江苏省南通市如东县2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份江苏省南通市如东县2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南通市如东县高二（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．一物体做直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝t2+2t，则物体在t＝2时的瞬时速度为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．命题p：“3＜m＜4”是命题q：“曲线表示双曲线”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．抛物线y＝ax2的焦点是直线x+4y﹣1＝0与坐标轴的交点，则该抛物线的准线方程是（　　）
A． B．x＝﹣1 C． D．y＝﹣1
4．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少？”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．若函数在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）
A． B．[1，+∞） C．[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]
6．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥恒成立，则m的取值范围是（　　）
A． B．[1，+∞） C．（0，1] D．
7．在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a2，，，成公比为4的等比数列，则k3＝（　　）
A．84 B．86 C．88 D．96
8．已知函数f（x）＝lnx，若对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有[f（x1）﹣f（x2）]（x12﹣x22）＞k（x1x2+x22）恒成立，则实数k的最大值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
二、选择题（共4小题）.
9．如图是函数y＝f（x）的导函数的图象，下列结论中正确的是（　　）

A．f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数
B．当x＝3时，f（x）取得最小值
C．当x＝﹣1时，f（x）取得极小值
D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4上是减函数
10．等差数列{an}中，a5＝11，a12＝﹣10，Sn是数列{an}的前n项和，则（　　）
A．a1+a16＝1 B．S8是{Sn}中的最大项
C．S9是{Sn}中的最小项 D．|a8|＜|a9|
11．下列命题中是真命题的是（　　）
A．的最小值为2
B．当a＞0，b＞0时，
C．若a2+b2＝2，则a+b的最大值为2
D．若正数a，b满足a+b＝2，则的最小值为
12．已知F1，F2是椭圆（a1＞b1＞0）和双曲线（a2＞b2＞0）的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（　　）
A．a12﹣b12＝a22﹣b22
B．b12＝3b22
C．＝1
D．e12+e22的最小值为1+
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
13．命题“不等式ax2﹣2ax﹣3＞0的解集为空集∅”是真命题，则实数a的取值范围是　 　．
14．数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan＝n（n+1）（n+2），则an＝　 　．
15．已知，若对∀x1∈[1，3]，∀x2∈[1，3]，使得g（x1）＝f（x2），则实数a的取值范围为　 　．
16．已知双曲线Γ：﹣＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于y轴的直线与Γ交于A，B两点，直线AF2，BF2分别交x轴于点C，D，若|CF2|+|DF2|＝12，则过点M（a，b2），N（﹣2，0）的直线的斜率的最大值为　 　，此时双曲线的离心率为　 　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在①数列{an}为递增的等比数列，且a2+a3＝12，②数列{an}满足Sn+1﹣2Sn＝2，③数列{an}满足2na1+2n﹣1a2+…+2an＝nan+1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．
问题：设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，_____．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．已知椭圆C：＝1和直线l：y＝2x+m．
（1）当椭圆C与直线l有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值．
19．已知等差数列{an}的公差为正数．a1＝1，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．
（Ⅲ）设，n∈N*，求数列{cn}的前2n项和．
