江苏省盐城市、南京市2021届高三第一次模拟考试数学试题（word解析版）

这是一份江苏省盐城市、南京市2021届高三第一次模拟考试数学试题（word解析版），共17页。试卷主要包含了函数在其定义域上的图象大致为，化简sin2﹣sin2可得等内容，欢迎下载使用。

江苏省盐城市、南京市2021届高三第一次模拟考试
数学试题
2021．2
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．若为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为
A．2 B． C． D．﹣2
2．已知函数的定义域为集合M，函数y＝sinx的值域为N，则MN＝
A．Æ B．(﹣2，1] C．[﹣1，1) D．[﹣1，1]
3．函数在其定义域上的图象大致为

4．一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次．学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二．若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．化简sin2(﹣)﹣sin2(＋)可得
A．cos(2＋) B．﹣sin(2＋) C．cos(2﹣) D．sin(2﹣)
6．某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的2×2列联表．则根据列联表可知

A．有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
B．没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
C．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
D．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系
参考公式：独立性检验统计量，其中．
下面的临界值表供参考：
P()
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
7．设F1，F2分别为双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点，圆F1与双曲线的渐近线相切，过F2与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角的正切值为
A． B． C． D．1
8．已知点A，B，C，D在球O的表面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝2，BC＝4，AC与平面ABD所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．5
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列关于向量，，的运算，一定成立的有
A． B．
C． D．
10．下列选项中，关于x的不等式ax2＋(a﹣1)x﹣2＞0有实数解的充分不必要条件的有
A．a＝0 B．a≥﹣3＋2 C．a＞0 D．a≤﹣3﹣2
11．已知函数，则下列说法正确的是
A．函数是偶函数 B．函数是奇函数
C．函数在(，0]上为增函数 D．函数的值域为[1，)
12．回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数．若正整数i与n满足2≤i≤n且n≥4，在[，]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Pi，在[10，]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Qn，则
A．＜(2≤i≤n﹣1) B．＜
C．＞ D．＜1
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．若函数为偶函数，则的一个值为 ．（写出一个即可）
14．的展开式中有理项的个数为 ．
15．在平面直角坐标系xOy中，设抛物线与在第一象限的交点为A，若 OA的斜率为2，则＝ ．
16．罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C：的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线C围成的图形的面积S 2（选填“＞”、“＜”或“＝”），曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是 ．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
设正项数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．


18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝B＋3C．
（1）求sinC的取值范围；
（2）若c＝6b，求sinC的值．


19．（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD∥EF，DF⊥EF，EF＝2CD＝2．
（1）若DF＝2，求二面角A－CE－F的正弦值；
（2）若平面ACF⊥平面BCE，求DF的长．


20．（本小题满分12分）
某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀．竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81．假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布N(71，81)．
（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？
（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次．抽 奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10，11，…，99)，若产生的两位数的数字相同， 则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费．假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖 活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？
参考数据：若Z~N(，)，则P(﹣＜Z＜＋)≈0.68．




21．（本小题满分12分）
设F为椭圆C：的右焦点，过点(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点．
（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程；
（2）设直线AF，BF的斜率分别为，(≠0)，求证：为定值．


22．（本小题满分12分）
设函数(a＞1)．
（1）求证：有极值点；
（2）设的极值点为，若对任意正整数a都有(m，n)，其中m，nZ，求n﹣m的最小值．




江苏省盐城市、南京市2021届高三第一次模拟考试
数学试题
2021．2
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．若为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为
A．2 B． C． D．﹣2
答案：B
解析：，要使原式是实数，则，，选B．
2．已知函数的定义域为集合M，函数y＝sinx的值域为N，则MN＝
A．Æ B．(﹣2，1] C．[﹣1，1) D．[﹣1，1]
答案：C
解析：因为，所以M＝(﹣2，1)，又N＝[﹣1，1]，故MN＝[﹣1，1)，故选C．
3．函数在其定义域上的图象大致为

答案：D
解析：首先判断出该函数是奇函数，排除AB选项，当x＞1时，，选D．
4．一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次．学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二．若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案：C
解析：显然丙丁有一个错误，倘若丙正确，则与甲矛盾，故丁错误．故选C．
5．化简sin2(﹣)﹣sin2(＋)可得
A．cos(2＋) B．﹣sin(2＋) C．cos(2﹣) D．sin(2﹣)
答案：B
解析：因为，
所以原式＝，故选B．
6．某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的2×2列联表．则根据列联表可知

A．有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
B．没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
C．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
D．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系
参考公式：独立性检验统计量，其中．
下面的临界值表供参考：
P()
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
答案：A
解析：，根据临界值知有95%的把握认为经常用流行语与年轻人有关系，故选A．
7．设F1，F2分别为双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点，圆F1与双曲线的渐近线相切，过F2与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角的正切值为
A． B． C． D．1
答案：C
解析：根据题意作图，由算两次可知，，所以，故选C．
8．已知点A，B，C，D在球O的表面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝2，BC＝4，AC与平面ABD所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：B
解析：因为AB⊥平面BCD，BC⊥CD，所以球心O为AD中点，其在面BCD投影为E，则OE＝1，
作CF⊥BD，所以sin∠CAF＝，
所以，所以P到平面ACD距离的最大值为3．

