吉林省吉林市舒兰市 2020-2021学年九年级上学期 期末数学试题（含答案）

这是一份吉林省吉林市舒兰市 2020-2021学年九年级上学期 期末数学试题（含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

吉林省吉林市舒兰市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．x2+x+y=0 B．（x+3）2=x2+2x C． D．x2﹣3x+1=0
2．如图，△ABC内接于⊙O，若，则∠ACB的度数是( )

A．40° B．50° C．60° D．80°
3．下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
4．下列函数中，当x﹥0时，y随x的增大而减小的是：
A．y=x+1 B．
C． D．
5．函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　）
A．0 B．0或2 C．0或2或﹣2 D．2或﹣2
6．如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④a+b+c＞0，其中正确结论是 （　　）

A．①③ B．②③
C．①④ D．②④

二、填空题
7．从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是______．
8．若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是____.
9．已知圆锥的底面半径为5，母线长为13，则这个圆锥的侧面积是________．
10．将抛物线：向下平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是________．
11．已知正比例函数与反比例函数的图象的一个交点坐标为（－1，2），则另一个交点的坐标为_______．
12．如图，原点O为平行四边形A．BCD的对角线A．C的中点，顶点A，B，C，D的坐标分别为(4，2)，(，b)，(m，n)，(－3，2)．则（m+n）（+b）=__________．

13．如图,点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=______．

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为_____．


三、解答题
15．解方程：x（x﹣2）+x﹣2=0．
16．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝－4x＋m相交于第一象限内不同的两点A(5，n)，B(3，9)，求此抛物线的解析式．
17．如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长．

18．如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切于点C时，另一边与圆两个交点A和B的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）求该圆的半径．

19．如图，有甲、乙两个转盘，每个转盘上各个扇形的圆心角都相等，让两个转盘分别自由转动一次，当转盘指针落在分界线上时，重新转动．

（1）请你画树状图或列表表示所有等可能的结果．
（2）求两个指针落在区域的颜色能配成绿色的概率．（黄、蓝两色混合配成绿色）
20．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是　 　；
（3）△A2B2C2的面积是　 　平方单位．

21．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．经市场调查 现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）若商场只要求保证每天的盈利为4420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
（2）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？
22．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．

（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧的长（结果保留π）．
23．如图，已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（3，﹣k+4）

（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．
24．如图，在平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点．

（1）求证：
（2）若的面积为，求平行四边形的面积
25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB边上的一动点(D不与A、B重合)，过D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处．连结BA'，设AD＝x，△ADE的边DE上的高为y．
(1) 求出y与x的函数关系式；
(2) 若以点A'、B、D为顶点的三角形与△ABC 相似，求x的值；
(3) 当x取何值时，△A' DB是直角三角形．

