东北三省四市教研联合体2021届高三第二次联合考试理科数学试题（word版 含答案）

这是一份东北三省四市教研联合体2021届高三第二次联合考试理科数学试题（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
东北三省四市教研联合体2021届高三第二次联合考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________  一、单选题1．定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（    ）A．16 B．18 C．14 D．82．复数（其中为虚数单位），则（    ）A．1 B．3 C．5 D．63．割补法在我国古代数学著作中称为“出人相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现.如图，揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法，在三角形内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（    ）A． B． C． D．4．已知，，，则，，的大小关系为（    ）A． B．C． D．5．已知下列四个命题，其中真命题的个数为（    ）①空间三条互相平行的直线，，，都与直线相交，则，，三条直线共面；②若直线平面，直线平面，则；③平面平面直线，直线平面，直线平面，则；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.A．1 B．2 C．3 D．46．双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的渐近线方程为（    ）A． B．C． D．7．如图所示，流程图所给的程序运行结果为，那么判断框中所填入的关于的条件是（    ）A． B．C． D．8．已知是定义域为的奇函数，，当时，，则时，的解析式为（    ）A． B．C． D．9．若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为（    ）A．-1 B． C． D．10．已知直线与圆交于、两点，为坐标原点，，则实数的值为（    ）A． B． C． D．11．已知、是球的球面上两点，，过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．12．已知函数，，若成立，则的最小值为（    ）A． B． C． D． 二、填空题13．_____．14．在一次跳绳比赛中，35名运动员在一分钟内跳绳个数的茎叶图，如图所示，若将运动员按跳绳个数由少到多编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，把7人跳绳个数由少到多排成一列，第一个人跳绳个数是133，则第5个人跳绳个数是_______.15．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为______.16．在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程；，老师问同学们：你想到了什么?能得到哪些结论?下面是四位同学的回答：甲：曲线关于对称；乙：曲线关于原点对称；丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；四位同学回答正确的有______（选填“甲、乙、丙、丁”）. 三、解答题17．已知公比大于1的等比数列的前6项和为126，且，，成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，且，证明：数列的前项和.18．新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分100分，随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如下：100位男性居民评分频数分布表分组频数3127285合计100100位女性居民评分频数分布表分组频数5156479合计100（Ⅰ）求这100位男性居民评分的均值和方差；（Ⅱ）已知男性居民评分服从正态分布，用表示，用表示，求；（Ⅲ）若规定评分小于70分为不满意，评分大于等于70分为满意，能否有99%的把握认为居民是否满意与性别有关?附：，，，.参考公式，.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.2046.6357.87910.828 19．已知等腰直角，，点，分别为边，的中点，沿将折起，得到四棱锥，平面平面.（Ⅰ）过点的平面平面，平面与棱锥的面相交，在图中画出交线；设平面与棱交于点，写出的值（不必说出画法和求值理由）；（Ⅱ）求证：平面平面.20．已知点，，直线，的斜率乘积为，点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线交轴于，交曲线于，两点，是否存在使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21．已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间（Ⅱ）若在上有且仅有一个极小值点，求的取值范围.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线交曲线于，两点，交曲线于，两点，求的长．23．已知（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）设的最大值为，如果正实数，满足，求的最小值. 
