2021届山西省太原市高三下学期3月摸底考试（一模） 数学（理） （含答案）

这是一份2021届山西省太原市高三下学期3月摸底考试（一模） 数学（理） （含答案），共10页。

数学试卷(理科)
(考试时间：下午3：00－5：00)
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷1至4页，第II卷5至8页。
2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名考试编号填写在答题卡上。
3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4.回答第II卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x||x|<1}，B＝{x|2x<1}，则A∩B＝
A.(－1，0) B.(－∞，1) C.(－1，1) D.(0，1)
2.已知复数z满足＝i，则复数z＝
A.1－i B.1＋i C.－1－i D.－1＋i
3.公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2＋b＝4，则＝
A. B.2 C. D.4
4.函数f(x)＝的部分图象大致是
5.在区间[－1，1]上任取一个实数k，则使得直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点的概率是
A. B. C. D.
6.已知梯形ABCD中，AB//DC，且AB＝2DC，点P在线段BC上，若，则实数λ＝
A. B. C. D.
7.已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，给出以下结论：①{an＋Sn}是等差数列；②{an·Sn}是等比数列；③{an2}是等差数列；④是等比数列，则其中正确结论的个数为
A.4 B.3 C.2 D.1
8.已知实数x，y满足，若不等式x＋my＋1≤0恒成立，则实数m的取值范围是
A.(0，] B.[－4，－] C.(－∞，－] D.(－∞，－4]
9.已知a＝2ln3π，b＝3ln2π，c＝2lnπ3，则下列结论正确的是
A.b10.已知三棱锥A－BCD中，AB＝BC＝BD＝CD＝AD＝4，二面角A－BD－C的余弦值为，点E在棱AB上，且BE＝3AE，过E作三棱锥A－BCD外接球的截面，则所作截面面积的最小值为
A. B.3π C. D.
11.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F(，0)的直线与该抛物线相交于A，B两点，点M是线段AB的中点，以AB为直径的圆与y轴相交于P，Q两点，若，则sin∠MPQ＝
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的图象关于x＝－对称，f()＝0，f(x)在[，]上单调递增，则ω的所有取值的个数是
A.3 B.4 C.1 D.2
太原市2021年高三年级模拟考试(－～)
数学试卷(理科)
第II卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。试题中包含两空的，答对第一空的给3分，全部答对的给5分。
13.函数f(x)＝(x＋2)e－x的图象在点(0，f(0))处的切线方程为 。
14.在(1－x)＋(1－x)2＋(1－x)3＋(1－x)4＋(1－x)5＋(1－x)6的展开式中，x3的系数为 。
15.已知数列{an}满足a1＝a2＝，an＋2＝an＋2×3n(n∈N*)，且bn＝an＋an＋1(n∈N*)，则数列{bn}的通项公式为 ，若bncn＝(n∈N*)，则数列{cn}的前n项和为 。
16.已知椭圆C：的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若∠MFN＝，则椭圆C的离心率是 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(本小题满分12分)
已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，3csinA＝4bsinC，再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题：
(I)证明：△ABC为等腰三角形；
(II)若△ABC的面积为2，点D在线段AB上，且BD＝2DA，求CD的长。
条件①：csC＝；条件②：csA＝。
[注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。]
18.(本小题满分12分)
某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平。为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，下表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表。
(I)已知甲是此次调查时满意度为“满意”的报团游游客，由上表中的数据分析，甲最有可能是老年人、中年人和青年人这三种人群中的哪一类人群？
(II)为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，随机抽取3人征集整改建议，记X表示这3人中老年人的人数，求X的分布列和期望。
(III)若你朋友要到该地区旅游，根据上表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
19.(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P－ABC中，△PAB是正三角形，G是△PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF＝3FC。
(I)求证：平面DFH//平面PGE；
(II)若PB⊥AC，AB＝AC＝2，BC＝2，求二面角A－PC－B的余弦值。
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e＝，点P是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为。
(I)求椭圆C的标准方程；
(II)直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：为定值。
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ex＋csx－ax－2(a∈R)。
(I)设g(x)＝f(x)＋ax，求g'(x)在[0，＋∞)上的最小值；
(II)若不等式xf(x)≥0在[－，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(本小题满分10分)(选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cs(θ＋)＝0。
(I)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(II)已知点P(3，)，曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求||PA|－|PB||的值。
23.(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|x＋|＋|x－m|(m>0)。
(I)当m＝1时，求函数f(x)的最小值；
(II)若存在x∈(0，1)，使得不等式f(x)≤3成立，求实数m的取值范围。