2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习02(含答案详解)

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在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cs=,·=3.
(1)求△ABC的面积.
(2)若c=1,求a的值.
某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.
如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，在底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是A1B1，A1A的中点.
(1)求eq \(BN,\s\up16(→))的模；
(2)求cs〈eq \(BA1,\s\up16(→))，eq \(CB1,\s\up16(→))〉的值；
(3)求证：A1B⊥C1M.
已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，-1）．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.
求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
已知函数f(x)=eq \f(a,x)－eq \f(1,x2)－b＋ln x(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若a=3，函数f(x)有3个零点，求实数b的取值范围．
\s 0 参考答案
解：(1)cs A=2cs2-1=2×-1=,
又A∈(0,π),sin A==,
而·=||·||·cs A=bc=3,所以bc=5,
所以△ABC的面积为: bcsin A=×5×=2.
(2)由(1)知bc=5,而c=1,所以b=5,
所以a===2.
解:(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A,
则P(A)=××=.
(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.
又P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××1=,
所以X的分布列为
所以E(X)=1×+2×+3×=.
解：(1)如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.
由题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
所以|eq \(BN,\s\up16(→))|=eq \r(1－02＋0－12＋1－02)=eq \r(3).
(2)由题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
所以eq \(BA1,\s\up16(→))=(1，－1,2)，eq \(CB1,\s\up16(→))=(0,1,2)，eq \(BA1,\s\up16(→))·eq \(CB1,\s\up16(→))=3，|eq \(BA1,\s\up16(→))|=eq \r(6)，|eq \(CB1,\s\up16(→))|=eq \r(5)，
所以cs〈eq \(BA1,\s\up16(→))，eq \(CB1,\s\up16(→))〉=eq \f(\(BA1,\s\up16(→))·\(CB1,\s\up16(→)),|\(BA1,\s\up16(→))||\(CB1,\s\up16(→))|)=eq \f(\r(30),10).
(3)证明：由题意得C1(0,0,2)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，2))，
eq \(A1B,\s\up16(→))=(－1,1，－2)，eq \(C1M,\s\up16(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，所以eq \(A1B,\s\up16(→))·eq \(C1M,\s\up16(→))=－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＋0=0，
所以eq \(A1B,\s\up16(→))⊥eq \(C1M,\s\up16(→))，即A1B⊥C1M.
解：(1)将点代入抛物线方程：可得：，
故抛物线方程为：，其准线方程为：.
(2)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，
设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.
故：.
设，则，
直线的方程为，与联立可得：，同理可得，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，
且：，，
则圆的方程为：，
令整理可得：，解得：，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=－eq \f(a,x2)＋eq \f(2,x3)＋eq \f(1,x).
由题意可得f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即－eq \f(a,x2)＋eq \f(2,x3)＋eq \f(1,x)≥0，所以eq \f(a,x2)≤eq \f(2,x3)＋eq \f(1,x)，
因为x＞0，所以x2＞0，故a≤eq \f(2,x)＋x.
由基本不等式可得eq \f(2,x)＋x≥2eq \r(2)(当且仅当eq \f(2,x)=x，即x=eq \r(2)时等号成立)，
故实数a的取值范围为(－∞，2eq \r(2)]．
(2)当a=3时，f(x)=eq \f(3,x)－eq \f(1,x2)－b＋ln x，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)=－eq \f(3,x2)＋eq \f(2,x3)＋eq \f(1,x)=eq \f(x2－3x＋2,x3)=eq \f(x－1x－2,x3).
由f′(x)=0，解得x1=1，x2=2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
故函数f(x)的极大值为f(1)=3－1－b＋ln 1=2－b，
极小值为f(2)=eq \f(3,2)－eq \f(1,22)－b＋ln 2=eq \f(5,4)－b＋ln 2.
要使函数f(x)有3个零点，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－b＞0，,\f(5,4)－b＋ln 2＜0，))解得eq \f(5,4)＋ln 2＜b＜2.
故实数b的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)＋ln 2，2)).