高考数学(理数)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做09《圆锥曲线》(含答案详解)

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高考数学(理数)冲刺大题提分大题精做09《圆锥曲线》[例题]已知抛物线上点处的切线方程为．（1）求抛物线的方程；（2）设和为抛物线上的两个动点，其中且，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值．解：（1）设点，由得，求导，因为直线的斜率为，所以且，解得，所以抛物线的方程为．（说明：也可将抛物线方程与直线方程联立，由解得）（2）设线段中点，则，，，∴直线的方程为，即，过定点．联立，得，，设到的距离，，当且仅当，即时取等号，的最大值为．1.已知点为曲线上任意一点，、，直线，的斜率之积为．（1）求曲线的轨迹方程；（2）是否存在过点的直线与曲线交于不同的两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．            2.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点．（1）求椭圆的方程及点的坐标；（2）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值．            3.已知直线与抛物线交于，两点，线段的中点为，点为的焦点，且（为坐标原点）的面积为1．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点作斜率为的直线与交于，两点，直线，分别交直线y=x+2于P，Q两点，求∣PQ∣的最大值．         4.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且与圆相切．试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．         5.已知椭圆的中心在坐标原点，左右焦点分别为和，且椭圆经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆交于点，（均异于点），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．       
0.答案解析1.解：（1）设点，，则，整理得：，故曲线的轨迹方程为：，．（2）假设存在直线满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆不相交．①当直线的斜率时，设直线为：，联立，化简得：，由，解得，设点，，则，，取的中点，则，则，即，化简得，无实数解，故舍去．②当时，为椭圆的左右顶点，显然满足，此时直线的方程为．综上可知，存在直线满足题意，此时直线的方程为． 2.解：（1）由已知，，则椭圆的方程为．由方程组，得①．方程①的判别式为，由，得，此时方程①的解为，所以椭圆的方程为．点的坐标为．（2）证明：由已知可设直线的方程为，由方程组，可得，所以P点坐标为，．设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由方程组，可得．②方程②的判别式为，由，解得．由②得，．所以，同理．所以．故存在常数，使得． 3.解：（1）设，，则．由，两式相减，得．∴，所以点的纵坐标为，∴的面积，解得．故所求抛物线的标准方程为．（2）直线的方程为．由方程组，得．设，，则，．直线的方程为，代入，解得，所以．同理得．所以．因为，所以，所以当，即时，取得最大值． 4.解：（1）由题可知，，，则，直线的方程为，即，所以，解得，，又，所以椭圆的标准方程为．（2）因为直线与圆相切，所以，即．设，，联立，得，所以，，，所以．又，所以．因为，同理．所以，所以的周长是，则的周长为定值． 5.解：（1）设椭圆的标准方程为，，，∴，∴，∴，所以椭圆的标准方程为．（2）①直线斜率存在，设直线，，，联立方程，消去得，，，，又，由，得，即，∴，∴，∴．解得，，且均满足，当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，直线过定点．②由椭圆的对称性所得，当直线，的倾斜角分别为，，易得直线，，直线，分别与椭圆交于点，，此时直线斜率不存在，也过定点，综上所述，直线恒过定点．