26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．



参考答案
1．D
【分析】
直接根据一元二次方程的概念进行分析判断即可得到答案．
【详解】
A、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、整理后方程二次项系数为0，不是一元二次方程，故不符合题意；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
D、符合一元二次方程的定义，正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意以下几个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．B
【分析】
根据圆周角定理可得∠ACB=∠AOB，代值计算即可.
【详解】
解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝100°，
∴∠ACB=∠AOB=50°，
故选B.
【点睛】
本题考查了圆周角定理:同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半,熟练掌握相关定理是解题关键.
3．C
【分析】
根据轴对称图形及中心对称图形的定义，结合所给图形进行判断即可．
【详解】
A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.
故选C．
4．C
【详解】
试题解析：A、函数y=2x+1的图象是y随着x增大而增大，故本选项错误；
B、函数y=x2-1，当x＜0时，y随着x增大而减小，当x＞0时，y随着x增大而增大，故本选项错误；
C．函数当x＞0或x＜0时，y随着x增大而减小，故本选项正确；
D．函数，当x＜1时，y随着x增大而增大，当x＞1时，y随着x增大而减小，故本选项错误．
故选C．
考点：1．二次函数的性质；2．一次函数的性质；3．反比例函数的性质．
5．C
【分析】
根据函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决．
【详解】
解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点，
当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
则△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2，
由上可得，m的值为0或2或﹣2，
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
6．A
【分析】
根据抛物线与x轴的交点情况判断①，根据对称轴判断②，根据抛物线的对称性判断③、④．
【详解】
解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，即，故①正确；
由图象可知：对称轴，
∴，故②错误；
由图象可知：对称轴为，
∵，
∴可知点C离对称轴的距离比点B离对称轴的距离要远，
∴，故③正确；
∵点A(-3，0)，对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(1，0)，
∴把点(1，0)代入解析式可得，故④错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数图像与各项系数的关系，解题的关键是熟知二次函数图像、性质及各项系数之间的关系．
7．
【分析】
略
【详解】
因为从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，可能的结果为：2，4，6；2，4，7；2，6，7；4，6，7共4种，能构成三角形的是2，6，7；4，6，7；有2种，∴能构成三角形的概率是．
【点睛】
略
8．且．
【详解】
试题分析：∵，.
∴一元二次方程为.
∵一元二次方程有实数根，
∴且.
考点: （1）非负数的性质；（2）一元二次方程根的判别式.
9．
【分析】
圆锥的侧面展开图为扇形，利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为5，
∴底面圆周长为：，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，牢记扇形的面积公式是解决此类问题的关键．
10．
【分析】
先把函数解析式变为顶点式，再根据条件平移即可；
【详解】
，
向下平移3个单位得：，
再向右平移4个单位得：．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的平移，准确分析判断是解题的关键．
11．（1，－2）
【分析】
根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可：
【详解】
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称．
∵一个交点的坐标是（－1，2），∴另一个交点的坐标是（1，－2）．
12．-6
【分析】
易知点A与点C关于原点O中心对称，由平行四边形的性质可知点B和点D关于原点O对称，根据关于原点对称横纵坐标都互为相反数可得点B、点C坐标，求解即可.
【详解】
解：根据题意得点A与点C关于原点O中心对称，点B和点D关于原点O对称




故答案为：
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中的中心对称，正确理解题意是解题的关键.
13．－4
【详解】
:由反比例函数解析式可知：系数，
∵S△AOB=2即，∴；
又由双曲线在二、四象限k＜0，∴k=-4
14．3
【详解】
【分析】解方程x2+mx=0得A（﹣m，0），再利用对称的性质得到点A的坐标为（﹣1，0），所以抛物线解析式为y=x2+x，再计算自变量为1的函数值得到A′（1，2），接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算A′C的长．
【详解】当y=0时，x2+mx=0，解得x1=0，x2=﹣m，则A（﹣m，0），
∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴抛物线解析式为y=x2+x，
当x=1时，y=x2+x=2，则A′（1，2），
当y=2时，x2+x=2，解得x1=﹣2，x2=1，则C（﹣2，1），
∴A′C的长为1﹣（﹣2）=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、坐标平面内关于某点对称的两点间坐标的关系以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
15．x1=2，x2=﹣1
【分析】
利用因式分解法求解方程即可．
【详解】
解：x（x﹣2）+x﹣2=0
∴（x﹣2）（x+1）=0，
∴x﹣2=0，x+1=0，
∴x1=2，x2=﹣1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．
16．y＝－x2＋4x＋6.
【分析】
根据点B的坐标可求出m的值，写出一次函数的解析式，并求出点A的坐标，最后利用点A、B两点的坐标求抛物线的解析式．
【详解】
（1）∵直线y=﹣4x+m过点B（3，9），∴9=﹣4×3+m，解得：m=21，∴直线的解析式为y=﹣4x+21．
∵点A（5，n）在直线y=﹣4x+21上，∴n=﹣4×5+21=1，∴点A（5，1），
将点A（5，1）、B（3，9）代入y=﹣x2+bx+c中，得：
，
解得：，
∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+6．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
17．．
【分析】
根据旋转的性质，得到等腰直角三角形APP′，根据勾股定理进行计算．
【详解】
解：根据旋转的性质得：∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3，
即△PAP′为等腰直角三角形，根据勾股定理得PP′==．
【点睛】
此题综合运用了旋转的性质以及勾股定理．
18．圆的半径为cm
【分析】
设OB=rcm，由于刻度尺的宽为2cm，所以OE=r-2，再根据另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”可求出BE的长，在Rt△OBE中利用勾股定理即可得出r的值．
【详解】
解 ：连接OC，交AB于E，