20．如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形ABCD）及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形AHLJ和BEFG）组成，其中半圆的圆心为O，半径为50米，矩形BEFG的一边BG在BC上，矩形AHLJ的一边AH在AD上，点C，D，F，I在圆周上，E，J在直径上，且∠EOF＝，设∠BOC＝θ．若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，记病床区及休闲区的总造价为f（θ）（单位：万元）．
（1）求f（θ）的表达式；
（2）为进行改建预算，当θ为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．

21．已知椭圆，右顶点A（2，0），上顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2，且∠F1BF2＝60°，过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为AD的中点，过点E且与OP垂直的直线交OP于点G，判断直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
22．已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若函数f（x）的导函数f′（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．


参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．一物体做直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝t2+2t，则物体在t＝2时的瞬时速度为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
解：根据题意，s＝t2+2t，其导数s′＝2t+2，
则有s′|t＝2＝2×2+2＝6，
即物体在t＝2时的瞬时速度为6，
故选：B．
2．命题p：“3＜m＜4”是命题q：“曲线表示双曲线”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：3＜m＜5⇒曲线表示双曲线，
因为曲线表示双曲线，
所以（m﹣3）（5﹣m）＞0，解得3＜m＜5，
∴命题p：“3＜m＜4”是命题q：“曲线表示双曲线”的充要条件．
故选：A．
3．抛物线y＝ax2的焦点是直线x+4y﹣1＝0与坐标轴的交点，则该抛物线的准线方程是（　　）
A． B．x＝﹣1 C． D．y＝﹣1
解：根据题意，抛物线y＝ax2的标准方程为x2＝y，其焦点在y轴上，
又由直线x+4y﹣1＝0，令x＝0可得：y＝，即直线与y轴的交点为（0，），
即抛物线的焦点坐标为（0，），则其准线方程为y＝﹣；
故选：A．
4．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少？”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
解：设该女子所需的天数至少为n天，第一天织布a1尺，
则由题意知：S5＝＝5，解得a1＝，
则Sn＝≥165，
解得：2n≥430，由28＝256，29＝512，
∴要使织布的总尺数不少于165尺，该女子所需的天数至少为9天．
故选：C．
5．若函数在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）
A． B．[1，+∞） C．[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]
解：由，得f′（x）＝k﹣﹣（x＞0），
由函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，
得f′（x）＝k﹣﹣≥0在（1，+∞）上恒成立，
即k≥+在（1，+∞）上恒成立，
令t＝，0＜t＜1，则g（t）＝t+t2＝（t+）2﹣，
∴g（t）＜g（1）＝2，∴k≥2．
即k的取值范围是[2，+∞）．
故选：C．
6．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥恒成立，则m的取值范围是（　　）
A． B．[1，+∞） C．（0，1] D．
解：∵xy＞0，且x+y＝2，∴x＞0，y＞0，
∴＝（）（x+y）＝（4+m++）≥（4+m+2）＝（4+m+2），
当且仅当＝即x＝2y时，等号成立，
∵不等式≥恒成立，
∴（4+m+2）≥，化简得，m+4﹣5≥0，
解得≥1，即m≥1，
∴m的取值范围是[1，+∞）．
故选：B．
7．在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a2，，，成公比为4的等比数列，则k3＝（　　）
A．84 B．86 C．88 D．96
解：设等差数列{an}的公差为d．
因为a1，a2，，，成公比为4的等比数列，
所以a2＝4a1，所以a1+d＝4a1，得d＝3a1．
所以，所以a1+（k3﹣1）d＝256a1．
即（k3﹣1）⋅3a1＝255a1，解得k3＝86．
故选：B．
8．已知函数f（x）＝lnx，若对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有[f（x1）﹣f（x2）]（x12﹣x22）＞k（x1x2+x22）恒成立，则实数k的最大值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
解：∵f（x）＝lnx，∴f（x1）﹣f（x2）＝，
