2021年高考艺术生数学基础复习 考点39 利用导数求极值最值（学生版）

考点39  利用导数求极值最值

一．函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

（3）注意事项

①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点)

②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点

二．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

考向一  求极值

【例1】(2021·全国课时练习)函数在上的极大值点为(    )

A． B． C． D．

【举一反三】

1．(2021·石泉县石泉中学)函数的极小值为(    )

A．0 B． C． D．

2．(2021·河南新乡市)已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为(    )

A． B． C． D．1

考向二 已知极值求参数

【例2】(2021·福建南平市)已知是函数的极小值点，则函数的极小值为(    )

A． B． C． D．4

【举一反三】

1．(2020·全国课时练习)若函数的极小值点是，则的极大值为(    )

A． B． C． D．

2．(2020·安徽省太和第一中学)若函数的极值为，则实数的值为(    )

A． B． C． D．

3(2021·全国课时练习)若函数在处取得极小值，则a=__________．

4．(2021·全国高二课时练习)已知函数，当时函数的极值为，则__________．

考向三 求最值

【例3】(2021·江苏单元测试)函数在[0，2]上的最大值是(    )

A． B． C．0 D．

【举一反三】

1．(2021·全国课时练习)函数y＝的最大值为(    )

A．e－1 B．e C．e2 D．10

2.(2021·平罗中学)已知在与时取得极值．

(1)求的值；

(2)求的极大值和极小值；

(3)求在上的最大值与最小值.

3．(2021·天津河西区)已知函数.

(1)求的极值；

(2)求在上的最值.

考向四 已知最值求参数

【例4】(2021·南昌市新建一中)已知函数在处取得极小值，则在的最大值为(    )

A． B． C． D．

【举一反三】

1．(2021·江苏)若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是(     )

A． B． C． D．

2.(2020·陕西省子洲中学)若函数在[0，3]上的最大值为5，则m=(    )

A．3 B．4 C．5 D．8

3．(2021·江苏单元测试)已知函数在上的最大值为，则a的值为(    )

A． B． C． D．

4．(2021·全国课时练习)已知函数在区间上存在最小值，则a的取值范围为_______．

一、单选题

1．(2021·河南平顶山市)已知函数有3个不同的零点，则的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

2．(2020·福建莆田市·高三其他模拟)已知函数，则“”是“有极值”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．(2021·宁夏吴忠市·高三一模(文))若函数在上有两个零点，则实数m的取值范围为(    )

A． B．

C． D．

4．(2020·安徽六安市·六安二中)若函数y＝x3＋x2＋m在[-2，1]上的最大值为，则m等于(    )

A．0 B．1

C．2 D．

5．(2021·江苏高二)函数的极小值是___．

6．(2021·江苏泰州市·泰州中学)函数在处取得极值10，则___________.

7．(2021·安徽宿州市)已知函数在，时取得极小值0，则__________．

8．(2021·全国课时练习)已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________.

9．(2021·河南郑州市·高三一模(理))已知，若存在极小值，则的取值范围是_______________________．

10．(2020·辽宁沈阳市·高三月考)函数(，)在区间上存在极大值，则实数的取值范围是______．

11．(2021·全国课时练习)若函数在区间上有极大值，则的取值范围是________.

12．(2021·南昌市·江西师大附中)若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是____________.

13．(2020·通榆县第一中学校高三月考(文))若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______.

14．(2021·定远县育才学校4)已知函数在处有极值.

(1)求实数、的值；

(2)判断函数的单调区间，并求极值.

15．(2021·江苏单元测试)已知函数

(1)当a=0时，求函数f(x)的极大值；

(2)求函数f(x)的单调区间；

16．(2020·四川内江市·高三一模(理))已知函数，､，若在处与直线相切.

(1)求，的值；

(2)求在上的极值.

17．(2020·四川成都市·华阳中学高二期中(文))已知函数，曲线过点.

(1)求函数解析式.

(2)求函数的单调区间与极值.

18．(2020·莆田第十五中学高三期中(理))已知函数.

(1)当时，求函数的极值；

(2)讨论函数的单调性.

19．(2020·全国)已知函数．

(1)求的极值；

(2)求在区间上的最小值．

20(2020·江西高三其他模拟(文))已知函数.

(1)若，求函数的极值；

(2)讨论函数的单调性.