陕西省汉中市2021届高三下学期高考一模理科数学试题（word版 含答案）

陕西省汉中市2021届高三下学期高考一模理科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．设复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．设是函数的一个极值点，则（    ）

A．﹣3 B． C． D．3

4．埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国.古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的.古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数.埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

5．已知直线，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．过三点的圆交轴于两点，则（    ）

A． B． C． D．

7．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

9．设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

10．三棱柱中，平面，，则三棱柱的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

11．若，则（    ）

A． B．

C． D．

12．已知向量，，是空间中的一个单位正交基底．规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，若向量，，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知，向量，与的夹角为，则___________.

14．设等比数列的第四项是的展开式中的常数项，且首项，则通项公式为___________.

15．为了弘扬张骞开拓进取精神，传承中华优秀传统文化，第四届中国古筝日“盛世国乐，筝韵天下”汉中片区大型公益活动在久负盛名的张骞纪念馆盛大举行.其中有《百人齐奏》､《二重奏》､《独奏》､《小合唱》､《伴唱》和《茶艺》六个表演节目，如果《百人齐奏》必须排第一个，《小合唱》和《伴唱》不能连续出场，那么出场顺序的排法种数为___________.(用数字作答)

16．已知函数是上的偶函数，对任意的都有，当且时，都有，给出下列命题：

①；

②函数在上是递增的；

③函数的图像关于直线对称；

④函数在上有四个零点.

其中所有真命题的序号是___________.

三、解答题

17．的内角的对边分别为，满足.

（1）求角；

（2）若的面积为，，求的周长.

18．为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在20~60岁的人群中随机抽取了100人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示：

（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为以岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？

（2）若以岁为分界点，从不接受“纯电动汽车”的人群中，按分层抽样的方法抽取人调查不接受“纯电动汽车”的原因，现从这人中随机抽取人.记抽到岁以下的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.

附：

19．如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上.

（1）求证：平面平面；

（2）当，为的中点时，求直线与平面所成角的正弦值.

20．已知椭圆的离心率为，椭圆的中心到直线的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点，对于椭圆上任意一点，若，求的最大值.

21．已知函数.

（1）当时，求在上的最值；

（2）设，若有两个零点，求的取值范围.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线交曲线于两点.

（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设点的直角坐标为，若点到两点的距离之积是16，求的值.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

参考答案

1．B

【分析】

解一元二次不等式，利用补集、交集定义即可.

【详解】

因为，所以

所以.

故选：B．

2．A

【分析】

根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】

由题意，复数，

所以复数对应点为位于第一象限.

故选：A.

3．C

【分析】

利用导数判断极值点，弦化切求解即可.

【详解】

解：∵由已知可得，

∴．

故选：C．

4．B

【分析】

利用等比数列的求和公式可判断A选项的正误；利用裂项求和法可判断BD选项的正误；利用分式的加法可判断C选项的正误.

【详解】

对于A选项，，A选项正确；

对于B选项，，

所以，，B选项错误；

对于C选项，，C选项正确；

对于D选项，，

所以，，D选项正确.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；

（3）对于型数列，利用分组求和法；

（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.

5．A

【分析】

由解得或.由，解得，再根据充分必要条件的定义判断可得选项.

【详解】

∵直线，

当“”时，直线，不满足，

当“”时，直线，不满足，

∴当时，则，解得或.

而由，解得，

所以由“”能推出“”，由“”不能推出“”，所以“”是“”充分不必要条件.

故选：A.

6．D

【分析】

设圆的圆心为，半径为，方程为，将三点代入，解得圆的方程，再利用垂径定理求得弦长.

【详解】

由题意，设圆的圆心为，半径为，方程为，

又在圆上，

解得，

故圆的方程为，圆心为，半径，

故圆心到轴的距离，

弦长，

故选：D.

【点睛】

圆的弦长的常用求法：

(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；

(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.

7．B

【分析】

利用对立事件的概率关系进行求解.

【详解】

设从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，这个音序中宫和羽至少有一个为事件A，则表示这个音序中不含宫和羽这两个音序，

.