∵[f（x1）﹣f（x2）]（x12﹣x22）＞k（x1x2+x22）恒成立，且x1，x2∈（0，+∞），
∴x1x2+x22＞0，x1+x2＞0，
得k＜＝，
令t＝，g（t）＝tlnt﹣lnt，（t＞0且t≠1），
则g′（t）＝lnt+1﹣，令g′（t）＝0，得t＝1．
∴当t∈（0，1）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，
当t∈（1，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，
∴g（t）min＝g（1）＝0．
∴k≤0．
则实数k的最大值是0．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．如图是函数y＝f（x）的导函数的图象，下列结论中正确的是（　　）

A．f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数
B．当x＝3时，f（x）取得最小值
C．当x＝﹣1时，f（x）取得极小值
D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4上是减函数
解：由函数的图象可知，当x∈（﹣2，﹣1），x∈（2，4）时，f′（x）＜0，函数是减函数，当x∈（﹣1，2），x∈（4，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，所以A错误，D正确；当x＝﹣1时，f（x）取得极小值，C正确；点x＝3时，f（x）取得极小值，所以B错误．
故选：CD．
10．等差数列{an}中，a5＝11，a12＝﹣10，Sn是数列{an}的前n项和，则（　　）
A．a1+a16＝1 B．S8是{Sn}中的最大项
C．S9是{Sn}中的最小项 D．|a8|＜|a9|
解：等差数列{an}中，a5＝11，a12＝﹣10，
a1+a16＝a5+a12＝1，A正确；
a5＝a1+4d＝11，a12＝a1+11d＝﹣10，
解得，a1＝23，d＝﹣3，
所以Sn没有最小值，C错误，
an＝﹣3n+26，a8＝2＞0，a9＝﹣1＜0，B正确，D错误．
故选：AB．
11．下列命题中是真命题的是（　　）
A．的最小值为2
B．当a＞0，b＞0时，
C．若a2+b2＝2，则a+b的最大值为2
D．若正数a，b满足a+b＝2，则的最小值为
解：对于A，令t＝（t），y＝+＝t+在[，+∞）递增，可得ymin＝+＝，此时x＝0，故A错误；
对于B，a＞0，b＞0时，++2≥2+2≥2＝4，当且仅当a＝b＝1时取得等号，故B正确；
对于C，若a2+b2＝2，则a+b≤2＝2，当且仅当a＝b＝±1时，取得等号，故C正确；
对于D，若正数a，b满足a+b＝2，即为（4a+2）+（4b+8）＝18，
则＝[（4a+2）+（4b+8）]（+）＝（1+4++）≥×（5+4）＝，当且仅当a＝b＝1时，取得等号，故D正确．
故选：BCD．
12．已知F1，F2是椭圆（a1＞b1＞0）和双曲线（a2＞b2＞0）的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（　　）
A．a12﹣b12＝a22﹣b22
B．b12＝3b22
C．＝1
D．e12+e22的最小值为1+
解：由题意可得a12﹣b12＝a22+b22，所以A错误；
可设P是第一象限的点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由椭圆的定义可得m+n＝2a1，m﹣n＝2a2，
解得m＝a1+a2，n＝a1﹣a2，
又a12﹣b12＝a22+b22＝c2，
因为，在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝＝，
化为a12+3a22＝4c2，则b12﹣3b22＝a12﹣c2﹣（3c2﹣3a22）＝0，故B正确；
由a12+3a22＝4c2，可得+＝4，即有+＝4，故C错误；
由e12+e22＝（+）（e12+e22）＝（1+3++）≥（4+2），当且仅当e22＝e12，取得等号，
即有e12+e22的最小值为1+，故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
13．命题“不等式ax2﹣2ax﹣3＞0的解集为空集∅”是真命题，则实数a的取值范围是　[﹣3，0]　．
解：命题“不等式ax2﹣2ax﹣3＞0的解集为空集∅”是真命题，
当a＝0时，不等式为﹣3＞0，解集为空集∅；
当a≠0时，应满足，
即，
解得﹣3≤a＜0；
综上知，实数a的取值范围是[﹣3，0]．
故答案为：[﹣3，0]．
14．数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan＝n（n+1）（n+2），则an＝　3（n+1）　．
解：数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan＝n（n+1）（n+2）①，
当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1＝（n﹣1）（n+1）n②，
①﹣②得：nan＝n（n+1）（n+2）﹣n（n+1）（n﹣1）＝3（n+1）n，
故an＝3（n+1），（首项符合通项）．
故答案为：an＝3（n+1）．
15．已知，若对∀x1∈[1，3]，∀x2∈[1，3]，使得g（x1）＝f（x2），则实数a的取值范围为　　．
解：∵在[1，3]为增函数，且g（1）＝1，g（3）＝2，
∴x∈[1，3]，g（x）∈[1，2]．
由，得，
∴x∈[1，3]，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
