2021年高考艺术生数学基础复习 考点19 二项式定理（教师版含解析）

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考点19 二项式定理
知识理解
一．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C
(4)项数为n＋1，且各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n
二．二项式系数的性质

三． 指定项的系数或二项式系数
1.解题思路：通项公式
2.常见指定项：若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：
(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项
(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项
(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项
(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项
三．系数和---赋值法
1．赋值法的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
2．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．
考向分析
考向一 二项展开式中特定项及系数
【例1】(1)(2020·长春市第八中学高三)二项式的展开式中的系数为
(2)(2021·上海高三一模)在的二项展开式中，常数项等于____.
(3)(2020·全国高三)在的展开式中，有理项共有 项
(4)(2020·云南省个旧市第一高级中学高三)展开式中x的系数为80，则a等于 。
【答案】(1)(2)240(3)5(4)-2
【解析】(1)由二项式定理可知，令，得，
所以的展开式中的系数为.故选：C
(2)在的二项展开式中，通项公式为 ，
令，求得，可得展开式的常数项为 ，故答案为：240．
(3)由题意可得二项展开式的通项
根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则r＝0，6，12，18，24，共有5项，
(4)展开式的通项公式为
的系数为，解得.
【举一反三】
1．(2020·上海奉贤区·高三一模)在展开式中，常数项为__________.(用数值表示)
【答案】
【解析】展开式的通项为，
令，可得，所以常数项为，故答案为：
2．(2020·四川成都市·高三一模)的展开式中的系数是______．(用数字作答)
【答案】
【解析】由题设二项式知：，
∴项，即，∴系数为，故答案为：.
3．(2020·全国高三专题练习)的展开式中的系数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，
得展开式的通项为，则展开式的通项为，
由，得，所以所求的系数为.故选：C.
4．(2020·全国高三)二项式的展开式中的系数是，则( )
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】展开式的通项为，
因为的系数是，所以，即，，解得，故选：B.
5．(2020·山东高三专题练习)的展开式中的系数是-10，则实数( )
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【答案】C
【解析】二项式展开式的通项为，令，得，
则，所以，解得.故选：C
6．(2020·广东高三一模)当为常数时，展开式中常数项为，则________．
【答案】
【解析】的第项为，
令，得，所以，解得．故答案为：
考向二 二项式系数的性质
【例2】(1)(2020·黑龙江大庆市·高三三模)若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是( )
A． B．
C． D．
(2)．(2020·江西高三其他)已知的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的系数为( )
A．80 B．40 C． D．
【答案】(1)D(2)A
【解析】(1)∵的展开式中只有第项的二项式系数最大，∴为偶数，展开式共有项，则.
的展开式的通项公式为，令，得.
∴展开式中含项的系数是，故选D．
(2)由题意，所以，解得，
则的展开式的通项为，
由得，所以的系数为.故选：A．
【举一反三】
1．(2020·四川绵阳市·高三三模)在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为( )
A．﹣360 B．﹣160 C．160 D．360
【答案】B
【解析】∵展开式中，仅第四项的二项式系数最大，
∴展开式共有7项，则n＝6，
则展开式的通项公式为Tk+1＝Cx6﹣k()k＝(﹣2)kCx6﹣2k，
由6﹣2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝(﹣2)3C160，故选：B．
2．(2020·全国高三专题练习)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为( )
A． B． C． D．7
【答案】D
【解析】因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以所以的展开式的通项
令，得所以展开式中的系数为故选：D
3．(2020·永丰县永丰中学高三)若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是( ).
A．132 B． C． D．66
【答案】D
【解析】因为展开式中只有第7项的二项式系数最大，
所以为偶数，展开式有13项，，
所以二项式展开式的通项为由得，
所以展开式中含项的系数为.故选：D
考向三 二项式系各项系数和
【例3】(1)(2020·四川省泸县第二中学高三)的展开式的各项系数和是( )
A． B． C． D．
(2)(2020·四川宜宾市·高三一模)若展开式中所有项的系数和为1，则其展开式中的系数为( )
A． B． C． D．
(3)(2020·江西高三)若，则( )
A．0 B．2 C． D．1
(4)(2020·安徽高三)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】(1)D(2)D(3)D(4)B
【解析】(1)令，则展开式的各项系数和是.故选：D
(2)令，则展开式中所有项的系数和为，故，
展开式的通项公式为，
令，解得，故的系数为，故选：D．
(3)由，
令，可得；令，可得
所以.故选：D.
(4)令有，
又由题意可得，故选：．
【举一反三】
1．(2020·全国高三)在的展开式中，若二项式系数的和为128，常数项为14，则( )
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为的展开式中，二项式系数和为128，所以，即，
所以的展开式的通项为，
令，则．因为展开式常数项为14，即常数项是，解得．
故选：B．
2．(2020·全国高三其他模拟)已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______.
【答案】270
【解析】令，的展开式中所有项的系数之和为，所以，解得，
所以展开式的通项，令，得，
所以常数项为.故答案为：270.
3．(2020·全国高三专题练习)的展开式中，的奇次幂项的系数之和为( )
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】设，
令，则，
令，则，
两式相减，整理得.故选：A
4．(2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三)若，则的值是( )
A． B． C．126 D．
【答案】C
【解析】令，得.又，所以.故选：C
5．(2020·全国高三专题练习)已知，则( )
A．2 B．6 C．12 D．24
【答案】C
【解析】因为，
此二项式的展开式的通项为，
当时，所以.故选：C.
6.(2020·江苏省南通中学高三一模)已知，则________；________；________； ________.
【答案】－2 －1094 1093 2187
【解析】当时，；
当时，；
当时，；
故；
；
；
由展开式可知均为负值，均为正值，

