2021年高考艺术生数学基础复习 考点42 圆的方程（教师版含解析）

考点42 圆的方程

一．求圆的方程

1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．

2．圆的标准方程

(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．

(2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．

3．圆的一般方程

(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．

(2) 对方程：.

①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；

②若，则方程只表示一个点，；

③若，则方程不表示任何图形．

4.点与⊙C的位置关系

(1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔；

(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔；

(3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔.

二．圆与圆的位置关系

设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().

(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.

(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.

(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.

(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.

(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.

三．直线与圆位置关系(或交点个数)的解题思路

（1）把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r

（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离

（3）d与r比较大小

四．直线与圆弦长解题思路---垂定定理

(1)把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r

(2)利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离

(3)利用弦长公式

五．圆上的点到直接距离最值的解题思路

(1)把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r

(2)利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离

(3)判断位置关系

考向一 圆的方程

【例1】(1)(2021·浙江杭州市·学军中学)圆的圆心坐标和半径分别是(    )

A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3

C． D．

(2)(2021·河南洛阳市)已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】(1)D(2)D

【解析】(1)根据圆的标准方程可得，的圆心坐标为，半径为，故选：D.

(2)设圆的方程为，

把点，，代入得

， 解得，，，

所以圆的方程是．故选：D．

【举一反三】

1．(2020·河北区)圆的圆心和半径分别是(    )

A．；1 B．；

C．；1 D．；

【答案】D

【解析】圆的标准方程是：，

所以圆的圆心和半径分别是；.故选：D

2．(2021·河南周口市)圆的半径和圆心坐标分别为(  )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】 半径和圆心坐标分别为,选D

3．(2021·全国课时练习)若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是(    )

A．(1，＋∞) B．

C．(1，＋∞)∪ D．R

【答案】A

【解析】因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，

即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选：A.

4．(2021·内蒙古包头市)顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______．

【答案】

【解析】设圆的标准方程为，因为过点，，

所以 解得 则圆的标准方程为

故答案为：

考向二 点与圆的位置关系

【例2】(1)(2020·福建厦门市·大同中学)点与圆的的位置关系是(    )

A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定

(2)(2020·黑龙江哈尔滨市)已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为(    )

A． B． C． D．

【答案】(1)A(2)D

【解析】(1)，因此，点在圆外.故选：A.

(2)由得：，圆心，半径，

圆心到坐标原点的距离，

圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.故选：D.

【举一反三】

1．(2020·山东省济南回民中学)若圆的方程是，则点(    )

A．是圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外

【答案】C

【解析】圆心，半径，圆心到点距离，故点在圆内，故选：C.

2．(2020·江苏省苏州中学园区校)点在圆上，点，则的最大值为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由于，所以在圆外，

圆的圆心为，半径，则的最大值为.

故选：C

3．(2021·四川宜宾市)若点在圆的内部，则实数a的取值范围是______________.

【答案】

【解析】因为点在圆的内部，所以，即，解得

故答案为：

考向三 直线与圆的位置关系

【例3】(1)(2021·天津高三月考)已知直线与圆相切，则正实数k的值为___________.

(2)2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模(文))直线：与圆：交于、两点，则______.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)，，

圆心为，，直线与圆相切可得，

解得或，所以正实数k的值为故答案为：

(2)圆心到直线的距离为，故，故答案为：.

【举一反三】

1．(2021·黑龙江哈尔滨市)若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即

曲线表示圆心，半径为1的圆，

圆心到直线的距离应小于等于半径，

，即，解得.故选：C.

2．(2020·林芝市第二高级中学)直线与圆相交于，两点，则的长度等于__________.

【答案】

【解析】圆心，半径为，

圆心到直线的距离为，

.故答案为：.

3．(2020·宁夏吴忠市·高三其他模拟(文))若直线与圆相交于两点，且，则实数________.

【答案】或

【解析】直线与圆相交于两点，

且，

圆心到直线的距离为：，

即，解得或.

故答案为：或

考向四 圆与圆的位置关系

【例4】(2021·沙坪坝区·重庆八中)圆与圆的位置关系是(    )

A．相离 B．外切 C．相交 D．内切

【答案】D

【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，

，因此，两圆内切.故选：D.

【举一反三】

1．(2021·云南省大姚县第一中学)圆与圆的位置关系是(    )

A．相交 B．相离 C．内含 D．内切

【答案】D

【解析】圆即，则圆心为 ，半径为1

圆即，则圆心为 ，半径为3

两圆心间的距离，所以两圆的位置关系为内切，故选：D．

2．(2021·重庆)已知圆和圆，那么这两个圆的位置关系是(    )

A．相离 B．外切 C．相交 D．内切

【答案】C

【解析】由已知的，

所以，，

所以，故两圆相交.故选：C.

3．(2021·河南洛阳市)已知圆，圆，两圆公切线的条数为(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】圆，圆心，半径，

圆，圆心，半径，

圆心距，，所以两圆相外切，公切线条数是3条.

故选：C

4．(2021·四川凉山彝族自治州)已知圆和圆，若圆和有公共点，则的取值范围是(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，

所以，，由于两圆有公共点，则，即，解得.

故选：C.

1．(2020·江苏)若直线与曲线有公共点，则的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由可得，表示圆心 的半圆，

当经过时，此时；

当与此半圆相切时，，

作出半圆与直线的图象如下，

由图象可知，要使直线与曲线有公共点，则.故选：B

2．(2021·四川省大竹中学)圆的圆心和半径分别是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将圆的方程化为标准方程可得：

圆的圆心和半径分别是故选: A.

