2021年高考艺术生数学基础复习 考点07 三角函数的性质（学生版）

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二．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
(3)用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
三．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
考向分析
考向一 周期
【例1】(2020·宁夏银川一中)下列函数中最小正周期为的函数是( )
A．B．C．D．
【方法总结】
求三角函数最小正周期的常用方法
公式法，将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acs(ωx＋φ)＋B的形式，
再利用T＝eq \f(2π,|ω|)求得；y＝Atan(ωx＋φ)＋B,
(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期，一般针对含有绝对值的
【举一反三】
1．(2020·云南昆明一中高三月考)函数的最小正周期是( )
A．B．C．D．
2．(2020·吉林市教育学院高三)下列函数中最小正周期为的函数的个数( )
①；②；③
A．0B．1C．2D．3
3．(2020·全国高三月考)函数的最小正周期为( )
A．B．C．D．
4．(2020·全国高三专题练习)函数的最小正周期为( )
A．B．C．D．
考向二 对称性
【例2】(1)(2020·山西高三月考)函数的图象( )
A．关于原点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于点对称
(2)(2020·天津高三期中)若函数的图像关于点中心对称，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【方法总结】
【举一反三】
1．(2020·河南南阳中学高三月考)函数图象的一条对称轴方程是( )
A．B．C．D．
2．(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数则函数的图象的对称轴方程为( )
A．B．
C．D．
3．(2020·山东高三专题练习)函数的一个对称中心是( )
A．B．C．D．
4(2020·江西省信丰中学高三月考)若函数 (ω∈N+)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为( )
A．1B．2C．4D．8
考向三 单调性
【例3-1】(1)(2020·全国高三专题练习)函数的单调递增区间为
(2)(2020·全国高三专题练习(理))函数的单调递减区间为________.
(3)(2020·南开大学附属中学高三月考)设函数，则函数的单调递增区间为___________.
【例3-2】(2020·全国高三其他模拟)若函数在区间上是减函数，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【方法总结】
【举一反三】
1.(2020·上海高三专题练习)函数的单调递增区间是______________.
2．(2020·河北高三月考)已知，则的最小正周期和一个单调减区间分别为( )
A． B． C． D．
3．(2020·上海市控江中学高三月考)函数，的单调递增区间是________．
4．(2020·天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数，给出下列结论：
①的一个周期为②的图象关于直线对称
③的图象关于点对称④在单调递减
其中所有正确结论的编号是( )
A．①④B．②③C．①②③D．②③④
考向四 奇偶性
【例4】(2020·福建省泰宁第一中学高三月考)下列函数中，周期为的奇函数为( )
A．B．
C．D．
【方法总结】
【举一反三】
1．(2020·全国课时练习)函数是( )
A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数
2．(2019·石河子第二中学)是( )
A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数
3．(2020·陕西西安市庆安高级中学)函数是( )
A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数
考向五 值域(最值)
【例5】(1)函数y＝cs 2x＋2cs x的值域是________．
(2)．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最小值为________．
【举一反三】
1.(2020·陕西省定边中学高三)已知函数，则函数的值域为( )
A．B．C．D．
2．函数，的最大值为( )
A．B．1C．2D．
3．(2020·浙江高三期中)已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的值域.
考向六 伸缩平移
【例6】(1)(2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高三月考)为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
(2)(2020·江苏常州·高三期中)函数的图象可由函数的图像( )
A．向左平移个单位得到B．向右平移个单位得到
C．向左平移个单位得到D．向右平移个单位得到
(3)(2020·和县第二中学高三月考)将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是( )
A．函数的图象关于点对称B．函数的周期是
C．函数在上单调递增D．函数在上最大值是1
(4)(2020·贵州安顺·高三其他模拟)将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【方法总结】
函数图像平移异名化同名的公式：，.
【举一反三】
1．(2020·江西高三期中)要得到的图像，只需将函数的图像( )
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
2．(2020·安徽六安一中高三月考)将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为( )
A．B．
C．D．
3．(多选)(2020·江苏南通·高三期中)把函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是( )
A．g(x)在上单调递增 B．g(x)的图象关于对称
C．g(x)的最小正周期为4π D．g(x)的图象关于y轴对称
4．(2020·安徽马鞍山二中高三期中(理))将函数的图像向左平移个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则_________．
考点七 求解析式
【例7】(2020·安徽池州一中高三月考)函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为( )
A．，B．，
C．，D．，
【方法总结】
由函数的图象求解析式的方法：
（1）；（2）；
（3）；（4）由图象上的已知点求.
