高考数学(理数)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做10《导数》(含答案详解)

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【例题】已知函数（m、n为常数，是自然对数的底数），
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是．
（1）求m、n的值；
（2）求f(x)的最大值；
（3）设（其中f/(x)为f(x)的导函数），
证明：对任意x>0，都有．（注：）
解：（1）由，得，
由已知得，解得．又，，．
（2）解：由（1）得：，
当时，，，所以；
当时，，，所以，
∴当时，；当时，，
的单调递增区间是，单调递减区间是，
时，．
（3）证明：．
对任意，等价于，
令，
则，由得：，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以的最大值为，即．
设，则，
∴当时，单调递增，，
故当时，，即，
，
∴对任意，都有．
已知函数，(是常数)．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，函数有零点，求的取值范围．
已知函数．
（1）当k=3时，证明：f(x)有两个零点；
（2）已知正数α，β(α≠β)满足，若，
使得，试比较α+β与的大小．
已知，函数在点(1,1-a)处与x轴相切．
（1）求a的值，并求f(x)的单调区间；
（2）当x>1时，f(x)>m(x-1)lnx，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx,．
（1）证明：当x>0，f(x)0，对，恒有．
已知函数有两个零点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：．
\s 0 答案解析
解：（1）由题意知：，则
，．
①当时，令，有；令，有．
故函数在上单调递增，在上单调递减．
= 2 \* GB3 ②当时，令，有；令，有．
故函数在上单调递增，在和上单调递减．
= 3 \* GB3 ③当时，令，有或；令，有．
故函数在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为和；
当时，函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为；
（2）①当时，由可得，有，故满足题意．
②当时，若，即时，
由（1）知函数在上递增，在上递减．
而，令，有，
，若，即时，
由（1）知函数在上递增．而，
令，解得，而，故．
③当时，由（1）知函数在上递增，由，
令，解得，而，故．
综上所述，的取值范围是：．
解：（1）据题知，求导得：，
令，有；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
∴，
令，有；令，有，
故在和各有1个零点．∴有两个零点．
（2）由，而，
∴，
令，，则，
由，可得或；
①当时，（I）当时，，
则函数在上单调递增，故，
∴，
又∵在上是增函数，∴，即．
（II）当时，，
则函数在上单调递增，故，
∴，
又∵在上是增函数，∴，即．
②当时，同①理可证；
综上所述，．
解：（1）函数在点处与轴相切．
，
依题意，解得，所以．
当时，；当时，．
故的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）令，．
则，
令，则，
（ⅰ）若，因为当时，，，
所以，所以即在上单调递增．
又因为，所以当时，，
从而在上单调递增，
而，所以，即成立．
（ⅱ）若，
可得在上单调递增．
因为，，
所以存在，使得，
且当时，，所以即在上单调递减，
又因为，所以当时，，
从而在上单调递减，
而，所以当时，，即不成立．
综上所述，的取值范围是．
解：（1）令，，
则有，
当，，所以在上单调递减，
故当时，，即当时，．
（2）令，，
则有，
当，，所以在上单调递增，
，故对任意正实数均满足题意．
当．令，得，
取，所以，恒有，
所以在上单调递增，，即．
综上，当时，总存在，使得对，恒有．
（3）当时，由（1）知，对于，，
故，，
令，，
则有，
故当时，，
在上单调递增，故，
即，所以满足题意的不存在．
当时，由（2）知存在，使得当，恒有．
此时，
令，则有，
故当时，，
在上单调递增，故，
即，记与中较小的为，
则当，恒有，故满足题意的不存在．
当，由（1）知，当时，，
令，，则有，
当时，，所以在上单调递减，故，
故当时，恒有，此时，任意正实数满足题意．
综上，．
解：（1），
∴，
∴在单调递减，在单调递增，
∴，
∴，，
又，
，
∴满足函数有两个零点．
（2）令
由（1）知在，，
令，，
，
在单调递增，
，，
令的零点为，，，
，，
∴，
∴，，所以．