由切线性质可得OC垂直于直尺两边，且CE=2，
∵AB=8﹣2=6cm，OE⊥AB，
∴BE=AB=×6=3cm，
设OB=r，
∴（r﹣2）2+9=r2
解得r=，
∴该圆的半径为cm．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意得出BE=3是解答此题的关键．
19．（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）中的树状图可求得两个指针落在区域的颜色能配成绿色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：（1）画树状图得：

则共有12种等可能的结果；
（2）∵两个指针落在区域的颜色能配成绿色的有2种情况，
∴两个指针落在区域的颜色能配成绿色的概率为： =．
20．（1）（2，﹣2）；
（2）（1，0）；
（3）10．

【详解】
试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；
故答案为（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；
故答案为（1，0）；
（3）∵=20，=20，=40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：××=10平方单位．
故答案为10．

考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理
21．（1）每千克应涨价3元；（2）当每千克涨价为5元时，每天的盈利最多，最多是4500
【分析】
（1）设每千克应涨价x元，则每千克盈利（10+x）元，售量为（400-1×x×20）千克，根据利润×数量=总利润，列式计算；
（2）设涨价x元时总利润为y，构造二次函数，求函数的最值即可．
【详解】
解：（1）设每千克应涨价x元，则
（10+x）（400﹣20x）=4420
解得x=3或x=7，
为了使顾客得到实惠，所以x=3．
（2）设涨价x元时总利润为y，
则y=（10+x）（400﹣20x）
=﹣20+200x+4000
=﹣20+4500
当x=5时，y取得最大值，最大值为4500．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握涨价中利润变化和数量变化的规律是解题的关键．
22．（1）证明见试题解析；（2）2π．
【详解】
试题分析：（1）由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，∠CBA+∠CAB=90°，由∠EAC=∠B，得到∠CAE+∠BAC=90°，从而可得直线AE是⊙O的切线；
（2）连接CO，计算出AO的长，再利用圆周角定理得到∠AOC的度数，然后利用弧长公式可得答案．
试题解析：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵∠EAC=∠B，∴∠CAE+∠BAC=90°，即 BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；
（2）连接CO，∵AB=6，∴AO=3，∵∠D=60°，∴∠AOC=120°，∴==2π．

考点：1．切线的判定；2．弧长的计算；3．综合题．
23．（1）反比例函数的表达式为y= ，一次函数的表达式为y=x-2；（2）点B的坐标为（﹣1，﹣3），x＜﹣1或0＜x＜3
【分析】
（1）根据交点坐标满足每个函数的解析式，代入反比例函数解析式即可的k值，继而得到A的坐标，将A的坐标代入一次函数的解析式，得b值即可；
（2）利用好交点的横坐标，数形结合思想，直接写出不等式解集即可．
【详解】
（1）∵已知反比例函数y=经过点A（3，﹣k+4），
∴3（﹣k+4）=k，
即﹣3k+12=k，
∴k=3，
∴A（3，1），
∵一次函数y=x+b的图象经过点A（3，1），
∴1=3+b，
∴b= -2，
∴反比例函数的表达式为y= ，一次函数的表达式为y=x-2．
（2）由一次函数和反比例函数解析式联立方程组解得
x=3，y=1；x=-1，y=-3，

∵点B在第三象限，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣3）
由图象可知，当一次函数的值小于反比例函数值时，
x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，充分利用交点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）8
【分析】
（1）根据平行四边形的性质，证明两角对应相等，两三角形相似即可；
（2）首先证明△ABF∽△DEF，再证明△EFD∽△EBC，利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，即可求出△EBC和△ABF的面积，由此即可解决问题．
【详解】
（1）四边形是平行四边形，
，且
，
．
（2）四边形是平行四边形，
，
，
，