【举一反三】
1．(2020·北京十四中高三期中)函数的一段图象如图所示，则( )
A．B．C．D．
2．(多选)(2020·江苏高三期中)函数(＞0，0＜＜)(xR)在一个周期内的图象如图所示，则( )
A．函数的解析式为(xR)
B．函数的一条对称轴方程是
C．函数的对称中心是(，0)，kZ
D．函数是偶函数
3．(多选)(2020·全国高三月考)已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．的图象关于点对称
D．的图象可由的图象向在平移个单位长度得到
强化练习
1．(2020·北京市第四十四中学高三期中)函数的最小正周期是( )
A．B．C．D．
2．(2020·全国高三其他模拟)函数的最小周期是( )
A．B．C．D．
3．(2020·开鲁县第一中学高三)函数的最小正周期是( )
A．B．C．2πD．5π
4．(2020·海伦市第一中学高三)下面函数中最小正周期为的是( )．
A．B．
C．D．
5．(2020·全国高三专题练习(理))函数y＝1－2sin2是( )
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
6．(2020·福建高三期中)已知函数(，)，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位后，得到的图像关于原点对称，那么函数的图像( )
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
7．(2019·福建省泰宁第一中学高三月考(理))已知函数的部分图象如图所示，则函数 图象的一个对称中心可能为( )
A．B．C．D．
8．(2020·河南鹤壁高中高三开学考试(文))如果函数y＝3cs(2x+φ)的图象关于点(，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A．B．C．D．
9．(2020·广东高三二模)若函数的最小正周期为，则图象的一条对称轴为( )
A．B．C．D．
10．(2020·吉林高三月考(理))函数是( )
A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数
11．(2020·福建三明一中高三月考)下列函数中，周期为的奇函数为( )．
A．B．
C．D．
12．(2020·天津高三月考)函数是( )
A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数
13．(2020·全国高三专题练习)下列函数中是偶函数且最小正周期为的是 ( )
A．B．
C．D．
14．(2020·山东高三专题练习)下列函数中周期为且为偶函数的是( )
A．B．
C．D．
15．(2020·浙江高三期中)将函数向左至少平移多少个单位，使得到的图像关于轴对称( )
A．B．C．D．
16．(2020·宜宾市叙州区第二中学校高三月考)若将函数的图像向右平移个单位，则平移后的函数的对称中心为( )
A．B．
C．D．
17．(2020·湖南衡阳市八中高三月考)函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点( )
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位
18．(2020·江苏高三期中)将函数的图像向右平移______个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图像.( )
A．B．C．D．
19．(2020·陕西省定边中学高三月考)将函数的图像沿轴向左平移个单位长度后得到图像对应的函数解析式为( )
A．B．
C．D．
20．(2020·江苏高三月考)要得到函数的图象，只要将函数的图象( )
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
21．(2020·全国高三月考)将函数的图象沿轴向左平移个单位长度得到函数的图象，则的最小值为( )．
A．B．C．D．
23．(2020·云南曲靖一中高三其他模拟(理))将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断：
①该函数的解析式为；②该函数图象关于点对称；
③该函数在区间上单调递增；④该函数在区间上单调递增.
其中，正确判断的序号是( )
A．②③B．①②C．②④D．③④
24．(2020·天津市第四十一中学高三月考)若函数(，)的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递增
D．是函数图象的一个对称中心
25．(2020·安徽高三月考(文))要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
26．(2020·云南昆明·高三其他模拟)已知函数在同一周期内有最高点和最低点，则此函数在的值域为( )
A．B．
C．D．
27．(多选)(2020·徐州市铜山区大许中学高三月考)已知函数，则下列选项正确的有( )
A．的最小周期为B．曲线关于点中心对称
C．的最大值为D．曲线关于直线对称
28．(多选)(2020·湖南雅礼中学高三月考)已知函数，则以下说法中正确的是( )
A．的最小正周期为 B．在上单调递减
C．是的一个对称中心 D．当时，的最大值为
29．(多选)(2020·辽河油田第二高级中学高三月考)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是( )
A．的最小正周期为B．直线是图象的一条对称轴
C．D．为奇函数
30．(多选)(2020·广东金山中学高三期中)已知函数(，)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象( )
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
31．(2020·广东高三月考)已知函数，则下列选项正确的有( )
A．的最小正周期为B．曲线关于点中心对称
C．的最大值为D．曲线关于直线对称
32．(多选)(2020·海南高三一模)已知函数的最小正周期为.将该函数的图象向左平移了个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数，则( )
A．B．是的图象的对称中心
C．在上单调通增D．在上的值域为
33．(多选)(2020·烟台市福山区教育局高三期中)函数，(是常数，)的部分图象如图所示，则( )
A．B．
C．的对称轴为D．的递减区间为
34．(2020·河南高三其他模拟(理))函数的对称中心坐标是________
35．(2020·河南高三期中(文))若函数在区间和上均递增，则实数的取值范围是______．
36．(2020·浙江镇海中学高三期中)函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为_________.
37．(2020·浙江省桐庐分水高级中学高三期中)已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)函数的单调递减区间．
38．(2020·汪清县汪清第六中学高三三模(理))已知函数.
(1)求的值.
(2)求的最小正周期及单调递增区间.
39．(2020·浙江高三专题练习)已知函数，
(I)求的值
(II)求的最小正周期及单调递增区间.
40．(2020·全国高三专题练习)已知函数的周期是.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的最值及其对应的的值.
41．(2020·北京市第十三中学高三期中)已知函数.
(1)求的值；
(2)求的最小正周期；
(3)求在区间上的最小值.函数
y=sin x
y=cs x
y=tan x
图像
定义域
R
R
{x|x≠ QUOTE +kπ,k∈Z}
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
单调性
在[2kπ-,2kπ+] (k∈Z)上单调递增;在[2kπ+,2kπ+] QUOTE (k∈Z)上单调递减
在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减
在(kπ-,kπ+) QUOTE
(k∈Z)上单调递增
最值
x=2kπ+ QUOTE (k∈Z)时,ymax=1;
x=2kπ- QUOTE (k∈Z)时,ymin=-1
x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;
x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心(kπ,0)(k∈Z)
对称中心(kπ+,0)(k∈Z)
对称中心(,0) QUOTE (k∈Z)
对称轴l:x=kπ+ QUOTE (k∈Z)
对称轴l:x=kπ(k∈Z)
最小正周期
2π
2π
π
x
eq \f(0－φ,ω)
eq \f(\f(π,2)－φ,ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(\f(3π,2)－φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0