又 f（1）＝a，，
∴x∈[1，3]时，，
∵对∀x1∈[1，3]，∀x2∈[1，3]，使得g（x1）＝f（x2），
∴解得．
∴a的取值范围为．
故答案为：．
16．已知双曲线Γ：﹣＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于y轴的直线与Γ交于A，B两点，直线AF2，BF2分别交x轴于点C，D，若|CF2|+|DF2|＝12，则过点M（a，b2），N（﹣2，0）的直线的斜率的最大值为　4　，此时双曲线的离心率为　　．
解：依题意，，，
因为|CF2|+|DF2|＝12，所以，
所以|AF2|+|BF2|＝24，
根据双曲线的定义，得（2a+|AF1|）+（2a+|BF1|）＝24，
所以4a+|AB|＝24，所以4a+＝24，即b2＝2a（6﹣a），
所以0＜a＜6，
易知过点M（a，b2），N（﹣2，0）的直线的斜率存在，且为，
＝﹣2（a+2+）+20≤﹣4，当且仅当a+2＝，即a＝2时等号成立，
所以过点M（a，b2），N（﹣2，0）的直线的斜率的最大值为4，此时b＝4，
所以c＝，所以离心率e＝．
故答案为：4，．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在①数列{an}为递增的等比数列，且a2+a3＝12，②数列{an}满足Sn+1﹣2Sn＝2，③数列{an}满足2na1+2n﹣1a2+…+2an＝nan+1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．
问题：设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，_____．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（Ⅰ）选①数列{an}为递增的等比数列，且a2+a3＝12，
设等比数列{an}的公比为q，（q＞0），
则a1q（1+q）＝2q（1+q）＝12，解得q＝2（﹣3舍去），
所以an＝2n；
选②数列{an}满足Sn+1﹣2Sn＝2，
可得Sn+1+2＝2（Sn+2），数列{Sn+2}是首项为S1+2＝4，公比为2的等比数列，
则Sn+2＝2n+1，即为Sn＝2n+1﹣2，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，
a1＝2也满足上式，
所以an＝2n，n∈N*；
选③2na1+2n﹣1a2+…+2an＝nan+1（1），
当n≥2时，2n﹣1a1+2n﹣2a2+…+2an﹣1＝（n﹣1）an（2），
由（2）×2﹣（1）可得2an＝nan+1﹣2（n﹣1）an，即an+1＝2an，
又因为a1＝2，a2＝2a1＝4，也满足上式，
故数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n，n∈N*；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得an＝2n，bn＝＝＝（﹣），
所以Tn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）
＝（1+﹣﹣）＝﹣．
18．已知椭圆C：＝1和直线l：y＝2x+m．
（1）当椭圆C与直线l有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值．
解：（1）由消y得，17x2+16mx+4m2﹣4＝0
由于直线l与椭圆有公共点，
∴△＝（16m）2﹣4×17×（4m2﹣4）≥0，得m2≤17，
故m∈；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）可得：x1+x2＝﹣，
x1x2＝，
|AB|＝
＝×
＝
＝≤．此时直线经过坐标原点．
|AB|的最大值：．
19．已知等差数列{an}的公差为正数．a1＝1，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．
（Ⅲ）设，n∈N*，求数列{cn}的前2n项和．
解：（Ⅰ）等差数列{an}的公差d为正数，a1＝1，
数列{bn}为等比数列，设公比为q，
b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10，
可得2q（2+d）＝12，2q+3+3d＝10，
解得q＝2，d＝1，
则an＝1+n﹣1＝n，bn＝2n；
（Ⅱ）an•bn＝n•2n，
前n项和Tn＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n，
2Tn＝1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，
两式相减可得﹣Tn＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1
＝﹣n•2n+1，
化简可得Tn＝2+（n﹣1）•2n+1；
（Ⅲ）由Sn＝n（n+1），
可得cn＝bn+＝2n+＝2n+2（﹣），
则前n项和Tn＝（2+4+…+2n）+2（1﹣+﹣+…+﹣）
＝+2（1﹣）＝2n+1﹣，
则数列{cn}的前2n项和为22n+1﹣．
20．如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形ABCD）及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形AHLJ和BEFG）组成，其中半圆的圆心为O，半径为50米，矩形BEFG的一边BG在BC上，矩形AHLJ的一边AH在AD上，点C，D，F，I在圆周上，E，J在直径上，且∠EOF＝，设∠BOC＝θ．若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，记病床区及休闲区的总造价为f（θ）（单位：万元）．
