江苏省淮安市2020-2021学年高二上学期期末数学试卷 （解析版）

这是一份江苏省淮安市2020-2021学年高二上学期期末数学试卷 （解析版），共22页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省淮安市高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．命题“∀x∈[2，+∞），x2≥4”的否定是（　　）
A．∀x∈[2，+∞），x2＜4 B．∀x∈（﹣∞，2），x2≥4
C．∃x0∈[2，+∞），x02＜4 D．∃x0∈[2，+∞），x02≥4
2．“a＞1“是“＜1”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
3．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（　　）
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b
4．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为＝（1，2，﹣4），若直线l与平面α平行，则实数x的值为（　　）
A． B．﹣10 C． D．10
5．已知一个直角三角形的边长分别为3，4，5，若以斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的体积等于（　　）
A．12π B．16π C． D．
6．等差数列{an}的公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，且a1+a4＝﹣4，则{an}前6项的和为（　　）
A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8
7．不等式的解集是（　　）
A．（0，2） B．（2，+∞）
C．（2，4] D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
8．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A．B．C．D，满足任意两点间的直线距离为6cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为1g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（　　）
【参考数据】π≈3.14，，，．
A．101g B．182g C．519g D．731g
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是（　　）
A． B． C． D．
10．若，则下列不等式正确的是（　　）
A．|a|＞|b| B．a＜b C．a+b＜ab D．a3＞b3
11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝，则下列结论中正确的是（　　）

A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．△AEF的面积与△BEF的面积相等
D．三棱锥E﹣ABF的体积为定值
12．设{an}是无穷数列，若存在正整数k（k≥2），使得对任意n∈N*，均有an+k＞an，则称{an}是“间隔递增数列”，k是{an}的“间隔数”，下列说法正确的是（　　）
A．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列”
B．若，则{an}是“间隔递增数列”
C．若，则{an}是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r
D．已知，若{an}是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则﹣5＜t≤﹣4
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．设正数a，b满足a+2b＝1，则的最小值为　 　．
14．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则数列{an}前5项的和为　 　．
15．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．已知集合和集合B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为　 　．
16．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则p＝　 　，的最小值为　 　．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数f（x）＝mx2+x+m（m∈R）．
（1）若∃x∈R，f（x）＝0，求实数m的取值范围；
（2）当时，解关于x的不等式f（x）＞0．
18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点M（﹣1，0）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．
19．从条件①2Sn＝（n+1）an，②（n≥2），③an＞0，an2+an＝2Sn，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，_____．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．
20．淮安有轨电车是服务于淮安市的城市轨道交通，一期工程于2014年2月19日开工建设，2015年12月28日正式通车，是全国第七座、江苏第三座开通有轨电车的城市．淮安有轨电车一期工程线路西起市体育馆，沿交通路至大运河广场北侧，经和平路至水渡口广场，向南沿翔宇大道、楚州大道至淮安区马甸连接线，全长20.07公里，共设车站23个．淮安有轨电车一期工程使用超级电容，利用停站时的30秒钟就可把电车上的电池充满，刹车时产生的80%的动能被回收并转化成电能，节能效果最好．正是采用超级电容供电，淮安有轨电车才会成为目前全球最长的无接触网现代有轨电车线路，且有轨电车的高效运行给市民出行带来很大便利．
已知淮安有轨电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤10．经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当8≤t≤10时电车为满载状态，载客量为200人；当2≤t＜8时载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为72人．记电车载客量为f（t）．
（1）求f（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车的时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°且AC＝a，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1，A1B1的中点．
（1）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积（用字母a表示）；
（2）若点E在平面ABD上的射影是三角形ABD的重心G，
①求直线EB与平面ABD所成角的余弦值；
②求点A1到平面ABD的距离．

22．已知椭圆的离心率为，且过点，设M、F分别是椭圆E的左、右焦点．
（1）是椭圆E的标准方程；
（2）若椭圆E上至少有个不同11的点Pi（i＝1，2，3，…），使得FP1，FP2，FP3，…组成公差为d的等差数列，求公差d的取值范围；
（3）若过右焦点F的直线交椭圆E于A，B两点，过左焦点M的直线交椭圆E于C，D两点，且AB⊥CD，求AB+CD的最小值．


