2020--2021学年北师大版七年级数学下册期中测试卷（含解析）

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2020-2021学年北师大版七年级下册期中测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2020秋•前郭县期中）计算（﹣2x2y）3的结果是（　　）
A．﹣2x5y3 B．﹣8x6y3 C．﹣2x6y3 D．﹣8x5y3
【分析】积的乘方法则，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此求解即可．
【解答】解：（﹣2x2y）3＝（﹣2）3（x2）3y3＝﹣8x6y3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
2．（3分）（2021春•碑林区校级月考）2020年1月24日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径大约为80纳米（1纳米＝0.000001毫米），数据“80纳米”用科学记数法表示为（　　）
A．0.8×10﹣7毫米 B．8×10﹣6毫米
C．8×10﹣5毫米 D．80×10﹣6毫米
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵1纳米＝0.000001毫米，
∴80纳米＝0.00008毫米＝8×10﹣5毫米．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）（2020春•郑州期中）一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据：
支撑物的高度h（cm）
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑的时间t（s）
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
1.41
1.35
下列说法正确的是（　　）
A．当h＝70cm时，t＝1.50s
B．h每增加10cm，t减小1.23
C．随着h逐渐变大，t也逐渐变大
D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快
【分析】根据函数的表示方法，可得答案．
【解答】解；A、当h＝70cm时，t＝1.59s，故A错误；
B、h每增加10cm，t减小的值不一定，故B错误；
C、随着h逐渐升高，t逐渐变小，故C错误；
D、随着h逐渐升高，小车的时间减少，小车的速度逐渐加快，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的表示方法，观察表格获得信息是解题关键．
4．（3分）（2020春•黄岛区期中）下列各式中计算正确的是（　　）
A．（a+b）（b﹣a）＝a2﹣b2 B．（﹣m﹣n）2＝m2+2mn+n2
C．2m3÷m3＝2m D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2，故选项A错误；
∵（﹣m﹣n）2＝m2+2mn+n2，故选项B正确；
∵2m3÷m3＝2，故选项C错误；
∵（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝b4c4÷b2c2＝b2c2，故选项D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
5．（3分）如图，直线AB∥CD，且AC⊥AD，∠ACD＝58°，则∠BAD的度数为（　　）

A．29° B．30° C．32° D．58°
【分析】先根据平行线的性质得出∠BAC的度数，再由AC⊥AD得出∠CAD＝90°，进而可得出结论．
【解答】解：∵直线AB∥CD，∠ACD＝58°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACD＝180°﹣58°＝122°，
∵AC⊥AD，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝122°﹣90°＝32°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
6．（3分）（2021春•香坊区校级月考）如图，下列条件中能判定AB∥CD的是（　　）

A．∠AEC＝∠BFD B．∠CEF＝∠BFE
C．∠AEF+∠CFE＝180° D．∠C＝∠BFD
【分析】依据平行线的判定方法逐项进行判断即可得出结论．
【解答】解：A．由∠AEC＝∠BFD，不能判定AB∥CD，故本选项不符合题意；
B．由∠CEF＝∠BFE，可判定CE∥BF，不能判定AB∥CD，故本选项不符合题意；
C．由∠AEF+∠CFE＝180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”能判定AB∥CD，故本选项符合题意；
D．由∠C＝∠BFD，可判定CE∥BF，不能判定AB∥CD，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行．
7．（3分）（2020春•揭阳期中）小明观看了《中国诗词大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同．
【解答】解：开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，故A，B，C不符合题意；两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同，则选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
8．（3分）（2020春•奉化区期中）如图1，∠DEF＝25°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿折痕GF折叠成图3，则∠CFE的度数为（　　）