参考答案1．A【分析】由题设，列举法写出集合，根据所得集合，加总所有元素即可.【详解】由题设知：，∴所有元素之和.故选：A.2．C【分析】由复数的相等，结合复数的除法运算求复数，进而求.【详解】由，∴.故选：C.3．A【分析】易知，“盈”的面积等于“虚”的面积，从而三角形面积等于矩形面积，而“虚”占矩形面积的百分数即“盈”占三角形的百分数.【详解】易知，“盈”的面积等于“虚”的面积，从而三角形面积等于矩形面积，而“虚”占矩形面积的百分数即“盈”占三角形的百分数.“盈”与“虚”的交界点在三角形腰的中点上，易知，“虚”占矩形面积的四分之一，故“盈”占三角形面积的四分之一.故选：A.4．C【分析】利用指对数的性质，比较指对数式的大小.【详解】，∴.故选：C.5．C【分析】①应用反证法，假设，，三条直线不共面证明矛盾结论即可；②利用线面垂直的性质及平行的推论证明结论；③利用平面的基本性质，结合线面平行的性质、平行的推论证明结论；④根据平面基本性质判断正误即可.【详解】①若，，三条直线不共面，由平行的直线，与直线相交，即，、共面，而，平行，则、不可能相交，与题设矛盾，正确；②面，若面且，又面即，则，正确；③过直线作面，若面面，面面，而面，则有面，，又面面，即，所以，正确；④垂直于同一平面的两个平面不一定平行，错误；故选：C.6．C【分析】由题设可得，由结合已知，得到齐次方程求a、b的数量关系，写出渐近线方程即可.【详解】由题设，，由轴，知，∴，又，∴，得，又，得，∴，又渐近线方程为，即等价于.故选：C.7．B【分析】根据程序输出结果，列出执行步骤及各步的结果，直到出现时，由k的值确定判断框的条件即可.【详解】由程序流程的输出结果，知：1、：执行循环，；2、：执行循环，；3、：执行循环，；4、：执行循环，；由题设输出结果为，故第5步输出结果，此时.故选：B.8．A【分析】由，得对称轴方程为，根据奇偶性得时， ，再设时，可得答案.【详解】是定义域为的，所以，因为，所以的一条对称轴方程为，当时，，所以当时，，所以，则时，，所以，即.故选：A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和对称性的应用，关键点是根据奇偶性和对称性求出相应段函数的解析式，考查了学生分析问题、解决问题的能力.9．C【分析】利用三角函数的平移变换原则以及正弦函数的中心对称点求出，再由正弦函数的单调性即可求解.【详解】的图象向右平移个长度单位可得，因为是此函数的对称中心点，则，解得，，又因为，所以当时，，所以，因为，则，所以，所以在上的最小值为.故选：C10．D【分析】根据向量关系可得，即为等边三角形，由此可得圆心到直线距离为，建立方程求得结果.【详解】由得：，又为圆的圆心，则，所以，所以，即，所以，所以为等边三角形，则到直线的距离为：，即    ，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的相关问题，关键是能够利用向量的关系得到向量间的夹角，从而能将问题转化为点到直线的距离问题.11．D【分析】令圆、圆半径分别为，由已知条件求，根据圆和圆的垂直关系求球的半径，进而求球体的表面积.【详解】令圆、圆半径分别为，由，，，∴，，且到圆的距离，∴若球的半径为R，则，即球的表面积.故选：D.12．D【分析】令，得到关于t的函数式，进而可得关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值.【详解】令，则，，∴，，即，若，则，∴，有，当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴，即的最小值为.故选：D.【点睛】关键点点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.13．【分析】利用诱导公式，将转化为，然后利用两角和的正弦公式化简求出结果.【详解】解： ，故答案为．【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查两角和的正弦公式，属于基础题.14．145【分析】根据系统抽样的特征，结合茎叶图及题设条件，可确定抽取人员的间距，即可知第5人的跳绳个数.【详解】有系统抽样知：在35人中抽7人，第一人跳绳个数为133，∴后续第二人开始，抽取人员的跳绳个数分别为138、141、143、145、148、153.∴第5个人跳绳个数为145.故答案为：145.15．4【分析】根据面积求得的值，结合余弦定理解出的值.【详解】由 ，又，解得，由余弦定理知，.故答案为：4.16．甲、乙、丙【分析】在曲线上任取一点，验证点也在曲线上，可判断甲的正误；在曲线上任取一点，验证点也在曲线上，可判断乙的正误；比较曲线与直线与坐标轴在第一象限围成的图形面积的大小，可判断丙的正误；曲线与圆与坐标轴在第一象限围成的图形面积的大小，可判断丁的正误.【详解】对于甲的回答，在曲线上任取一点，则，点关于直线的对称点为，且，所以，曲线关于对称，甲的回答正确；对于乙的回答，在曲线上任取一点，则，点关于原点的对称点为，则，所以，曲线关于原点对称，乙的回答正确；对于丙的回答，对于等式，，可得，同理可得，当时，，当时，，在曲线上任取一点，则，即点在直线的下方，如下图所示：直线交轴于点，交轴于点，所以，，丙的回答正确；对于丁的回答，在曲线上任取一点，因为，，则，，则，即点在圆外，如下图所示：圆在第一象限内与两坐标轴围成的区域的面积为，所以，，丁的回答错误.故答案为：甲、乙、丙.【点睛】关键点点睛：本题考查利用曲线方程研究曲线的几何性质，在判断曲线、的对称性时，充分利用对称性的定义取点加以验证，在判断曲线与坐标轴围成的区域面积时，要注意找一些特殊的图形，观察图形与图形的位置关系，数形结合加以判断.17．