参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“∀x∈[2，+∞），x2≥4”的否定是（　　）
A．∀x∈[2，+∞），x2＜4 B．∀x∈（﹣∞，2），x2≥4
C．∃x0∈[2，+∞），x02＜4 D．∃x0∈[2，+∞），x02≥4
解：命题为全称命题，则命题“∀x∈[2，+∞），x2≥4”的否定是：∃x0∈[2，+∞），x02＜4，
故选：C．
2．“a＞1“是“＜1”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
解：当a＞1时，＜1成立，即充分性成立，
当a＝﹣1时，满足＜1，但a＞1不成立，即必要性不成立，
则“a＞1“是“＜1“的充分不必要条件，
故选：A．
3．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（　　）
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b
解：由题意，，得，则，
∴4a2﹣4b2＝a2，即3a2＝4b2．
故选：B．
4．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为＝（1，2，﹣4），若直线l与平面α平行，则实数x的值为（　　）
A． B．﹣10 C． D．10
解：因为直线l的方向向量为，
平面α的法向量为＝（1，2，﹣4），且直线l与平面α平行，
所以，则，
所以x＝10．
故选：D．
5．已知一个直角三角形的边长分别为3，4，5，若以斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的体积等于（　　）
A．12π B．16π C． D．
解：由题意，所得的几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，如图所示，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，
所以，
解得，
故圆柱底面面积为，
又上面圆锥的体积为，
下面圆锥的体积为，
所以几何体的体积为．
故选：C．

6．等差数列{an}的公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，且a1+a4＝﹣4，则{an}前6项的和为（　　）
A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8
解：设{an}的公差为d（d≠0），
由a2，a3，a6成等比数列可得，
得，化为2a1+d＝0，
又2a1+3d＝﹣4，
所以a1＝1，d＝﹣2，
．
故选：A．
7．不等式的解集是（　　）
A．（0，2） B．（2，+∞）
C．（2，4] D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
解：由题意x≥0，且4x﹣x2≥0，
解可得0≤x≤4，
将两边同时平方可得：4x﹣x2＜x2，
即2x2﹣4x＞0，
解可得x＞2或x＜0，
又由0≤x≤4，
故其解集为2＜x≤4，即（2，4]；
故选：C．
8．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A．B．C．D，满足任意两点间的直线距离为6cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为1g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（　　）
【参考数据】π≈3.14，，，．
A．101g B．182g C．519g D．731g
解：由题意可知以A，B，C，D为顶点构成正四面体，设正四面体的棱长为a，
则正四面体的高为a，其外接球的半径为a，
则3D打印的体积为V＝＝，
因为a＝6，所以a3＝216，所以V＝27≈207.711﹣25.38≈182，
故选：B．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是（　　）
A． B． C． D．
解：对于A，曲线方程是：，其渐近线方程为y＝±2x，故A正确；
对于B，曲线方程是：，其渐近线方程是y＝±x，故B错误；
对于C，曲线方程是：，其渐近线方程是y＝±2x，故C正确；
对于D，曲线方程是：，其渐近线方程是y＝±x，故D错误，
故选：AC．
10．若，则下列不等式正确的是（　　）
A．|a|＞|b| B．a＜b C．a+b＜ab D．a3＞b3
解：由已知若可得：b＜a＜0，故B错误，
则|a|＜|b|，A错误，而a+b＜0，ab＞0，所以a+b＜ab，C正确，
因为a＞b，所以a3＞b3，D正确，
故选：CD．
11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝，则下列结论中正确的是（　　）