（1）求f（θ）的表达式；
（2）为进行改建预算，当θ为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．

解：（1）由题意半径为50米，显然R＝50，如图示，由图形可知：，
在矩形ABCD中，BC＝Rsinθ，OB＝Rcosθ，
所以游泳池面积为S矩形ABCD＝2OB•BC＝2R2sinθcosθ＝R2sin2θ．
在矩形BEFG中，EF＝Rsin＝，BE＝Rcos﹣Rcosθ＝R（﹣cosθ），
所以休息区面积为：2S矩形BEFG＝2BE•EF＝R2（﹣cosθ），
由每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，
则f（θ）＝t•R2sin2θ+2t•R2（﹣cosθ）＝×502（sin2θ﹣2cosθ+）（＜θ＜）；
（2）由（1）得f′（θ）＝125（2cos2θ+2sinθ）
＝250（﹣2sin2θ+sinθ）＝﹣250（2sinθ﹣）（sinθ+1），
∵θ∈（，），∴sinθ∈（，1），
令f′（θ）＝0，解得sinθ＝，∵θ∈（，），∴θ＝，
θ，f′（θ），f（θ）的变化如下：
θ
（，）

（，）
f′（θ）
+
0
﹣
f（θ）
递增
极大值
极小值
故θ＝时，总造价f（θ）取极大值（1+2），
即当θ＝时，总造价的最大值是（1+2）万．

21．已知椭圆，右顶点A（2，0），上顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2，且∠F1BF2＝60°，过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为AD的中点，过点E且与OP垂直的直线交OP于点G，判断直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
解：（1）由题意椭圆，右顶点A（2，0），得：a＝2，
因为在Rt△OBF2中，∠F1BF2＝60°，
所以∠OBF2＝30°，|OB|＝b，|OF2|＝c，
所以|BF2|＝a，所以，
所以，，
所以椭圆方程为． ………………
（2）设直线AD：y＝k（x﹣2）（k≠0），*
令x＝0，则y＝﹣2k，所以E（0，﹣2k），
将*代入，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x﹣12＝0，
设D（x0，y0），则，
所以，，………………
设P（xP，yP），因为P为AD的中点，
所以，，
所以，………………
设直线EG过定点H（x0，y0），则OP⊥EH，则，，
所以，
即对任意的k≠0都成立，
所以，所以，
所以．
所以直线EG过定点． ………………
22．已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若函数f（x）的导函数f′（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．
【解答】（Ⅰ）解：根据条件f′（x）＝+2x﹣（a+2），
则当x＝2时，f′（2）＝+4﹣（a+2）＝﹣+2＝1，解得a＝2；
（Ⅱ）解：函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝+2x﹣（a+2）＝，
①a≤0时，2x﹣a＞0，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
②0＜a＜2时，令f′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，
故f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，
③a＝2时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，
④a＞2时，令f′（x）＞0，解得：x＞或0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+∞）递增；
综上：a≤0时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
0＜a＜2时，f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，
a＝2时，f（x）在（0，+∞）递增，
a＞2时，f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+∞）递增；
（Ⅲ）证明：因为f′（x）＝+2x﹣（a+2）＝，
又因为导函数f′（x）在（1，e）上存在零点，
所以f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，
且当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）≥f（）＝aln+﹣（a+2）＝alna﹣﹣（1+ln2）a，
设g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，
则g′（x）＝lnx+1﹣﹣（1+ln2）＝lnx﹣﹣ln2，
则g′′（x）＝﹣＜0，所以g′（x）在（2，2e）上单调递减，
所以g（x）在（2，2e）上单调递减，
则g（2e）＝2eln2e﹣e2﹣2e（1+ln2）＝﹣e2＜g（2），
所以g（x）＞﹣e2，
则根据不等式的传递性可得，当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．