2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习01(含答案详解)

这是一份2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习01(含答案详解)，共6页。试卷主要包含了23万人次，实现旅游收入48等内容，欢迎下载使用。
在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且.
（1）求C的值；
（2）若，求b的大小.
据统计，国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%．旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高．已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
（1）求a,b的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高．
（2）若导游的奖金y（单位：万元），与其一年内旅游总收入 SKIPIF 1 < 0 （单位：百万元）之间的关系为 SKIPIF 1 < 0 ，求甲公司导游的年平均奖金；
（3）从甲、乙两家公司旅游收入在 SKIPIF 1 < 0 的总人数中，随机的抽取3人进行表彰，设来自乙公司的人数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列及数学期望．
如图，在三棱柱ABC­DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=eq \f(π,3)，BC=eq \f(\r(21),2).
四棱锥F­ABED的体积为2，点F在平面ABED内的正投影为点G，且点G在AE上，
点M在线段CF上，且CM=eq \f(1,4)CF.
(1)证明：直线GM∥平面DEF；
(2)求二面角M­AB­F的余弦值.
已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上焦点．
问：是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=ex－1－x－ax2.
(1)当a=0时，求证：f(x)≥0；
(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若x＞0，证明(ex－1)ln(x＋1)＞x2.
\s 0 参考答案
解：（1）在中，由已知得，
利用正弦定理，得，
∴，
又，∴，
∵，∴；
（2）在中， ，
，，
∴.
解：（1）由直方图知： SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
由频数分布表知： SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 甲公司的导游优秀率为： SKIPIF 1 < 0 ；
乙公司的导游优秀率为： SKIPIF 1 < 0 ；
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以甲公司的影响度高．
（2）甲公司年旅游总收入 SKIPIF 1 < 0 的人数为 SKIPIF 1 < 0 人；
年旅游总收入 SKIPIF 1 < 0 的人数为 SKIPIF 1 < 0 人；
年旅游总收入 SKIPIF 1 < 0 的人数为 SKIPIF 1 < 0 人；
故甲公司导游的年平均奖金 SKIPIF 1 < 0 （万元）．
（3）由已知得，年旅游总收入在 SKIPIF 1 < 0 的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．
故 SKIPIF 1 < 0 的可能取值为0，1，2，3易知：
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的分布列为：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的数学期望为： SKIPIF 1 < 0 ．
解：(1)证明：因为四棱锥F­ABED的体积为2，
所以VF­ABED=eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×2×2×FG=2，所以FG=eq \r(3).
又BC=EF=eq \f(\r(21),2)，所以EG=eq \f(3,2)，
易知AE=2，则点G是AE的靠近点A的四等分点.
过点G作GK∥AD交DE于点K，连接FK，则GK=eq \f(3,4)AD=eq \f(3,4)CF.
又MF=eq \f(3,4)CF，所以MF=GK，又MF∥GK，
所以四边形MFKG为平行四边形，
所以GM∥FK，又FK⊂平面DEF，GM⊄平面DEF，
所以直线GM∥平面DEF.
(2)连接BD，设AE，BD的交点为O，以OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，
过点O的平面ABED的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0，－1,0)，B(eq \r(3)，0,0)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，\r(3)))，
Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),4)，－\f(5,4)，\r(3)))，eq \(BA,\s\up11(→))=(－eq \r(3)，－1,0)，eq \(BM,\s\up11(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),4)，－\f(5,4)，\r(3)))，eq \(BF,\s\up11(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3)，－\f(1,2)，\r(3))).
设平面ABM，平面ABF的法向量分别为m=(x1，y1，z1)，n=(x2，y2，z2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(BA,\s\up11(→))＝0，,m·\(BM,\s\up11(→))＝0，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BA,\s\up11(→))＝0，,n·\(BF,\s\up11(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＝－\r(3)x1，,z1＝－x1，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝－\r(3)x2，,z2＝\f(1,2)x2，))
不妨取x1=x2=1，则m=(1，－eq \r(3)，－1)，n=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\r(3)，\f(1,2)))，
所以cs〈m，n〉=eq \f(m·n,|m||n|)=eq \f(7\r(85),85)，易知二面角M­AB­F是锐二面角，
故二面角M­AB­F的余弦值为eq \f(7\r(85),85).
解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题可知 SKIPIF 1 < 0 的斜率一定存在，设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ……④，
将④代入②解得 SKIPIF 1 < 0 ……⑤
将④代入③得 SKIPIF 1 < 0 ……⑥
将⑤代入⑥解得 SKIPIF 1 < 0 ……⑦
将⑦式代入①式检验成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即存在直线 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 合题意．
解：(1)当a=0时，f(x)=ex－1－x，f′(x)=ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
f(x)min=f(0)=0，∴f(x)≥0.
(2)f′(x)=ex－1－2ax，令h(x)=ex－1－2ax，则h′(x)=ex－2a.
①当2a≤1时，在[0，＋∞)上，h′(x)≥0，h(x)单调递增，h(x)≥h(0)，
即f′(x)≥f′(0)=0，
∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)≥f(0)=0，
∴当a≤eq \f(1,2)时满足条件．
②当2a＞1时，令h′(x)=0，解得x=ln 2a，在[0，ln 2a)上，
h′(x)＜0，h(x)单调递减，
∴当x∈(0，ln 2a)时，有h(x)＜h(0)=0，即f′(x)＜f′(0)=0，
∴f(x)在区间(0，ln 2a)上为减函数，∴f(x)＜f(0)=0，不合题意．
综上，实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))).
(3)证明：由(2)得，当a=eq \f(1,2)，x＞0时，ex＞1＋x＋eq \f(x2,2)，即ex－1＞x＋eq \f(x2,2)，
欲证不等式(ex－1)ln(x＋1)＞x2，只需证ln(x＋1)＞eq \f(2x,x＋2).
设F(x)=ln(x＋1)－eq \f(2x,x＋2)，则F′(x)=eq \f(1,x＋1)－ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
∵当x＞0时，F′(x)＞0恒成立，且F(0)=0，
∴F(x)＞0恒成立．
∴原不等式得证．