A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．△AEF的面积与△BEF的面积相等
D．三棱锥E﹣ABF的体积为定值
解：由正方体的结构特征可知，DD1⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，则D1D⊥AC，
又ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵D1D∩BD＝D，且D1D、BD⊂平面DD1B1B，∴AC⊥平面DD1B1B，
∵BE⊂平面DD1B1B，∴AC⊥BE，故A正确；
∵B1D1∥BD，BD⊂平面ABCD，B1D1⊄平面ABCD，
∴BD∥平面ABCD，而EF在B1D1上，∴EF∥平面ABCD，故B正确；
点B到EF的距离为正方体的棱长，A到EF的距离大于棱长，则△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故C错误；
如图所示，连接BD，交AC于O，则AO为三棱锥A﹣BEF的高，
•EF•BB1＝××1＝，＝×＝，
则为定值，故D正确．
故选：ABD．

12．设{an}是无穷数列，若存在正整数k（k≥2），使得对任意n∈N*，均有an+k＞an，则称{an}是“间隔递增数列”，k是{an}的“间隔数”，下列说法正确的是（　　）
A．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列”
B．若，则{an}是“间隔递增数列”
C．若，则{an}是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r
D．已知，若{an}是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则﹣5＜t≤﹣4
解：选项A中，设等比数列{an}的公比是q（q＞1），
则an+k﹣an＝，
其中qk＞1，即qn﹣1（qk﹣1）＞0，
若a1＜0，则an+k﹣an＜0，即an+k＜an，不符合定义，
故选项A错误；
选项B中，，
故an+k﹣an＝[2（n+k）+（﹣1）n+k]﹣[2n+（﹣1）n]＝2k+（﹣1）n[（﹣1）k﹣1]，
当n为奇数时，an+k﹣an＝2k﹣（﹣1）k+1，则存在k≥1时，an+k﹣an＞0成立，即对任意n∈N*，均有an+k＞an，符合定义；
当n为偶数时，an+k﹣an＝2k+（﹣1）k﹣1，则存在k≥2时，an+k﹣an＞0成立，即对任意n∈N*，均有an+k＞an，符合定义；
综上所述，存在k≥2时，对任意n∈N*，均有an+k＞an，符合定义，
故选项B正确；
选项C中，，
故an+k﹣an＝＝，
令f（n）＝n2+kn﹣r，图象开口向上，对称轴为＜0，
故f（n）在n∈N*时单调递增，
令最小值f（1）＝1+k﹣r＞0，解得k＞r﹣1，
又k∈N*，k≥2，r∈N*，r≥2，
故存在k≥r时，an+k﹣an＞0成立，即对任意n∈N*，均有an+k＞an，符合定义，“间隔数”的最小值为r，
故选项C正确；
选项D中，因为，是“间隔递增数列”，
则an+k﹣an＝[（n+k）2+t（n+k）+2021]﹣（n2+tn+2021）＝2kn+k2+tk＞0，即k+2n+t＞0对任意n∈N*成立，
设g（n）＝k+2n+t，显然在n∈N*上g（n）单调递增，
故要使g（n）＞0，只需g（1）＝k+2+t＞0成立，即﹣2﹣t＜k，
又“间隔数”的最小值为3，故存在k≥3，使﹣2﹣t＜k成立，且存在k≤2，使﹣2﹣t≥k成立，
故﹣2﹣t＜3且﹣2﹣t≥2，解得﹣5＜t≤4，
故选项D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．设正数a，b满足a+2b＝1，则的最小值为　3+2　．
解：∵正数a，b满足a+2b＝1，可得＝（a+2b）（）＝3++
≥3+2＝3+2，当且仅当a＝b，a+2b＝1时即：a＝，b＝1取等号．
因此的最小值为：3+2．
故答案为：．
14．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则数列{an}前5项的和为　　．
解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若a2＝2，a5＝，则q＝＝＝，所以a1＝＝4，
所以{an}前5项的和S5＝＝，
故答案为：．
15．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．已知集合和集合B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为　（1，2）　．
解：集合＝{x|﹣t＜x＜t，t＞0}，
集合B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，
∵集合A，B构成“偏食”，
∴或，
解得1＜t＜2．
∴实数t的取值范围为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
16．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则p＝　2　，的最小值为　﹣6　．
解：抛物线的焦点坐标为（，0），
∵焦点为F（1，0），∴＝1，得p＝2，
即抛物线方程为y2＝4x，
当AB⊥x轴时，x＝1，此时y2＝4，y＝±2，即A（1，2），B（1，﹣2），则AF＝BF＝2，
＝＝﹣4，
当AB不垂直x轴时，设斜率为k，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则AB：y＝k（x﹣1），
代入y2＝4x得k2（x﹣1）2＝4x，
即k2x2﹣2k2x+k2＝4x，即k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
则x1+x2＝，x1x2＝1，
则AF＝AM＝x1+1，BF＝BN＝x2+1，
+＝＝＝＝＝＝1，
则＝1﹣，
则＝﹣9（1﹣）＝+﹣9≥2﹣9＝2×﹣9＝3﹣9＝﹣6，
当且仅当＝，即AF＝6时，取等号，
故的最小值为﹣6，