故答案为：－2；－1094；1093；2187.
考向四 多项式展开式中特定项系数
【例4】(1)(2021·河南郑州市·高三一模)式子的展开式中，的系数为( )
A． B． C． D．
(2)．(2020·全国高三其他模拟(理))在的展开式中的系数为( )
A．50 B．20 C．15 D．
(3)(2020·安徽省泗县第一中学高三其他模拟(理))的展开式的各项系数之和为5，则该展开式中x项的系数为( )
A．-66 B．-18 C．18 D．66
【答案】(1)B(2)B(3)D
【解析】(1)，
的展开式通项为，
的展开式通项为，
由，可得，
因此，式子的展开式中，的系数为.故选：B.
(2)∵(2x﹣1)(x﹣y)6＝(2x﹣1)(•y6•x5y•x4y2•x3y3•x2y4 xy5 y6)，
故展开式中x3y3的系数为，故选：B．
(3)令，可得，∴．
又的通项公式为，
在的展开式中x的系数为．故选：D．
【举一反三】
1．(2020·广西高三)的展开式中，含的项的系数是( )
A． B． C．25 D．55
【答案】B
【解析】二项式的展开式中的通项，含的项的系数为故选B.
2．(2020·福建高三二模)的展开式中的系数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将展开，得，
则原展开式中含的项为，整理可知其系数为98．故选：D．
3．(2020·长春市第八中学高三一模)的展开式的常数项为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的展开式的通项公式为：Tr+1＝()6﹣r=()6﹣r= ．
令6﹣2r＝﹣2，或6﹣2r＝0，分别解得r＝4，或r＝3．
所以的展开式的常数项为+2×＝
故选：B
4．(2020·全国高三其他模拟)已知展开式中含项的系数为，则正实数的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】展开式的通项公式为：.
展开式中含的项的系数为：
，解得：或.
为正实数，.
故选：.
5．(2020·山东高三专题练习)已知的展开式中的常数项为8，则实数( )
A．2 B．-2 C．-3 D．3
【答案】A
【解析】展开式的通项为，
当取2时，常数项为，
当取时，常数项为
由题知，则.
故选：A.