【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的性质和判定是解决问题的关键．
25．（1）y＝ (0＜x＜5)．（2）x＝．（3）当x＝或 时，△A'DB是直角三角形．
【分析】
（1）先过A点作AM⊥BC，得出BM=BC=3，再根据DE∥BC，得出AN⊥DE，即y=AN，再在Rt△ABM中，求出AM的值，再根据DE∥BC，求出△ADE∽△ABC，即可求出y与x的函数关系式；
（2）根据△A'DE由△ADE折叠得到，得出AD=A'D，AE=A'E，再由（1）可得△ADE是等腰三角形，得出AD=A'D，AE=A'E，即可证出四边形ADA'E是菱形，得出∠BDA'=∠BAC，再根据∠BAC≠∠ABC，∠BAC≠∠C，得出∠BDA'≠∠ABC，∠BDA'≠∠C，从而证出△BDA'∽△BAC，即可求出x的值；
（3）先分三种情况进行讨论；第一种情况当∠BDA′=90°，得出∠BDA'≠90°；第二种情况当∠BA'D=90°，根据∠BAM＜90°，∠BA'D＜∠BAM，可得∠BA'D≠90°；第三种情况当∠A'BD=90°，根据∠A'BD=90°，∠AMB=90°，得出△BA'M∽△ABM，即可求出BA′的值，再在Rt△D BA'中，根据DB2+A'B2=A'D2，求出x的值，即可证出△A′DB是直角三角形；
【详解】
（1）如图1，过A点作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，则BM=BC=3，
∵DE//BC，
∴AN⊥DE，即y=AN．
在Rt△ABM中，AM==4，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴y=（0＜x＜5）．
  
（2）∵△A'DE由△ADE折叠得到，
∴AD=A'D，AE=A'E，
∵由（1）可得△ADE是等腰三角形，
∴AD=AE，
∴A'D=A'E，
∴四边形ADA'E是菱形，
∴AC//D A'，
∴∠BDA'=∠BAC，
又∵∠BAC≠∠ABC，
∴∠BDA'≠∠ABC，
∵∠BAC≠∠C，
∴∠BDA'≠∠C，
∴有且只有当BD=A'D时，△BDA'∽△BAC，
∴当BD=A'D，即5-x=x时，x=.   
（3）第一种情况：∠BDA'=90°，
∵∠BDA'=∠BAC，而∠BAC≠90°，
∴∠BDA'≠90°．          
第二种情况：∠BA'D=90°，
∵在Rt△BA'D中，DB2-A'D2=A'B2，
在Rt△BA'M中，A'M2+BM2=A'B2，
∴DB2-A'D2=A'M2+BM2，
∴（5-x）2-x2=（4-x）2+（3）2，
解得x=；    
第三种情况：∠A'BD=90°，
∵∠A'BD=90°，∠AMB=90°，
∴△BA'M∽△ABM，
即，
∴BA'=，
在Rt△D BA'中，DB2+A'B2=A'D2，
（5-x）2+=x2，
解得：x=．        
综上可知当x=或时，△A'DB是直角三角形．
【点睛】
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
26．（1）抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；
（2）存在，Q（-1，2）；
（3）存在，点P坐标为（-，），S△BPC最大=；
【分析】
（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）存在，设得点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标．
【详解】
（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x2+bx+c中得
，
∴．
∴抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；
（2）存在．
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称，
∴直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
∵y=-x2-2x+3，
∴C的坐标为：（0，3），
直线BC解析式为：y=x+3，
Q点坐标即为，
解得，
∴Q（-1，2）；
（3）存在．
理由如下：设P点（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0），
∵S△BPC=S四边形BPCO-S△BOC=S四边形BPCO-，
若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大，
∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC，
=BE•PE+OE（PE+OC）
=（x+3）（-x2-2x+3）+（-x）（-x2-2x+3+3）
=− (x+)2++，
当x=-时，S四边形BPCO最大值=+，
∴S△BPC最大=+−＝，
当x=-时，-x2-2x+3=，
∴点P坐标为（-，）．

【点睛】
此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．