故选：B

8．C

【分析】

利用可能平行判断A，利用线面的位置关系定义可判断B，利用或与异面判断C，与可能平行、相交、异面，判断D.

【详解】

，，则可能平行，故A不正确；

，则可能平行，可能线在面内；

，，由线面平行的性质可得，故C正确；

，，与可能平行、相交、异面，故D不正确.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.

9．D

【分析】

根据题设条件和双曲线的性质，在三角形值寻找等量关系，得到之间的等量关系，进而求出离心率.

【详解】

依题意，可知三角形是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知，

根据双曲定义可知，整理得，

代入整理得，求得；

∴．

故选：D．

【点睛】

关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率问题，正确解题的关键是熟练掌握双曲线的性质，以及寻找判断三角形中边的关系.

10．D

【分析】

由三棱柱的结构特征，把三棱柱放入长方体中，则长方体的外接球就是三棱柱的外接球，利用长方体体对角线求出外接球半径，进而得到外接球的表面积.

【详解】

把三棱柱放入长方体中，如图所示，

所以长方体的外接球即是三棱柱的外接球，

，

长方体的外接球半径，

三棱柱的外接球半径为，

表面积为，

故选：D.

【点睛】

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

11．A

【分析】

构造函数，利用导数判断其单调性，结合题意可得，进而得到，由此即可得解.

【详解】

依题意，

，

令，

则，

所以函数在上单调递增；

又，

得，

又，

则，

又函数在上单调递增，

则，

即，

所以，

选项A正确，B不正确；

又无法确定与的关系，

故CD不正确；

故选：A.

【点睛】

关键点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键.

12．C

【分析】

根据公式，代入坐标计算.

【详解】

解：由题意得：，

故选：C．

13．3

【分析】

由定积分求出，根据向量数量积的定义求解即可.

【详解】

因为，

所以，

故，

所以，

故答案为：3

14．

【分析】

根据二项式展开式的通项可求得数列的，再根据等比数列的通项公式可求得数列公比，可求得答案.

【详解】

由题意得，设等比数列的公比为，又首项，所以，解得，所以，

故答案为：.

15．72

【分析】

分3步进行分析：第一步将《二重奏》､《独奏》､和《茶艺》三个节目全排列， 第二步，3个节目拍好后，有4个空，将《小合唱》､《伴唱》安排在4个空位中，第三步，将《百人齐奏》排第一个，有1种，再由分步计数原理求解.

【详解】

由题意得：分3步进行分析：

第一步，将《二重奏》､《独奏》､和《茶艺》三个节目全排列，有种；

第二步，3个节目排好后，有4个空位，将《小合唱》､《伴唱》安排在4个空位中，有种；

第三步，将《百人齐奏》排第一个，有1种，

所以共有种，

故答案为：72

16．①③④

【分析】

利用赋值法，令，结合偶函数的定义，即可判定①正确；利用单调性的定义以及偶函数再对称区间上单调性，判断选项②错误；利用所给的恒等式进行变形，再结合偶函数的性质，推出，即可判定③正确；利用赋值求出上的的个数，可判定④正确.

【详解】

因为函数对任意的都有，

令，则，所以，

又函数是上的偶函数，所以，所以①正确；

因为当且时，都有，

则当时，，当时，，

所以在上单调递增，

因为是偶函数，所以在上单调递减，

因为，则有，即，

又是偶函数，则有，

可得，所以函数关于对称，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以②错误；

因为，即，

再根据，可得，

所以，

所以关于对称，由是偶函数可得关于对称可得所以③正确；

因为，则，

因为是偶函数，所以，

所以，

所以函数在上有四个零点，所以④正确.

故答案为：①③④

【点睛】

方法点睛：对于函数的综合应用问题，解答时会涉及到函数的基本性质：如函数的单调性、奇偶性，以及函数的周期性、函数的对称性等知识，同时对于抽象函数的求值问题，常选择运用赋值法求解，解题时要注意对称性、奇偶性和周期性之间的关系.

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）通过正弦定理将边化为角可得，进而可得结果；

（2）由三角形面积公式易得，结合余弦定理可得，进而得周长.

【详解】

解：（1）由正弦定理可得，·

，

在中，，.

又，.