A．105° B．115° C．130° D．155°
【分析】由矩形的性质可知AD∥BC，由此可得出∠BFE＝∠DEF＝25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝25°．
由翻折的性质可知：
图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，
图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE＝180°﹣3∠BFE．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）（2020春•文登区期中）﹣（12）﹣2﹣（﹣1）2020+（3.14﹣3）0＝　﹣4　．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣4﹣1+1
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（3分）（2020秋•海淀区校级期中）若一个角和它的余角相等，则这个角的补角的度数为　135°　．
【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°，互为余角的两个角的和等于90°进行计算即可得解．
【解答】解：∵一个角和它的余角相等，
∴这个角是90°÷2＝45°，
它的补角是180°﹣45°＝135°．
故答案为：135°．
【点睛】本题考查了余角与补角，是基础题，熟记概念是解题的关键．
11．（3分）（2020秋•新蔡县期中）若3x＝20，9y＝5，则3x﹣2y＝　4　．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵3x＝20，9y＝5，
∴32y＝5，
∴3x﹣2y＝3x÷32y＝20÷5＝4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
12．（3分）（2021春•沙坪坝区校级月考）已知：（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，则x2+3xy+y2的值为　14　．
【分析】利用完全平方公式得到x2+2xy+y2＝12，x2﹣2xy+y2＝4，再把两个等式相加和相减可得到x2+y2＝8，xy＝2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，
∴x2+2xy+y2＝12①，x2﹣2xy+y2＝4②，
①+②得2x2+2y2＝16，
∴x2+y2＝8，
①﹣②得4xy＝8，
∴xy＝2，
∴x2+3xy+y2＝8+3×2＝14．
故答案为14．
【点睛】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此类命题的关键．
13．（3分）（2020春•黄岛区期中）将一个等腰直角三角形的直角顶点和一个锐角顶点按如图方式分别放在直线a，b上，若a∥b，∠1＝24°，则∠2的度数为　21　°．

【分析】证明∠1+∠2＝45°即可解决问题．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∴∠1+∠EBD+∠EDB+∠2＝180°，
∵∠EBD＝90°，∠EDB＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∵∠1＝24°，
∴∠2＝21°，
故答案为21．

【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（3分）（2020春•黄岛区期中）如图，现有A，C两类正方形卡片和B类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的长方形，那么需要B类长方形卡片　7　张．

【分析】根据长方形的面积＝长×宽，求出长为3a+b，宽为a+2b的长方形的面积是多少，判断出需要B类卡片多少张即可．
【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：
（3a+b）（a+2b）＝3a2+7ab+2b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，
∴需要A类卡片3张，B类卡片7张，C类卡片2张，
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15．（3分）（2020秋•南岗区期中）如图，AB∥CD，∠ACD＝60°，∠BAE：∠CAE＝2：3，∠FCD＝4∠FCE，若∠AEC＝78°，则∠FCE＝　10°　．

【分析】根据平行线的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD，
∴∠BAE＝∠AEG，∠ECD＝∠GEC，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，∠AEC＝∠BAE+∠ECD，
∵∠ACD＝60°，∠BAE：∠CAE＝2：3，
∴∠BAC＝120°，
∴∠BAE＝48°，
∵∠AEC＝78°，
∴∠ECD＝∠AEC﹣∠BAE＝78°﹣48°＝30°，
∵∠FCD＝4∠FCE，
∴∠FCE＝10°，
故答案为：10°．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和角的关系解答．
16．（3分）（2020秋•市中区校级期中）将7张如图①所示的小长方形纸片按图②的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1，S2，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．若AB长度不变，AD变长，将这7张小长方形纸片按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，而S2﹣S1的值总保持不变，则a，b满足的数量关系是　a＝4b　．

【分析】根据题意和图形中的字母，可以表示出S2﹣S1，再根据AB长度不变，AD变长，而S2﹣S1的值总保持不变，即可得到a与b的关系，本题得以解决．
【解答】解：设AD的长度为m，
则S2﹣S1＝a（m﹣3b）﹣4b（m﹣a）＝am﹣3ab﹣4bm+4ab＝（a﹣4b）m+ab，
∵m会发生变化，而S2﹣S1的值总保持不变，
∴a﹣4b＝0，得a＝4b，
故答案为：a＝4b．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（4分）（2020春•黄岛区期中）如图，AB是某条河上的一座桥，现要在河的下游点C处再建一座与AB平行的桥CD，请用直尺和圆规画出CD的方向．

