广州市天河区 2020-2021学年九年级上学期 期末数学试题（含答案）

这是一份广州市天河区 2020-2021学年九年级上学期 期末数学试题（含答案），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列选项的汽车标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．“购买1张彩票，中奖”这个事件是（ ）
A．不可能事件B．必然事件C．确定性事件D．随机事件
3．函数的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
6．若四边形是的内接四边形，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．在英语单词（旋转）中任意选择一个字母，字母为“”的概率与字母为“”的概率之和为（ ）
A．B．C．D．
8．一个圆的半径为，则该圆的内接正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
9．2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＞0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b=0；④b2-4ac＜0；⑤4a-2b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．方程的解是_____________．
12．如图，是正方形中边上的中点，，把绕点顺时针旋转得到， 若连接，则__________．
13．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能的是__________．
14．若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=______．
15．中，，，，将沿所在直线旋转一周，所得几何体的全面积是__________．（结果保留）
16．已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是__________．
三、解答题
17．解方程：．
18．如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点顺时针旋转恰好得到， 其中，是对应点，若，求的度数．
19．某商场某型号的计算机2018年销售量为台，2020年受疫情影响，年销售量下降为台，求销售量的年平均下降率．（结果保留整数）
20．经过某路口的汽车只能向左转或者向右转，如果两种可能性相同，现有两辆汽车经过这个路口，请用列举法求事件“一辆汽车向左转，一辆汽车向右转”的概率．
21．如图，已知△ABC，∠B=40°，AB=AC．
（1）尺规作图：作⊙O，使它经过A，B，C三点；
（2）在（1）中所作的⊙O中，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，连接OD，OC，求∠DOC的度数．
22．如图，在正方形中，分别以为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案（计算时取）．
（1）求的长和阴影部分的面积；
（2）若在正方形中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率（豆子落在弧上不计）
23．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是轴上的一个动点．连接，过点作轴的平行线交线段的垂直平分线于点．
（1）求关于的函数关系式；
（2）在（1）中，若求得的函数图象是直线，请求出它与直线、坐标轴围成的图形面积；若是抛物线，设它与直线交于点，，顶点为，求的面积．
24．如图，，，分别与相切于，，三点，是的直径 ．
（1）连接，，若，，求的长；
（2）若，，，请画出关于的函数图象．
25．对于实数和，定义新运算“”：
（1）若，求实数的值；
（2）设函数，若函数的图象与坐标轴恰有两个交点，求实数的取值范围．
参考答案
1．B
【分析】
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的概念．
2．D
【分析】
根据事件发生可能性的大小进行判断即可．
【详解】
解：购买1张彩票，可能中奖，也可能不中奖，因此“购买1张彩票，中奖”这个事件是随机事件，
故选：D．
【点睛】
本题考查事件发生的可能性，理解随机事件、必然事件、不可能事件，确定事件的意义是正确判断的前提．
3．B
【分析】
根据二次函数的顶点式，直接写出抛物线的顶点坐标，即可．
【详解】
函数的顶点坐标为：，
故选B．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像的顶点坐标，掌握（a≠0）的顶点坐标为(m，k)是解题的关键．
4．D
【分析】
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【详解】
解：（1，−1）关于原点对称的点的坐标是（−1，1），
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5．B
【详解】
解：∵x2-4x=-4，
∴x2-4x+4=0，
∵△=（-4）2-4×1×4=0，
∴一元二次方程x2-4x+4=0有两个相等的实数根．
故选B．
考点：根的判别式．
6．B
【分析】
根据圆内接四边形的对角互补计算，得到答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝180°−∠ABC＝180°−60°＝120°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7．D
【分析】
根据概率公式得出字母为“t”的概率、字母为“”的概率，再求和即可．
【详解】
解：单词rtatin中共8个字母，其中字母“t”有2个，字母“”有2个，
所以任意选择一个字母，是“t”的概率与“”的概率相等，都是2÷8＝，
所以＋＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查概率的计算方法，理解概率的意义是解决问题的关键．
8．C
【分析】
根据正方形的性质得出
【详解】
如图，圆的半径为，AB=BC，结合勾股定理，进而即可求解．
∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，
∴AC是圆的直径，
∴AC=2×4=8，
∵AB2+BC2=AC2，AB=BC，
∴2AB2=64，解得：AB=4，
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理的推论，勾股定理以及正方形的性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
9．B
【分析】
设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程．
【详解】
设参赛队伍有x支，根据题意得：
x（x﹣1）=380．
故选B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
10．B
【详解】
（1）由图可知，，∴，故①错；
（2）由图可知，当时，y随x的增大而增大，故②错；
（3）由图可知，抛物线的对称轴为直线：，∴，即，故③正确；
（4）由图可知，抛物线和x轴有两个不同的交点，∴，故④错；
（5）由图可知，当时，图象在x轴上方，即当时，，
故⑤正确；
∴有2个结论正确，故选B.