四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数f（x）＝mx2+x+m（m∈R）．
（1）若∃x∈R，f（x）＝0，求实数m的取值范围；
（2）当时，解关于x的不等式f（x）＞0．
解：（1）由题意可得方程mx2+x+m＝0在R上有解，
当m＝0时，解得x＝0成立，
当m≠0时，要使方程有解，只需△＝1﹣4m2≥0，解得﹣且m≠0，
综上，实数m的取值范围为[﹣]，
（2）当m＝时，f（x）＞0化简为：x2+4x+1＞0，
解得x＜﹣2﹣或x＞﹣2+，
故不等式的解集为（﹣∞，﹣2﹣）∪（﹣2+，+∞）．
18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点M（﹣1，0）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．
解：（1）∵抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点M（﹣1，0），
∴﹣＝﹣1，解得p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x．
（2）过点M的直线l与抛物线C相切，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣1，
直线l：x＝﹣1和抛物线y2＝4x没有交点，不成立；
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y＝k（x+1），
联立，得k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，
△＝（2k2﹣4）2﹣4k2•k2＝16﹣16k2．
∵过点M的直线l与抛物线C相切，
∴△＝16﹣16k2＝0，解得k＝±1．
∴直线l的方程为y＝x+1或y＝﹣x﹣1，
即x﹣y+1＝0或x+y+1＝0．
19．从条件①2Sn＝（n+1）an，②（n≥2），③an＞0，an2+an＝2Sn，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，_____．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．
解：若选①：
（1）因为2Sn＝（n+1）an，
所以2Sn+1＝（n+2）an+1，
相减可得2an+1＝（n+2）an+1﹣（n+1）an，整理可得，
又，所以，
故an＝n；
（2）由（1）可得an＝n，则Sk+2＝，
因为a1，ak，Sk+2成等比数列，
所以，即，
又k∈N*，
所以k＝6．
若选择②：
（1）因为（n≥2），
变形可得，
因为Sn＞0，所以，
故数列是等差数列，首项，公差也为1，
所以，则，
当n≥2时，，
当n＝1时，a1＝1也适合上式，
故an＝2n﹣1；
（2）由（1）可知an＝2n﹣1，所以，
因为a1，ak，Sk+2成等比数列，
所以，即（2k﹣1）2＝（k+2）2，
又k∈N*，
所以k＝3．
若选③：
（1）因为an2+an＝2Sn，an＞0，
所以an+12+an+1＝2Sn+1，
相减可得an+12+an+1﹣an2﹣an＝2an+1，整理可得（an+1+an）（an+1﹣an﹣1）＝0，
因为an＞0，
所以an+1﹣an﹣1＝0，即an+1﹣an＝1，
所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以an＝n；
（2）由（1）可得an＝n，则Sk+2＝，
因为a1，ak，Sk+2成等比数列，
所以，即，
又k∈N*，
所以k＝6．
20．淮安有轨电车是服务于淮安市的城市轨道交通，一期工程于2014年2月19日开工建设，2015年12月28日正式通车，是全国第七座、江苏第三座开通有轨电车的城市．淮安有轨电车一期工程线路西起市体育馆，沿交通路至大运河广场北侧，经和平路至水渡口广场，向南沿翔宇大道、楚州大道至淮安区马甸连接线，全长20.07公里，共设车站23个．淮安有轨电车一期工程使用超级电容，利用停站时的30秒钟就可把电车上的电池充满，刹车时产生的80%的动能被回收并转化成电能，节能效果最好．正是采用超级电容供电，淮安有轨电车才会成为目前全球最长的无接触网现代有轨电车线路，且有轨电车的高效运行给市民出行带来很大便利．
已知淮安有轨电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤10．经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当8≤t≤10时电车为满载状态，载客量为200人；当2≤t＜8时载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为72人．记电车载客量为f（t）．
（1）求f（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车的时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
解：（1）设当发车时间为2≤t＜8时，减少的人数为k（10﹣t）2，
已知发车时间为2时，载客72人，减少了200﹣72＝128人，
所以128＝k（10﹣t）2，令t＝2，解得k＝2，
则当2≤t＜8时，载客数为200﹣2（10﹣t）2＝40t﹣2t2，
综上，f（t）＝，
当t＝6时，f（t）＝240﹣72＝168人，
当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量为168人，
（2）当8≤t≤10时，g（t）＝为单调递减函数，则当t＝8时，g（t）元，
当2≤t＜8时，g（t）＝200﹣10t﹣，
g′（t）＝﹣10+，当t＝4时，g′（t）＝0，
所以函数g（t）在[2，4]上单调递增，在[4，8）上单调递减，
所以当t＝4时，g（t）max＝140﹣40﹣40＝60元，
综上，当发车的时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为60元．
21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°且AC＝a，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1，A1B1的中点．
（1）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积（用字母a表示）；
（2）若点E在平面ABD上的射影是三角形ABD的重心G，
①求直线EB与平面ABD所成角的余弦值；
②求点A1到平面ABD的距离．