【分析】利用尺规作∠DCE＝∠A，CD＝AB即可．
【解答】解：如图，线段CD即为所求．

【点睛】本题考查作图﹣应用与设计，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（16分）（2020春•黄岛区期中）计算：
（1）（﹣2a2b）2•ab2÷（﹣a3b）；
（2）（x﹣1）（x+1）（x2+1）；
（3）20202﹣2022×2018（用乘法公式计算）；
（4）（a﹣b﹣3）（a﹣b+3）．
【分析】（1）根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题；
（2）根据平方差公式可以解答本题；
（3）根据平方差公式可以解答本题；
（4）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．
【解答】解：（1）（﹣2a2b）2•ab2÷（﹣a3b）
＝4a4b2•ab2÷（﹣a3b）
＝﹣4a2b3；
（2）（x﹣1）（x+1）（x2+1）
＝（x2﹣1）（x2+1）
＝x4﹣1；
（3）20202﹣2022×2018
＝20202﹣（2020+2）×（2020﹣2）
＝20202﹣20202+4
＝4；
（4）（a﹣b﹣3）（a﹣b+3）
＝[（a﹣b）﹣3]×[（a﹣b）+3]
＝（a﹣b）2﹣9
＝a2﹣2ab+b2﹣9．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
19．（6分）（2020秋•南关区校级期中）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝3，y＝﹣3．
【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，再求出答案即可．
【解答】解：原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷2x
＝（﹣2x2﹣2xy）÷2x
＝﹣x﹣y，
当x＝3，y＝﹣3时，原式＝﹣3﹣（﹣3）＝0．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（6分）（2020春•黄岛区期中）完成下面的证明．
已知：如图，∠BAC与∠GCA互补，∠1＝∠2，
求证：∠E＝∠F
证明：∵∠BAC与∠GCA互补
即∠BAC+∠GCA＝180°，（已知）
∴　AB　∥　DG　（　同旁内角互补，两直线平行　）
∴∠BAC＝∠ACD．（　两直线平行，内错角相等　）
又∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠BAC﹣∠1＝∠ACD﹣∠2，即∠EAC＝∠FCA．（等式的性质）
∴　AE　∥　CF　（内错角相等，两直线平行）
∴∠E＝∠F．（　两直线平行，内错角相等　）

【分析】首先判断AB∥CD，然后根据平行线的性质，以及平行线的判定方法证明AE∥CF，根据平行线的性质即可求解．
【解答】证明：∵∠BAC与∠GCA互补
即∠BAC+∠GCA＝180°，（已知）
∴AB∥DG（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠BAC＝∠ACD．（两直线平行，内错角相等）
又∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠BAC﹣∠1＝∠ACD﹣∠2，即∠EAC＝∠FCA．（等式的性质）
∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行）
∴∠E＝∠F．（两直线平行，内错角相等）
故答案为：AB、DG、同旁内角互补，两直线平行、AE、CF、两直线平行，内错角相等．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行线的判定方法，正确证明AE∥CF是关键．
21．（10分）（2020春•黄岛区期中）如图所示，在一个边长为10cm的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，自变量．因变量各是什么？
（2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积ycm2，请写出y与x的关系式；
（3）当小正方形的边长由1cm变化到3cm时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？

【分析】（1）根据变化过程中的变量，进行判断即可；
（2）用大正方形的面积减去4个小正方形的面积，即可得出函数关系式；
（3）求出当小正方形的边长为1cm，3cm时，阴影部分的面积，再得出面积的变化情况．
【解答】解：（1）自变量是小正方形的边长，因变量为阴影部分的面积；
（2）y＝100﹣4x2；
（3）当x＝1时，y＝100﹣4＝96，
当x＝3时，y＝100﹣4×32＝64，
96﹣64＝32（cm2）
所以当小正方形的边长由1cm变化到3cm时，阴影部分的面积减少32cm2．
【点睛】本题考查变量和常量的意义，用代数式表示阴影部分的面积是正确解答的关键．
22．（8分）（2020春•黄岛区期中）如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若BF⊥AC，∠2＝145°，求∠AFG的度数．