11．x1=3，x2=-1
【分析】
利用因式分解法解方程.
【详解】
，
（x-3）（x+1）=0，
∴x1=3，x2=-1，
故答案为：x1=3，x2=-1.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点选择适合的方法解方程是关键.
12．
【分析】
由旋转的性质得出AE＝AF，∠EAF＝90°，求出DE＝2，由勾股定理可得出答案．
【详解】
解：连接EF，
∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD＝4，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CD＝2，
∴AE＝，
∴EF＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
13．5
【分析】
根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．
【详解】
解：由题意可得，
20×0.25＝5（个），
即袋子中红球的个数最有可能是5个，
故答案是：5．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用概率公式计算出红球的个数．
14．-2
【详解】
试题分析：把x=1代入+3mx+n=0得：1+3m+n=0，3m+n=﹣1， ∴6m+2n=2（3m+n）=2×(－1)=﹣2
考点：整体思想求代数式的值.
15．
【分析】
过B点作BO⊥AC与O点，先利用勾股定理计算出AC＝5，再利用面积法计算出OB＝，由于△ABC沿AC所在直线旋转一周，所得几何体为共底面的两个圆锥，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形和扇形的面积公式可计算出所得几何体的全面积．
【详解】
解：如图，过B点作BO⊥AC与O点，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝，
∵BO•AC＝AB•BC，
∴OB＝3×45，
∴所得几何体的全面积＝×2π××4＋×2π××3＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．
16．2或14
【详解】
分析：分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
详解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AF=8cm，CE=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OF=6cm，OE=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm．
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
故答案为2或14．
点睛：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
17．，
【分析】
先移项合并同类项，再利用因式分解法，即可求解．
【详解】
解：，
移项得：，即：，
∴，即：或，
∴，．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法，是解题的关键．
18．42°
【分析】
由旋转的性质可得∠DAE＝60°，即可求解．
【详解】
解：∵把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，
∴∠EAC＝∠EAD−∠CAD＝42°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
19．17%
【分析】
设销售量的年平均下降率为x，根据2018年和2020年销售的台数，列出方程，求解即可．
【详解】
解：设销售量的年平均下降率为x，
依题意可列：2880（1−x）2＝2000，
解得：x1≈0.17＝17%．x2＝−（舍去）．
答：销售量的年平均下降率为17%．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20．
【分析】
画树状图，共有4个等可能的结果，其中“一辆汽车向左转，一辆汽车向右转”的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
共有4个等可能的结果，其中“一辆汽车向左转，一辆汽车向右转”的结果有2个，
∴“一辆汽车向左转，一辆汽车向右转”的概率为2÷4＝．
【点睛】
此题考查了列举法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解．
21．（1）见解析；（2）∠DOC的度数为120°．