3．(2021·浙江)将圆平分的直线是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】圆的标准方程为圆心为，因为在直线，故选：A

4．(2021·全国课时练习)两个点、与圆的位置关系是(    )

A．点在圆外，点在圆外    B．点在圆内，点在圆内

C．点在圆外，点在圆内    D．点在圆内，点在圆外

【答案】D

【解析】将代入方程左边得，

则点在圆内，将代入方程左边得，

则点在圆外，故选：D.

5．(2021·安徽芜湖市)若直线经过圆的圆心，则的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】圆的标准方程为，圆心坐标为，

由题意可得，解得.故选：C.

6．(2020·江苏)若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是(    )

A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．不能确定

【答案】A

【解析】因为直线与圆相交，故，

故，故点在圆的外部，故选：A.

7．(2020·绥化市第一中学)直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是(    )

A． B．或

C． D．或

【答案】B

【解析】曲线的轨迹为以原点为圆心，半径为的右半圆，

作出曲线的图像，由图可知与有且只有一个交点，

即为直线与半圆相交于一个点或与半圆相切两种情况，

当相交于一个交点时可得；直线与半圆相切时可得.

故选：B.

8．(2021·北京丰台区·高三一模)若直线是圆的一条对称轴，则的值为(    )

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【解析】圆的方程可化为，

可得圆的圆心坐标为，半径为，

因为直线是圆的一条对称轴，

所以，圆心在直线上，

可得，即的值为，

故选：B．

9．(2021·浙江)直线与圆的位置关系是(    )

A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的大小有关

【答案】A

【解析】直线l：，即恒过，而，故点在圆内，

故直线与圆必然相交．故选：A．

10．(2021·云南玉溪市)已知直线l：x+2y-3=0与圆交于A､B两点，求线段AB的中垂线方程(    )

A．2x-y-2=0 B．2x-y-4=0

C． D．

【答案】B

【解析】线段的中垂线与直线垂直，所以设为，并且过圆心，

所以，即，所以.故选：B

11．(2021·云南省云天化中学)直线是圆的一条对称轴，则(    )

A． B．1 C． D．3

【答案】B

【解析】由，得，则圆心坐标为，

又直线是圆的一条对称轴，

由圆的对称性可知，该圆的圆心在直线上，则，故选：B．

12．(2021·福建三明市)圆上动点到直线的距离的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵圆，∴圆心，半径，

∴圆心到直线的距离，

∴圆上的点到

直线的距离最小值为，故选：A.

13．(2021·湖北高三月考)圆：与圆：的公切线条数为(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】依题意，圆的圆心，半径R1=3, 圆的圆心，半径R2=4,，故圆与相交，有2条公切线.故选:B.

14．(2021·全国高三专题练习)若圆与圆外切，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】圆的圆心半径

圆，则，则，所以

所以圆的圆心，半径为，

两圆外切，则，所以．

故选：C

15．(2021·山东聊城市)已知圆与圆没有公共点，则实数的取值范围为(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，半径

圆心距

因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或者内含

则或，即或

解得或故选：C

16．(2021·山东枣庄市)已知：与：，则两圆的位置关系是(    )

A．相交 B．相离 C．外切 D．内切

【答案】A

【解析】，

故，两圆半径之和为3，半径之差的绝对值为1，

而，故两圆的位置关系是相交，故选：A.

17．(2021·内蒙古高三月考(文))已知的圆心是坐标原点，且被直线截得的弦长为，则的方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意，设圆的标准方程为，

则圆心到直线的距离为，

又由圆被直线截得的弦长为，

可得，化简得，解得，

即圆的方程为.

故选：D.

18．(2021·安徽省泗县第一中学)直线被圆截得的弦长为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】圆的圆心到直线的距离为：．即圆心过直线直线被圆截得的弦长等于圆的直径：．故选：．

19．(2021·辽宁高三)在平面直角坐标系中，直线与圆相交于、两点，为圆上的动点，则面积的最大值为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，

圆心到直线的距离为，，

由于为圆上的动点，则点到直线距离的最大值为，

因此，面积的最大值.故选：A.

20．(多选)(2021·福建漳州市)已知圆和圆交于P，Q两点，则(    )

A．两圆有两条公切线                       B．垂直平分线段

C．直线的方程为          D．线段的长为

【答案】ACD

【解析】对于A：因为圆和圆交于P，Q两点，所以两圆有两条公切线，故正确；

对于B：数形结合可知垂直线段但不平分线段，故错误；

对于C：圆和圆的方程相减得：，所以直线的方程为，故正确；

对于D:圆心到直线的距离为：，所以线段的长为，故正确；

故选：ACD.

21．(多选)(2021·山东济南市)已知圆和圆的公共点为，，则(    )

A． B．直线的方程是

C． D．

【答案】ABD

【解析】圆的圆心是，半径，圆，圆心，，

，故A正确；

两圆相减就是直线的方程，两圆相减得，故B正确；

，，，，所以不正确，故C不正确；

圆心到直线的距离，，故D正确.

故选：ABD

22．(2021·河南焦作市)已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】方程可化为，所以，解得.

故答案为：.

23．(2021·湖北)若方程表示圆，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】由题意得，，即，

解得或.

故答案为：

24．(2021·广东肇庆市)在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为___________.

【答案】

【解析】设圆的方程为，

因为圆过三点，

所以得

所以圆的方程为.

故答案为：

25．(2021·全国)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为，则a＝________.

【答案】1

【解析】将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为.

圆的圆心为，半径为.

到直线的距离为：

，解得.

故答案为：

26(2021·全国课时练习)已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝10相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．

【答案】x＋3y－5＝0

【解析】两个圆方程可化为，，

两式相减得，即.

故答案为：

27．(2020·湖北)直线与圆交于、两点，则的面积是_________．

【答案】

【解析】圆，到直线的距离，

∴，

∴

故答案为：.