2021年高考艺术生数学基础复习 考点19 二项式定理（学生版）

考点19  二项式定理

一．二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)

(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C

(4)项数为n＋1，且各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n

二．二项式系数的性质

三．指定项的系数或二项式系数

1.解题思路：通项公式

2.常见指定项：若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：

(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项

(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项

(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项

(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项

三．系数和---赋值法

1．赋值法的应用

(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．

(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

2．二项式系数最大项的确定方法

(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；

(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．

考向一  二项展开式中特定项及系数

【例1】(1)(2020·长春市第八中学高三)二项式的展开式中的系数为        

(2)(2021·上海高三一模)在的二项展开式中，常数项等于____.

(3)(2020·全国高三)在的展开式中，有理项共有    项

(4)(2020·云南省个旧市第一高级中学高三)展开式中x的系数为80，则a等于      。

【举一反三】

1．(2020·上海奉贤区·高三一模)在展开式中，常数项为__________.(用数值表示)

2．(2020·四川成都市·高三一模)的展开式中的系数是______．(用数字作答)

3．(2020·全国高三专题练习)的展开式中的系数为(    )

A． B． C． D．

4．(2020·全国高三)二项式的展开式中的系数是，则(    )

A．1 B． C． D．

5．(2020·山东高三专题练习)的展开式中的系数是-10，则实数(    )

A．2 B．1 C．-1 D．-2

6．(2020·广东高三一模)当为常数时，展开式中常数项为，则________．

考向二  二项式系数的性质

【例2】(1)(2020·黑龙江大庆市·高三三模)若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是(  )

A． B．

C． D．

(2)．(2020·江西高三其他)已知的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的系数为(    )

A．80 B．40 C． D．

【举一反三】

1．(2020·四川绵阳市·高三三模)在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为(    )

A．﹣360 B．﹣160 C．160 D．360

2．(2020·全国高三专题练习)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为(    )

A． B． C． D．7

3．(2020·永丰县永丰中学高三)若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是(    ).

A．132 B． C． D．66

考向三  二项式系各项系数和

【例3】(1)(2020·四川省泸县第二中学高三)的展开式的各项系数和是(    )

A． B． C． D．

(2)(2020·四川宜宾市·高三一模)若展开式中所有项的系数和为1，则其展开式中的系数为(    )

A． B． C． D．

(3)(2020·江西高三)若，则(    )

A．0 B．2 C． D．1

(4)(2020·安徽高三)已知，则(    )

A． B． C． D．

【举一反三】

1．(2020·全国高三)在的展开式中，若二项式系数的和为128，常数项为14，则(    )

A． B．2 C．3 D．4

2．(2020·全国高三其他模拟)已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______.

3．(2020·全国高三专题练习)的展开式中，的奇次幂项的系数之和为(    )

A． B． C． D．1

4．(2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三)若，则的值是(    )

A． B． C．126 D．

5．(2020·全国高三专题练习)已知，则(    )

A．2 B．6 C．12 D．24

6.(2020·江苏省南通中学高三一模)已知，则________；________；________； ________.

考向四 多项式展开式中特定项系数

【例4】(1)(2021·河南郑州市·高三一模)式子的展开式中，的系数为(    )

A． B． C． D．

(2)．(2020·全国高三其他模拟(理))在的展开式中的系数为(    )

A．50 B．20 C．15 D．

(3)(2020·安徽省泗县第一中学高三其他模拟(理))的展开式的各项系数之和为5，则该展开式中x项的系数为(    )

A．-66 B．-18 C．18 D．66

【举一反三】

1．(2020·广西高三)的展开式中，含的项的系数是(    )

A． B．  C．25 D．55

2．(2020·福建高三二模)的展开式中的系数为(    )

A． B． C． D．

3．(2020·长春市第八中学高三一模)的展开式的常数项为(     )

A． B． C． D．

4．(2020·全国高三其他模拟)已知展开式中含项的系数为，则正实数的值为(    )

A． B． C． D．

5．(2020·山东高三专题练习)已知的展开式中的常数项为8，则实数(    )

A．2 B．-2 C．-3 D．3

1．(2020·四川凉山彝族自治州·高三一模(理))的展开式中的常数项是______.(用数字作答)

2．(2020·上海高三专题练习)在的二项展开式中，项的系数为__________.

3．(2020·上海高三专题练习)在的二项展开式中项的系数为__________．

4．(2020·全国高三专题练习)在的二项展开式中，中间项的系数是___________．

5．(2020·四川成都市·高三)的展开式的中间一项为_______________________.

6．(2020·全国高三)若的展开式中与的系数之比为，则为         

7．(2020·宜宾市叙州区第二中学校高三月考)已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为           

8．(2020·湖南长沙市·雅礼中学高三月考)若直线与垂直，则二项式的展开式中x的系数为        

9．(2020·广西高三)在二项式的展开式中，项的系数是15，则实数a的值为_______.

10．(2020·江苏南京市·南京师大附中高三月考)在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于__________.

11．(2020·宜宾市叙州区第二中学校高三开学考试)的二项展开式中第三项和第四项的二项式系数最大，则各项系数和为_________

12．(2020·四川德阳市·高三)在二项式的展开式中，二项式系数之和为64，且展开式中的常数项为20，则______．

13．(2020·陕西省商丹高新学校高三)的展开式中的项的系数是      

14．(2020·湖南长沙市·周南中学高三二模)在的展开式中，含项的系数为         

15．(2020·山东高三其他模拟)的展开式中的系数为         

16．(2020·全国高三二模)的展开式中，的系数为       

17．(2020·全国高三专题练习)若展开式中的常数项是60，则实数的值为        

18．(2020·北海市北海中学高三月考)的展开式中的系数为      

19．(2020·浙江宁波市·镇海中学高三三模)记，则的值为         

20．(2020·上海杨浦区·高三一模)已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为，则展开式中的常数项为__________(结果用数值表示).

21．(2020·广西北海市·高三一模)展开式中的系数为，则=________.

22．(2020·河南焦作市·高三一模)的展开式中的系数为______.

23．(2020·江苏省天一中学高三其他模拟)若，则______.

24．(2020·全国高三专题练习)的展开式中的系数为_____________.

25．(2020·全国高三专题练习)的展开式中的系数为4，则的展开式中常数为______．

26．(2020·广西高三其)二项式展开式中的常数项为，则实数=_______．

27．(2020·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三月考)的展开式中的系数为________.(用数字作答)

28(2020·广西高三)若，则的值为__________.

29．(2020·河南高三)已知，则______.

30．(2020·全国高三专题练习)多项式展开式的常数项为__________.(用数字作答)

31．(2020·云南高三一模(理))已知的展开式中的系数为5，则________.

32．(2020·上海青浦区·复旦附中青浦分校高三开学考试)代数式的展开式的常数项是________(用数字作答)

33．(2020·梅河口市第五中学高三其他模拟(理))已知，则______.

34．(2020·上海市建平中学高三月考)已知二项展开式中的第五项系数为，则正实数_____.

35．(2020·湖北武汉市·武汉为明学校)已知，则______.

36．(2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他模拟(理))已知是常数，，且，则_____．

40．(2020·全国高三专题练习)已知，则__________．

41．(2020·全国高三专题练习)已知，则_____，_______.

42．(2020·浙江高三其他模拟)已知，则__________﹔__________．