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（1）利用基本量代换，列方程组求出和公比q，得到通项公式；（2）用累加法求出，再用裂项相消法求和.【详解】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，前项和为.则，整理得，解得：（舍）或，由，解得：.（Ⅱ）时，.即，.……累加得：，，经检验，当时，符合上式，.，则，即证.【点睛】（1）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求通项公式；（2）数列求和常用方法：①公式法； ②倒序相加法；③裂项相消法； ④错位相减法．18．（Ⅰ）75，52；（Ⅱ）0.8186；（Ⅲ）没有.【分析】（Ⅰ）根据频率分布表数据，直接计算求均值和方差即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即可求，又，结合正态分布的对称性及已知信息求值即可；（Ⅲ）根据频率分布表得到列联表，应用卡方检验公式求k值，比照参考值确定是否有99%的把握认为居民是否满意与性别有关.【详解】（Ⅰ）由频率分布表可知：，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，则，.为0.8186（Ⅲ）由已知条件可得：列联表如下： 满意不满意合计男性8515100女性8020100合计16535200，，没有99%的把握认为是否满意与性别有关.19．（Ⅰ）图形见解析，1；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）过作交于，由中位线性质证为平行四边形即可知为的中点，由平面平面，过作交于，即知为的中点，即可得.（Ⅱ）由题设易证，，两两互相垂直，构建以为原点，分别以射线，、的方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，并确定，，，进而求面，面的法向量，根据法向量的夹角即可证面面.【详解】（Ⅰ）过作交于，由，分别为边，的中点，即，∴为平行四边形，则为的中点，再过作交于，∴在△中，为中位线，即为的中点，所得平面即为平面，如下图示，∴由上，知：.（Ⅱ）由题设知：，面面，面面，，面，面，又，面，，，又，，，三条棱两两互相垂直.以为原点，分别以射线，、的方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面，平面的法向量分别为，，，即，取，则，，即，取，则，，平面平面.【点睛】关键点点睛：第二问，根据面面垂直的性质证线面垂直，进而确定线线垂直，进而构建空间直角坐标系，求出所证平面的法向量，根据法向量的夹角判断平面的关系.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.【分析】（Ⅰ）设设点坐标为，根据题意得计算斜率之积即可得：（Ⅱ）设，，设直线为，与曲线C联立方程并结合弦长公式得：，再令即可得答案.【详解】（Ⅰ）设点坐标为，则   ，曲线的方程为（Ⅱ）设，，设直线为代入得所以由弦长公式得：所以为定值，则，，【点睛】本题考查曲线的轨迹方程求解，弦长公式，定值问题，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于设设直线为,进而结合弦长公式得：.21．（Ⅰ）增区间是，减区间是；（Ⅱ）.【分析】（1）应用二阶导数证明单调递增，令，进而研究的单调区间；（2）由的导函数知、函数在区间内单调，不存在无极值点，而当，构造，利用导数研究其单调性，进而确定的单调性并判断零点的情况，即可求a的范围.【详解】（1）由题设，当，有，，在上递增，当，，递减，当，，递增，增区间是，减区间是（2）当，，①当时，由（1）知，在递增，无极值点，②由（1）知：a = 2时，f(x)在 x > 0上单调增，无极值点，
 ③当时，令，则，当时，，，即递减，，即；当，，，即递增，(下证引理：)：令，则，当，，递增；当，，递减.而，所以，证毕.，又，在上有唯一零点，当，，有，即递减；当，，有，递增；有唯一极小值点综上所述，的取值范围是.【点睛】关键点点睛：（1）利用导数研究函数的单调区间即可；（2）应用分类讨论思想，并构造函数，结合其导数研究单调性，进而判断原函数的的单调性及对应单调区间，结合零点存在性定理求参数范围.22．（Ⅰ）曲线的极坐标方程为：；的直角坐标方程为：；（Ⅱ）【分析】（I）消去参数，即可得到曲线的直角坐标方程，结合，即可得到曲线的极坐标方程．（II）计算直线l的直角坐标方程和极坐标方程，计算长，即可．【详解】解法一：（Ⅰ）曲线：（为参数）可化为直角坐标方程：，即，可得，所以曲线的极坐标方程为：.曲线：，即，则的直角坐标方程为：.（Ⅱ）直线的直角坐标方程为，所以的极坐标方程为.联立，得，联立，得，.解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）直线的直角坐标方程为，联立，解得，联立，解得，所以.【点睛】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等.23．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用零点分解法解不等式即可.（Ⅱ）去绝对值，写出分段函数的解析式，根据函数的单调性求出函数的最大值，从而可得，再利用基本不等式即可求解.【详解】解：（Ⅰ）①当时，，，，②当时，，；③当时，，综上知不等式的解集为.（Ⅱ）由已知，，在是增函数，所以，，，则.当且仅当，即，即，时，取得最小值.