【分析】（1）由于∠AGF＝∠ABC，可判断GF∥BC，则∠1＝∠3，由∠1+∠2＝180°得出∠3+∠2＝180°判断出BF∥DE；
（2）由∠2＝145°得出∠1＝35°，得出∠AFG的度数．
【解答】解：（1）BF∥DE．理由如下：
∵∠AGF＝∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠3+∠2＝180°，
∴BF∥DE；

（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝145°，
∴∠1＝35°，
∴∠AFG＝90°﹣35°＝55°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，关键是掌握同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
23．（10分）（2020春•黄岛区期中）阅读理解：
下面的图象表示2m的个位数字随m（m为正整数）变化的规律．请解答下列问题：

（1）根据图象回答下列问题：
当m＝4n（n为正整数）时，2m的个位数字是　6　；
当m＝4n+1（n为正整数）时，2m的个位数字是　2　；
当m＝4n+2（n为正整数）时，2m的个位数字是　4　；
当m＝4n+3（n为正整数）时，2m的个位数字是　8　；
（2）求：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1的个位数字．
解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1
＝（216﹣1）+1
＝216．
因为16＝4×4，所以由（1）得，216的个位数字是6，即（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1的个位数字是6．
类比应用：
（3）求：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）的个位数字．
【分析】（1）仔细分析题目发现规律即可；
（3）根据（2）的规律可以发现，多次逆用平方差公式即可得出答案．
【解答】解：故答案为：（1）6；2；4；8；
（3）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）
＝（232﹣1）（232+1）
＝264﹣1
因为64＝4×16，所以264的个位数字是6，所以264﹣1的个位数字是5，
即（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）的个位数字是5．
【点睛】本题考查函数图象的规律问题，属于中档题．
24．（12分）（2020春•黄岛区期中）如图①，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点P出发时的速度为每秒1cm，a秒时点P的速度变为每秒bcm，图②是点P出发x秒后，△APD的面积S（cm2）与x（s）的函数关系图象．
（1）根据题目中提供的信息，求出图②中a，b，c的值；
（2）设点P运动的路程为y（cm）．
①7s时，y的值为　8　cm；
②请写出当点P改变速度后，y与x的函数关系式；
（3）当点P出发后几秒时，△APD的面积S是长方形ABCD面积的14？

【分析】（1）当P在AB上，根据面积为24，列式可得a的值，发现点P在运动6cm时开始改变速度，因为点P到BC上时，S不变，所以由a到8秒都是在线段AB上，所以速度b=路程8-a，可得b的值，最后由计算总时间可得c的值；
（2）先根据y＝动点P没改变速度时走的路程为6cm+新速度×（x﹣6），得y与出发后的运动时间x（秒）的关系式；
（3）根据图形和面积公式可得：当P在AB中点和CD中点时，S△APD=14S矩形ABCD．
【解答】解（1）当P在边AB上时，由图得知：S△APD=12AD•AP=12×8×1×a＝24，
∴a＝6；
∴b=10-68-a=2，
∴c＝8+12（10+8）＝17；

（2）①由题意得：y＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6（6≤x≤17），
当x＝7时，y＝8，
故答案为8；
②由①知，函数表达式为y＝2x﹣6（6≤x≤17）；

（3）当P在AB中点和CD中点时，S△APD=14S矩形ABCD，
当P在AB中点时，P出发5秒，
当P在CD中点时，代入（2）中y＝2x﹣6，
即23＝2x﹣6，解得x=292，
∴P出发5秒和292秒时，S△APD=14S矩形ABCD．
【点睛】本题是四边形和函数图象的综合问题，考查的是一次函数与图象的综合运用，矩形的面积及动点运动问题，结合图象得出正确的信息，综合性较强，是中考中热点问题．