（2）..

由余弦定理可得.

，.

的周长为.

18．（1）联表答案见解析，能在犯错误的概率不超过的前提下，认为以岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异；（2）分布列答案见解析，数学期望为.

【分析】

（1）列出列联表，然后代入公式计算，然后与表格的数据比较大小即可判断；（2）根据分层抽样判断出岁以下的有人，岁及岁以上的有人，然后判断的可能取值，利用超几何分布计算概率即可.

【详解】

解：（1）由题可得联表如下：

∵.

∴能在犯错误的概率不超过的前提下，认为以岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异.

（2）由题意可知，抽取的人中岁以下的有人，岁及岁以上的有人，所以的可能取值有，，.

所以随机变量的分布列为：

.

【点睛】

易错点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．

19．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）由四边形是正方形，得到，根据底面，证得，

进而证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可得到平面平面；

（2）以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得向量和平面平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】

（1）因为四边形是正方形，所以，

又因为底面平面，所以，

又由平面，所以平面，

又因为平面，所以平面平面.

（2）以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.

设，则，可得，所以的中点，

又由，所以，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，所以，

设直线与平面所成角为，可得.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】

求解直线与平面所成角的方法：

1、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；

2、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）；

3、法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角.

20．（1）；（2）.

【分析】

（1）由，，再由椭圆的中心到直线的距离为，得到，联立求解.

（2）由（1）可的直线的方程为，与椭圆的方程联立, 设，由，得到，再由点在椭圆上，代入椭圆方程整理得到，再根据点在椭圆上，结合韦达定理，转化为利用基本不等式求解.

【详解】

（1），，.

椭圆的中心到直线的距离为，

，..

椭圆的方程为.

（2）由（1）可知，由题可知直线的方程为，

与椭圆的方程联立，.

设，则有.

设，由得，

又点在椭圆上，，

，

.①

点在椭圆上，.②

.③

将②③代入①可得，

，

，当且仅当时取“”.

的最大值为.

【点睛】

关键点点睛：本题第二问的关键是由点在椭圆上，整理得到后，能联系到点在椭圆上和韦达定理的应用，进而得到得解.

21．（1）；（2）.

【分析】

（1）利用导数判断单调性，再根据单调性直接求最值；

（2）根据的取值不同，分别判断单调性与极值最值，进而判断是否满足有两个零点.

【详解】

解：（1）当时，..

当时，；当时，.

在上递减，在上递增.

，

.

（2），

.

①当时，，此时只有一个零点，故不成立；

②当时，在上单调递减，在上单调递增.

，

当时，；

当时，.

∴有两个不同的零点，成立；

③当时，令，得.

当时，，恒成立，

∴在上单调递增，至多有一个零点；

当时，即.

若或，则；若，则.

∴在上单调递增，在上单调递减.

当时，即.若或，则.

若时，则.

∴在上单调递增，在上单调递减.

当时，∵，

.

∴仅有一个零点，不合题意.

综上，有两个零点，的取值范围是.

【点睛】

导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

22．（1）直线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.

【分析】

（1）根据公式，代入化简即可；

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，化简得，根据参数的几何意义及韦达定理计算即可.

【详解】

解：（1）直线的直角坐标方程为，

所以直线的极坐标方程为.

由，得.

所以曲线的直角坐标方程为.

（2）将直线的参数坐标方程代入中，

得.

设对应的参数分别为，则.

，或

，

【点睛】

将参数方程化为普通方程的方法：

将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法；

常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参.

23．（1）；（2）.

【分析】

（1）利用零点分段法将函数表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集；

（2）由（1）可知，函数的最小值是3，不等式对一切实数恒成立等价于，解不等式即可求得a的取值范围.

【详解】

（1），

不等式等价于或或，

得或，

∴不等式的解集为；

（2）由（1）知：

当时，，

当时，，

当时，，

故函数的值域，即的最小值是3，

∵不等式对一切实数恒成立，

∴，解得：

故实数的取值范围是.

【点睛】

方法点睛：解绝对值不等式的方法通常是先利用零点分段法去掉绝对值号，将函数表示为分段函数的形式，然后分段进行求解不等式.