高考数学(理数)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做07《坐标系与参数方程》(含答案详解)

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【例题】在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，曲线 SKIPIF 1 < 0 的参数方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数），
以坐标原点 SKIPIF 1 < 0 为极点， SKIPIF 1 < 0 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 SKIPIF 1 < 0 的极坐标方程；
（2）在曲线 SKIPIF 1 < 0 上取两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与原点 SKIPIF 1 < 0 构成 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，
求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
解：（1）可知曲线 SKIPIF 1 < 0 的普通方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 的极坐标方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为4．
在直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，曲线 SKIPIF 1 < 0 的参数方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数），以坐标原点为极点， SKIPIF 1 < 0 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 SKIPIF 1 < 0 的极坐标方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求曲线 SKIPIF 1 < 0 的普通方程，曲线 SKIPIF 1 < 0 的参数方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的动点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，并求 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，
SKIPIF 1 < 0 点的直角坐标．
在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，直线 SKIPIF 1 < 0 的参数方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数），以坐标原点为极点， SKIPIF 1 < 0 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 SKIPIF 1 < 0 的极坐标方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求直线 SKIPIF 1 < 0 的普通方程与曲线 SKIPIF 1 < 0 的直角坐标方程；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，以 SKIPIF 1 < 0 为极点， SKIPIF 1 < 0 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 SKIPIF 1 < 0 的参数方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数），过原点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的极坐标方程；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
选修4-4：坐标系与参数方程：
在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，曲线C1的参数方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数），
以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2 SKIPIF 1 < 0 的直角坐标方程；
（2）若曲线C1和曲线C2有三个公共点，求以这三个公共点为顶点的三角形的面积.
选修4­4：坐标系与参数方程：
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs t，,y＝1＋asin t，))(t为参数，a>0).
在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cs θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
\s 0 答案解析
解：（1）由曲线 SKIPIF 1 < 0 的参数方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数），消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的参数方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数）．
（2）设曲线 SKIPIF 1 < 0 上动点为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
解：（1）直线 SKIPIF 1 < 0 的普通方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
根据极坐标与直角坐标之间的相互转化， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的普通方程为 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 的直角坐标方程 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，可设直线的参数方程为：
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数），代入到曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由参数的几何意义知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
解：（1）由题意可得，直线 SKIPIF 1 < 0 的极坐标方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
曲线 SKIPIF 1 < 0 的普通方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以极坐标方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为正数，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
根据极坐标的几何意义， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的极径．
从而 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
解：（1）由 SKIPIF 1 < 0 消去参数 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即为曲线 SKIPIF 1 < 0 的普通方程.
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
结合互化公式得 SKIPIF 1 < 0 ，即为曲线 SKIPIF 1 < 0 的直角坐标方程.·
（2）因为曲线 SKIPIF 1 < 0 和曲线 SKIPIF 1 < 0 都是关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称的图形，它们有三个公共点，
所以原点是它们的其中一个公共点，所以 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，
解 SKIPIF 1 < 0 得三个交点的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求三角形面积 SKIPIF 1 < 0 .·
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2=a2，
则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.
将x=ρcs θ，y=ρsin θ代入C1的普通方程中，
得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2=0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0，,ρ＝4cs θ.))
若ρ≠0，由方程组得16cs2θ－8sin θcs θ＋1－a2=0，
由已知tan θ=2，可得16cs2θ－8sin θcs θ=0，
从而1－a2=0，解得a=－1(舍去)或a=1.
当a=1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.
所以a=1.