江苏省无锡市2020-2021学年上学期高二期末考试数学试题（word版含手写答案）

江苏省无锡市2020—2021学年上学期高二期末考试

数学试卷

2021．1

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．命题“xR，”的否定是

   A．xR，               B．xR，

   C．xR，              D．xR，

2．已知数列是等差数列，若，，则等于

   A．10             B．12             C．15             D．18

3．若m，n都是正整数，则m＋n＞mn成立的充要条件是

   A．m＝n＝2                          B．m＝n＝1

   C．m＞1且n＞1                      D．m，n至少有一个为1

4．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示．为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为

   A．3.3m           B．3.5m           C．3.8m           D．4.5m

5．在三棱锥P—ABC中，已知N是PC的中点，且(x，y，zR)，则

   A．       B．       C．     D．

6．若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则此双曲线的渐近线方程为

   A．      B．       C．     D．

7．已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列，令，数列的前n项和为，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是

   A．          B．          C．          D．

8．若椭圆C：(a＞b＞0)上的点(2，)到右准线的距离为，过点M(0，1)的直线l与C交于两点A，B，且，则l的斜率为

   A．             B．           C．            D．

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．下列命题正确的是

   A．若，则                 B．若，则

   C．若，，则     D．若，则

10．如图，已知ABCD—A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则

  A．

B．

   C．向量与向量的夹角是60°

D．异面直线EF与DD1所成的角为45°

11．某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产．A企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．集团公司要求A企业从第一年开始，每年年底上缴资金t万元(t＜800)，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为万元．则

   A．                      B．

   C．                          D．当t＝400时，

12．我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则

A．双曲线是黄金双曲线

B．如果双曲线(a＞0，b＞0)是黄金双曲线，那么b2＝ac(c为半焦距)

C．如果双曲线(a＞0，b＞0)是黄金双曲线，那么右焦点F2到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一

D．过双曲线C：(a＞0，b＞0)的右焦点F2且垂直于实轴的直线l交C于M、N两点，O为坐标原点，若∠MON＝90°，则双曲线C是黄金双曲线

三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．已知空间向量＝(，，3)，＝(，，6)，若∥，则2m＋n＝       ．

14．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面是一个矩形，面积为60m2，房屋正面每平方米的造价为1500元，房屋侧面每平方米的造价为1000元，屋顶的造价为6000元．如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么把地面矩形较长的一边设计为     

 m时，能使房屋的总造价最低．（结果用根式表示）

15．已知点P(2，4)在抛物线C：上，过其焦点F且倾斜角为45°的直线l与C交于M，N两点，则△PMN的面积为       ．

16．将正奇数按下图所示的规律排列：

    1

    3     5     7

    9     11    13    15    17

    19    21    23    25    27    29    31

    ……

    则2021在第       行，从左向右第       个数．（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

设mR，命题p：0＜x2﹣4＜3x，命题q：(x﹣m＋1)(x﹣m﹣3)＜0．

（1）若p为真命题，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

18．（本小题满分12分）

已知函数(aR)．

（1）解关于x的不等式；

（2）若对[2，6]，都有成立，求a的最大值．

19．（本小题满分12分）

已知是各项均为正数的等比数列，若，的等比中项是81，且；数列的前n项和满足，且．

（1）求的通项公式；

（2）求证：是等差数列，并求数列的前n项和．

20．（本小题满分12分）

已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的焦距为，坐标原点O到直线BD的距离是，其中B，D的坐标分别为(0，b)，(，0)．

（1）求双曲线C的方程；

（2）是否存在过点D的直线l与双曲线C交于M，N两点，使得△BMN构成以B为顶点的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

如图，已知ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，AD∥EG，且AD＝2EG，GD∥CF且GD＝2FC，DA＝DG＝2．

（1）求平面BEF与平面CDGF所成二面角的余弦值；

（2）设M为FG的中点，N为正方形ABCD内一点（包含边界），当MN∥平面BEF时，求线段MN的最小值．

22．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，且过定点D(，1)．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设平行于OD的直线l与椭圆C交于A，B两点（如图所示）．①线段AB的长度是否有最大值？并说明理由；②若直线DA，DB与x轴分别交于M，N两点，记M，N的横坐标为m，n，求证：m＋n为定值．

参考答案

1．B     2．C     3．D     4．C     5．D     6．C     7．A     8．B

9．CD             10．ABD          11．BC            12．BD

13．13             14．          15．          16．32，50

17．

18．

19．

20．

21．

22．