强化练习

1．(2020·四川凉山彝族自治州·高三一模(理))的展开式中的常数项是______.(用数字作答)
【答案】
【解析】展开式的通项公式为：，
令，所以，所以展开式中常数项为：，故答案为：.
2．(2020·上海高三专题练习)在的二项展开式中，项的系数为__________.
【答案】
【解析】由题意，令，得，所以项的系数为．
故答案为：15．
3．(2020·上海高三专题练习)在的二项展开式中项的系数为__________．
【答案】
【解析】二项展开式的通项公式为，，令，得，
所以二项展开式中项的系数为.故答案为：
4．(2020·全国高三专题练习)在的二项展开式中，中间项的系数是___________．
【答案】
【解析】，共有7项，中间项是第4项，，
所以中间项的系数是.故答案为：
5．(2020·四川成都市·高三)的展开式的中间一项为_______________________.
【答案】
【解析】因为的展开式共有7项，所以展开式的中间一项为，故答案为：
6．(2020·全国高三)若的展开式中与的系数之比为，则为
【答案】2
【解析】因为的展开式的通项为，
令，解得或．当时，通项为；当时，通项为，
所以与的系数之比为，解得．
7．(2020·宜宾市叙州区第二中学校高三月考)已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为
【答案】240
【解析】二项展开式的第项的通项公式为，
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，
可得：，解得：.所以，
令，解得：，所以的系数为，
8．(2020·湖南长沙市·雅礼中学高三月考)若直线与垂直，则二项式的展开式中x的系数为
【答案】
【解析】由题意可得：，则.
的展开式的通项，
令，可得，即x的系数为.
9．(2020·广西高三)在二项式的展开式中，项的系数是15，则实数a的值为_______.
【答案】
【解析】由二项式定理，.
当时，，于是的系数为，∴.
10．(2020·江苏南京市·南京师大附中高三月考)在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于__________.
【答案】
【解析】由题意，在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，
根据二项展开式的性质，可得，解得，
所以该二项式为，则展开式的通项为，
令，可得，所以含项的系数为.
故答案为：.
11．(2020·宜宾市叙州区第二中学校高三开学考试)的二项展开式中第三项和第四项的二项式系数最大，则各项系数和为_________
【答案】
【解析】由题：的二项展开式中第三项和第四项的二项式系数最大，
即，令x=1，的二项展开式各项系数和为故答案为：32
12．(2020·四川德阳市·高三)在二项式的展开式中，二项式系数之和为64，且展开式中的常数项为20，则______．
【答案】
【解析】因为二项式系数之和为64，所以，得，
又常数项为，故，解得，故答案为：
13．(2020·陕西省商丹高新学校高三)的展开式中的项的系数是
【答案】-120
【解析】因为的展开式的通项为：，
令得的展开式中的项的系数是；
令得的展开式中的项的系数是；
所以的展开式中的项的系数是，
14．(2020·湖南长沙市·周南中学高三二模)在的展开式中，含项的系数为
【答案】6
【解析】通项公式为：，的通项公式.
令，则.∴含项的系数为.
15．(2020·山东高三其他模拟)的展开式中的系数为
【答案】120
【解析】
，
故要求原展开式中的系数就要求展开式中的系数，
利用二项式定理可得的通项为，
则，
16．(2020·全国高三二模)的展开式中，的系数为
【答案】-20
【解析】因为，所以.
因为的展开式的通项公式为，所以，
所以的系数为.
17．(2020·全国高三专题练习)若展开式中的常数项是60，则实数的值为
【答案】±2
【解析】由的通项公式为，结合知：当为常数项时，有，即(舍去)
当为常数项时，有，即
又∵展开式的常数项为60∴，解得
18．(2020·北海市北海中学高三月考)的展开式中的系数为
【答案】30
【解析】，
故它的展开式中含的系数为，
19．(2020·浙江宁波市·镇海中学高三三模)记，则的值为
【答案】129
【解析】中，
令，得.
∵展开式中
∴
20．(2020·上海杨浦区·高三一模)已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为，则展开式中的常数项为__________(结果用数值表示).
【答案】
【解析】由于的二项展开式的所有二项式系数的和为，解得.
的展开式通项为，
令，解得.
因此，的展开式中的常数项为.
故答案为：.
21．(2020·广西北海市·高三一模)展开式中的系数为，则=________.
【答案】6
【解析】展开式中的系数为，解得.
故答案为：
22．(2020·河南焦作市·高三一模)的展开式中的系数为______.
【答案】
【解析】二项式的通项，
二项式的通项，
故的系数为，故答案为：.
23．(2020·江苏省天一中学高三其他模拟)若，则______.
【答案】
【解析】由题意，由，，
∴，令，则，所以.
故答案为：.
24．(2020·全国高三专题练习)的展开式中的系数为_____________.
【答案】
【解析】，
展开式通项为，