【分析】
（1）利用尺规作AB和BC的垂直平分线即可作⊙O，使它经过A，B，C三点；
（2）结合（1）根据等腰三角形的性质和角的平分线可得∠ACB=2∠ACD=40°，再根据圆周角定理即可求∠DOC的度数．
【详解】
解：（1）如图，⊙O即为所求；
（2）∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠ACB=∠B=40°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACB=2∠ACD=40°，
∴∠AOD=2∠ACD=40°，∠AOC=2∠B=80°，
∴∠DOC=∠AOD+∠AOC=120°．
答：∠DOC的度数为120°．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
22．（1）3；（2）
【分析】
（1）根据弧长公式，即可求值；
（2）用阴影部分面积÷正方形面积，即可求解．
【详解】
解：（1）的长＝；
S阴影＝2S扇形−S正方形＝；
（2）豆子落在阴影区域内的概率＝2÷4＝．
【点睛】
本题考查了几何概率，弧长公式，扇形面积公式，解题的关键是正确的求得阴影部分的面积．
23．（1）y＝x2＋；（2）
【分析】
（1）根据题意得到x2＋（y−1）2＝y2，变形即可求得y关于x的函数关系式；
（2）求得B、C的坐标和二次函数的得到Q的坐标，然后利用三角形的面积求得即可．
【详解】
解：（1）如图，连接PA，
∵过点M作y轴的平行线交线段AM的垂直平分线于点P（x，y）．
∴PA＝PM，
∵点A的坐标为（0，1），P（x，y）．
∴x2＋（y−1）2＝y2，
∴y关于x的函数关系式为：y＝x2＋；
（2）∵y＝x2＋，
∴Q（0，），
解，得：或，
∵直线y＝x＋1与y轴的交点为（0，1），
∴S△QBC＝．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，求得抛物线和直线的交点坐标是解题的关键．
24．（1）5；（2）见详解
【分析】
（1）根据切线的性质和切线长定理得到AB⊥AD，AB⊥BC，DO平分∠ADE，CO平分∠BCE，然后证明∠COD＝90°，从而利用勾股定理可计算出CD；
（2）证明△AOD∽△BCO，利用相似比得到y＝4x（x＞0），然后利用描点法画函数图象．
【详解】
解：（1）∵AD，BC，CD分别与⊙O相切于A，B，E三点，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，DO平分∠ADE，CO平分∠BCE，
∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，AD∥BC，
∴∠ADC＋∠BCD＝180°，∠ODE＋∠OCE＝（∠ADE＋∠BCE）＝90°，
∴∠COD＝90°，
∴CD＝==5；
（2）∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＋∠BOC＝90°，
∵∠AOD＋∠ADO＝90°，
∴∠ADO＝∠BOC，
∴△AOD∽△BCO，
∴，即
∴（x＞0），
函数图像如下：
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，利用相似比进行几何计算．也考查了切线的性质．
25．（1）2或−；（2）当x≥时，≤m＜4；当x＜时，m＞0且m≠2．
【分析】
（1）分2x−1≤3−2x，2x−1＞3−2x两种情况，分别求解即可；
（2）分（2−x2）≤（4x−x2），（2−x2）＞（4x−x2）两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）①当2x−1≤3−2x，即x≤1时，
（2x−1）（3−2x）＝（2x−1）＋（3−2x）＝x2，
解得：x2＝2，
x＝±，
∵x≤1，
∴x＝−；
②当2x−1＞3−2x，即x＞1时，
（2x−1）（3−2x）＝（2x−1）−（3−2x）＝x2，
解得：x1＝x2＝2，
综上，x＝2或−；
（2）①当（2−x2）≤（4x−x2），即x≥时，
y2＝y1−m＝（2−x2）＋（4x−x2）−m＝−2x2＋4x＋2−m，
∵函数y2＝y1−m的图象与坐标轴恰有两个交点，
∴△＝16−4×（−2）（2−m）＞0且−2×（）2＋4×＋2−m≤0
解得： ≤m＜4；
②当（2−x2）＞（4x−x2），即：x＜时，
y2＝y1−m＝（2−x2）−（4x−x2）−m＝−4x-m＋2，
∵函数y2＝y1−m的图象与坐标轴恰有两个交点，
∴-m＋2≠0且−4×-m＋2＜0，即：m＞0且m≠2，
综上所述：当x≥时，≤m＜4；当x＜时，m＞0且m≠2．
【点睛】
本题考查的是抛物线和x轴交点，涉及到一元二次方程根的判别式，一元二次方程，这类新定义题，要理解题目的意思，转化为熟悉的知识，进行求解．