高考数学(理数)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做03《统计概率》(含答案详解)

高考数学(理数)冲刺大题提分(讲义+练习)

大题精做03《统计概率》

【例题】为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证．某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣．

（1）试完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？

（2）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率．

（3）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖，如下表所示．若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．

．

解：（1）由题得如下的列联表

∴．∴没有．

（2）记事件从这6名学生中随机抽取的3人中恰好有人有兴趣，，1，2，3，

则从这6名学生中随机抽取的3人中至少有2人有兴趣，且与互斥,

∴所求概率，

（3）由题意，可知所有可能取值有0，1，2，3，

，，

，，

∴的分布列是

1.水果的价格会受到需求量和天气的影响．某采购员定期向某批发商购进某种水果，每箱水果的价格会在当日市场价的基础上进行优惠，购买量越大优惠幅度越大，采购员通过对以往的10组数据进行研究，发现可采用来作为价格的优惠部分（单位：元/箱）与购买量（单位：箱）之间的回归方程，整理相关数据得到下表（表中，）：

（1）根据参考数据，

①建立关于的回归方程；

②若当日该种水果的市场价为200元/箱，估算购买100箱该种水果所需的金额（精确到元）．

（2）在样本中任取一点，若它在回归曲线上或上方，则称该点为高效点．已知这10个样本点中，高效点有4个，现从这10个点中任取3个点，设取到高效点的个数为，求的数学期望．

附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，参考数据：．

2.自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：

（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；

（2）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数,求随机变量的分布列及数学期望；

（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？

3.2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：

备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．

（1）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；

（2）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．

（i）记为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量的分布列；

（ii）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升．记为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数．试比较随机变量，的均值和的大小．（只需写出结论）

4.某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：

（1）求，；

（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于或小于为不合格，钢管内径尺寸在或为合格，钢管内径尺寸在为优等．钢管的检测费用为元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布．

（i）若从这批钢管中随机抽取根，求内径尺寸为优等钢管根数的分布列和数学期望；

（ii）已知这批钢管共有根，若有两种销售方案：

第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以元/根售出；

第二种方案：对该批钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失元，合格等级的钢管元/根，优等钢管元/根．

请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由．

5.某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．

（1）求直方图中x的值；

（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；

（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中频率作为概率）

0.答案解析

1.解：（1）①对两边同时取自然对数得，

令，，得，

∴，，∴，故所求回归方程为．

②由①得，将代入，得，故每箱水果大约可以获得优惠元，

故购买100箱该种水果所需的金额约为（元）．

（2）由题意知可取0，1，2，3

，，，

，故．

2.解：（1）随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的有人，

∴随机抽取一名顾客，该顾客年龄在且未参加自由购的概率估计为．

（2）所有的可能取值为1，2，3，

，，．

∴的分布列为

∴的数学期望为．

（3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有人，

∴该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．

3.解：（1）7个展区企业数共家，

其中备受关注的智能及高端装备企业共家，

设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件；

∴．

（2）（i）消费电子及家电备受关注的企业有家，

医疗器械及医药保健备受关注的企业有家，共36家．

的可能取值为0，1，2．

，，，

∴随机变量的分布列为：

（ii）．

4.解：（1）由题意知：，

∴，∴．

（2）（i）由（1）知，钢管内径尺寸为优等的概率为，

所有可能的取值为0，1，2，3，

，，

，，

故的分布列为

∴．

（ii）按第一种方案：，

按第二种方案：，

，

若时，，则按第一种方案，若时，，

则第一、第二方案均可，若时，，则按第二种方案，

故当时，按第一种方案，

时，第一、二种方案均可，时，按第二种方案．

5.解：（1），∴．

（2）学生上学时间不少于1小时的频率为：，

∴新生中可以申请住宿的人数为：人．

（3）的可能取值为0，1，2，3，4，

由直方图可知每一个学生上学所需时间少于40分钟的概率为，

∴，，

，，

；

∴的分布列是

满足二项分布，．