令，可得，因此，展开式中的系数为.
故答案为：.
25．(2020·全国高三专题练习)的展开式中的系数为4，则的展开式中常数为______．
【答案】8
【解析】的展开式中项为，
因为的展开式中的系数为4，所以，解得．
所以的展开式中常数项为．故答案为： 8
26．(2020·广西高三其)二项式展开式中的常数项为，则实数=_______．
【答案】1
【解析】因为展开式的通项公式为
令，则常数项为第5项且为5，所以
27．(2020·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三月考)的展开式中的系数为________.(用数字作答)
【答案】
【解析】

其中展开式的通项为
要求的系数，则令，解得，所以
所以的系数为
故答案为：
28(2020·广西高三)若，则的值为__________.
【答案】242
【解析】由题设
令可得，，所以.
故答案为：242
29．(2020·河南高三)已知，则______.
【答案】28
【解析】因为的第项为(且)，所以不存在，所以，因为的系数为，所以，所以.故答案为：28
30．(2020·全国高三专题练习)多项式展开式的常数项为__________.(用数字作答)
【答案】6
【解析】，
通项公式，
当时，，.
故答案为：6
31．(2020·云南高三一模(理))已知的展开式中的系数为5，则________.
【答案】1
【解析】依题意可知，展开式中的项为，所以，解得.
故答案为：.
32．(2020·上海青浦区·复旦附中青浦分校高三开学考试)代数式的展开式的常数项是________(用数字作答)
【答案】3
【解析】的通项公式为.
令，得；令，得.
∴常数项为
故答案为.
33．(2020·梅河口市第五中学高三其他模拟(理))已知，则______.
【答案】10
【解析】，其通项公式为，故，所以.
故答案为10
34．(2020·上海市建平中学高三月考)已知二项展开式中的第五项系数为，则正实数_____.
【答案】
【解析】T5x﹣2，∴，a＞0．解得a．故答案为．
35．(2020·湖北武汉市·武汉为明学校)已知，则______.
【答案】
【解析】，
令， ①，
令， ②，
①+②得，
得.
故答案为：.
36．(2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他模拟(理))已知是常数，，且，则_____．
【答案】3
【解析】在中，
取，得，
取，得，
所以，
所以，解得.
故答案为：
40．(2020·全国高三专题练习)已知，则__________．
【答案】
【解析】令可得；
令，可得，
所以.
故答案为0
41．(2020·全国高三专题练习)已知，则_____，_______.
【答案】0 665
【解析】因为，
令可得：.
所以：；
；
；
；
……
；
；
故.
故答案为：0，665.
42．(2020·浙江高三其他模拟)已知，则__________﹔__________．
【答案】 0
【解析】
令得，所以,
令得，所以,
,
令得,

故答案为：，0