有三角形都是等腰直角三角形；
于是A2 的高度是1+1＝2，即；
A3的高度是2+2＝4，即；
同样A4 的高度是4+4＝8，即；
…An 的高度是2n﹣1．
所以当n＝2021 时，A2021 的高度是22020，即，
于是将该点的纵坐标代入y＝x+1，得到x＝22020﹣1．
故答案是：（22020﹣1，22020）．
三、解答题
19．（10分）（1）计算：|﹣2|﹣（﹣）﹣2+（3.14﹣π）0+2cs30°．
（2）解分式方程：．
【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣4+1+
＝﹣1；
（2）去分母得：x（x+2）﹣x2﹣x+2＝3，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：（x﹣1）（x+2）＝0，
∴原分式方程无解．
20．（5分）如图，已知⊙O和点P（点P在⊙O内部），请用直尺和圆规作⊙O的一条弦AB，使得弦AB经过点P且最短（要求不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】作直线OP，过点P作EF⊥OP交⊙O于E，F，线段EF即为所求．
【解答】解：如图，线段EF即为所求．
21．（6分）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）相交于点A（，4）和点B（m，1）．
（1）求k的值和直线AB的表达式；
（2）请根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集．
【分析】（1）首先利用A点的坐标根据待定系数法求得反比例函数的解析式，然后代入B（m，1），即可得出B点坐标，最后根据待定系数法即可得出直线AB的 解析式；
（2）根据图象求得即可．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝（k≠0）经过A（，4），
∴k＝＝2，
∴双曲线为y＝，
把B（m，1）代入得，1＝，
解得m＝2，
∴B（2，1），
把A、B的坐标代入y＝ax+b得，
解得：，
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+5；
（2）由图形可知，不等式＜ax+b的解集为：x＜0或＜x＜2．
22．（8分）为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求样本容量；
（2）补全条形图，并填空：n＝ 10 ；
（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？
【分析】（1）用B等级人数除以其所占百分比可得；
（2）总人数减去A、B、D人数求得C的人数即可补全条形图，用D等级人数除以总人数可得n的值；
（3）总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）样本容量为18÷30%＝60；
（2）C等级人数为60﹣（24+18+6）＝12人，n%＝×100%＝10%，
补全图形如下：
故答案为：10；
（3）估计本次测试成绩为A级的人数为5000×＝2000人．
23．（8分）学校为奖励在艺术节系列活动中表现优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元，购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）学校计划购买甲、乙两种奖品共1800件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品多少件才能使总费用最小？最小费用是多少元？
【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，根据“购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元，购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（1800﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，
依题意，得：，
解得：．
答：甲种奖品的单价为40元/件，乙种奖品的单价为30元/件．
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（1800﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w，
∵购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，
∴1800﹣m≤2m，
∴m≥600．
依题意，得：w＝40m+30（1800﹣m）＝10m+54000，
∵10＞0，
∴w随m值的增大而增大，
∴当学习购买600件甲种奖品、1200件乙种奖品时，总费用最小，最小费用是60000元．
24．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3AE，写出求tanC的思路．
【分析】（1）连接OD，求出OD∥AC，求出DF⊥OD，根据切线的判定得出即可；
（2）由AC＝3AE可设AC＝3x，AE＝x，则AB＝AC＝3x，EC＝4x；连接BE，由AB是直径可知∠AEB＝90°，根据勾股定理求出BE，解直角三角形求出即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB为直径∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：思路是：
连接BE，
∵AC＝3AE，AB＝AC，
∴设AE＝x，AC＝AB＝3x，
∵AB是直径，
∴∠E＝90°，
在Rt△BEA中，由勾股定理得：BE＝＝2x，
在Rt△ECB中，tanC＝＝＝．
25．（11分）如图，已知抛物线y＝αx2+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若P是直线BC下方的抛物线上一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M在抛物线的对称轴上，点N在y轴上，当以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标．
【分析】（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式，利用待定系数法可求；
（2）设出点P的坐标（m，m2﹣4m+3），用含有m的式子求得△PBC的面积，应用二次函数的性质可求△PBC面积的最大值时的m的值，P点坐标可求；
（3）利用分类讨论的思想，分以CE为边和以CE为对角线两种情形讨论．利用菱形的四条边相等和对角线垂直平分的性质可求点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）和B（3，0），
∴．
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）如图，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设P（m，m2﹣4m+3），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∵点B（3，0），点C（0，3），
∴．
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∴D（m，﹣m+3）．
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．
∵＝﹣＝﹣+．
∵﹣，
∴当m＝时，S△PBC有最大值．
当m＝时，．
∴P（，﹣）．
（3）如下图，
∵抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴点E的坐标为（2，1）．
∵C（0，3），
∴EC＝．
①当以EC为边时，所得的菱形为CEM1N1和CEM2N2，
根据菱形的四条边相等，
∴．
∵点M在对称轴x＝2上，
∴，．
②当以EC为对角线时，所得的菱形为CEM3N3，
∵CE与M3N3互相垂直平分，又∠BCO＝45°，记CE与M3N3的交点为F，
∴△CN3F是等腰直角三角形．
∴．
则点M3的坐标为（2，3）．
综上，M点的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2）或（2，3）．
26．（10分）已知：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，点F是线段OD的中点，连接EF．
（1）如图1，若AB＝2，∠CBD＝30°，则线段EF的长为 ．
（2）如图2，设EF与AC的交点为P，连接AF．
①求证：点P是线段EF的中点；
②若AF＝EF，矩形ABCD的形状有怎样的变化？并证明你的结论．
【分析】（1）连接CF，根据正切的定义求出BC，根据矩形的性质、等边三角形的判定定理得到CF⊥OD，根据直角三角形的性质解答即可；
（2）①取OB的中点G，连接EG，根据三角形中位线定理得到EG∥OC，根据平行线分线段成比例定理证明即可；
②过点F作FH⊥BC于H，连接OE、FC，根据平行线分线段成比例定理得到点H是线段EC的中点，根据线段垂直平分线的判定定理得到DA＝DC，根据正方形的判定定理证明结论．
【解答】（1）解：如图1，连接CF，
∵四边形ABCD为矩形，∠CBD＝30°，
∴OC＝OD，∠BDC＝60°，BC＝＝2，
∴△OCD为等边三角形，
∵点F是线段OD的中点，
∴CF⊥OD，
∵点E是BC边的中点，
∴EF＝BC＝，
故答案为：；
（2）①证明：如图2，取OB的中点G，连接EG，
∵点E是BC边的中点，
∴EG∥OC，
∴＝，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OB＝OD，
∵点F是线段OD的中点，
∴OF＝OG，
∴FP＝PE，即点P是线段EF的中点；
②解：矩形ABCD是正方形，
理由如下：过点F作FH⊥BC于H，连接OE、FC，
∵OB＝OC，点E是BC边的中点，
∴OE⊥BC，
∴OE∥FH∥CD，
∵点F是线段OD的中点，
∴点H是线段EC的中点，
∴FE＝FC，
∵AF＝FE，
∴AF＝CF，
∵OA＝OC，
∴DA＝DC，
∴矩形ABCD为正方形．