解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°且AC＝a，侧棱AA1＝2，
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为＝S△ABC•AA1＝＝a2．
（2）如图，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），D（0，0，1），A1（a，0，2），E（a，a，2），G（，，），
所以，
设平面ABD的法向量为，
则，即，
令x＝1，则y＝1，z＝a，
所以，
①G为E在△ABD上的投影，则EG⊥平面ABD，所以，
又，
所以，解得，
所以，
故，
则直线EB与平面ABD所成角的余弦值为；
②由①可知，，所以，又，
所以点A1到平面ABD的距离．

22．已知椭圆的离心率为，且过点，设M、F分别是椭圆E的左、右焦点．
（1）是椭圆E的标准方程；
（2）若椭圆E上至少有个不同11的点Pi（i＝1，2，3，…），使得FP1，FP2，FP3，…组成公差为d的等差数列，求公差d的取值范围；
（3）若过右焦点F的直线交椭圆E于A，B两点，过左焦点M的直线交椭圆E于C，D两点，且AB⊥CD，求AB+CD的最小值．
解：（1）根据题意可得，
解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆的方程为+＝1．
（2）由题知|PFi|min＝a﹣c＝1，|PFi|max＝a+c＝3，
因为椭圆E上至少有个不同11的点，设t为d的最值，
所以|a+10t﹣a|＝||PF1|﹣|PFn||＝||PFi|min﹣|PFi|max|，
所以|10t|＝2，解得t＝±，
所以d∈[﹣，]，
所以公差d的取值范围[﹣，]．
（3）当AB⊥MF时，|AB|+|CD|＝4+3＝7，
当AB∥MF时，AB与MF重合，|AB|+|CD|＝4+3＝7，
当AB不垂直于MF也不平行于MF时，
设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），直线CD为y＝﹣（x+1），
A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
所以x1+x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝＝＝，
同理可得|CD|＝，
所以+＝，
所以（|AB|+|CD|）（+）＝2++≥4（当且仅当|AB|＝|CD|时，取等号），
所以（|AB|+|CD|）×≥4，
所以|AB|+|CD|≥，
所以AB+CD的最小值为．