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列关于向量，，的运算，一定成立的有
A． B．
C． D．
答案：ACD
解析：选项B中左边为的共线向量，右边为的共线向量不正确，其余均正确．
10．下列选项中，关于x的不等式ax2＋(a﹣1)x﹣2＞0有实数解的充分不必要条件的有
A．a＝0 B．a≥﹣3＋2 C．a＞0 D．a≤﹣3﹣2
答案：AC
解析：a≥0时必有解，当a＜0时，或，
故AC符合题意．
11．已知函数，则下列说法正确的是
A．函数是偶函数 B．函数是奇函数
C．函数在(，0]上为增函数 D．函数的值域为[1，)
答案：AD
解析：，所以函数是偶函数，B错误；
，故C错．综上选AD．
12．回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数．若正整数i与n满足2≤i≤n且n≥4，在[，]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Pi，在[10，]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Qn，则
A．＜(2≤i≤n﹣1) B．＜
C．＞ D．＜1
答案：BD
解析：i为奇数，i为偶数，
所以，A错；
当n＝4时，，所以C错，故选BD．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．若函数为偶函数，则的一个值为 ．（写出一个即可）
答案：答案不唯一
解析：的奇数倍都可以．
14．的展开式中有理项的个数为 ．
答案：34
解析：，所以r＝0，3，6，…，99时为有理想，共34个．
15．在平面直角坐标系xOy中，设抛物线与在第一象限的交点为A，若 OA的斜率为2，则＝ ．
答案：
解析：设A(x，y)，则代入抛物线得．
16．罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C：的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线C围成的图形的面积S 2（选填“＞”、“＜”或“＝”），曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是 ．（第一空2分，第二空3分）
答案：[，1]
解析：由题意知且既关于原点对称又关于y轴对称，
当时，同理可得曲线在y＝x＋1，y＝x﹣1，y＝﹣x＋1，y＝﹣x﹣1四条直线内部，所以，
，所以．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
设正项数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
解：（1）当n＝1时，由2Sn＝an2＋an，得a1 (a1－1)＝0．
因为正项数列，所以a1＞0，所以a1＝1．
因为当n≥1时，2Sn＝an2＋an， …………………………①
所以当n≥2时，2Sn－1＝an－12＋an－1， ……………………②
①－②，得2Sn－2Sn－1＝an2－an－12＋an－an－1，
即2an＝an2－an－12＋an－an－1，
所以an＋an－1＝(an＋an－1)(an－an－1)．
因为数列{an}的各项均正，所以an＋an－1＞0．
所以当n≥2时，an－an－1＝1．
故数列{an}是公差为1的等差数列．
故数列{an}的通项公式为an＝n．
（2）因为＝＝＝(－)，
故＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＜．

18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝B＋3C．
（1）求sinC的取值范围；
（2）若c＝6b，求sinC的值．
解：（1）由A＝B＋3C及A＋B＋C＝π，得2B＋4C＝π，
所以B＝－2C，所以A＝＋C．
由得
得0＜C＜，故sinC的取值范围为(0，)．
（2）若c＝6b，由正弦定理有sinC＝6sinB，①
由（1）知B＝－2C，则sinB＝sin(－2C)＝cos2C．②
由①②得sinC＝cos2C＝1－2sin2C，所以12sin2C＋sinC－6＝0，
解得sinC＝或sinC＝－，
又sinC∈(0，)，所以sinC＝．

19．（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD∥EF，DF⊥EF，EF＝2CD＝2．
（1）若DF＝2，求二面角A－CE－F的正弦值；
（2）若平面ACF⊥平面BCE，求DF的长．

解：方法一
（1）因为平面ABEF^平面CDFE，平面ABEF∩平面CDFE＝EF，DF^EF，DFÌ平面CDFE，
所以DF^平面ABEF．
所以DF^AF，DF^FE．又AF^EF．
所以，以{，，}为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系F－xyz．
则F(0，0，0)，A(2，0，0)，E(0，2，0)，C(0，1，2)，
则＝(2，－2，0)，＝(0，－1，2)．
设平面ACE的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则m^，m^．
A
B
C
D
F
E
x
y
z
所以即
不妨取z＝1，则x＝y＝2，
所以m＝(2，2，1)．
又＝(2，0，0)，＝(0，2，0)，＝(0，1，2)，
所以×＝0，×＝0．
所以^，^，又FE∩FC＝F，
所以＝(2，0，0)为平面CEF的一个法向量．
所以cos＜m，＞＝＝．
所以二面角A－CE－F的正弦值为＝．
（2）设DF＝t(t＞0)，则C(0，1，t)．
＝(2，0，0)，＝(0，－1，t)，＝(2，0，0)，＝(0，1，t)，
设平面BCE的一个法向量为n＝(a，b，c)，则n^，n^．
所以 即
不妨令c＝1，则b＝t，所以n＝(0，t，1)．
设平面ACF的一个法向量为s＝(p，q，r)，
则由s^，s^，得
不妨取r＝1，则q＝－t，得s＝(0，－t，1)．
因为平面ACF^平面BCE，
所以n×s＝0，即－t2＋1＝0，得t＝1，
即DF＝1．
方法二
（1）因为平面ABEF^平面CDFE，平面ABEF∩平面CDFE＝EF，DF^EF，DFÌ平面CDFE，
所以DF^平面ABEF，所以DF^AF．
又因为AF^EF，DFÌ平面CDFE，EFÌ平面CDFE，DF∩EF＝F．
所以AF^平面CDFE．
在平面CEF内过点F作FG^CE于G，连结AG，则AG^CE．
所以ÐAGF为二面角A－CE－F的平面角．
A
B
C
D
F
E
G
l
在△CEF中，CE＝CF＝，EF＝2，
由S△CEF＝×EF×DF＝×CE×FG，得FG＝．
在△AFG中，AG＝＝，
所以sinÐAGF＝＝，
所以二面角A－CE－F的正弦值为.
（2）设平面ACF∩平面BCF＝l．
因为四边形ABEF为正方形，所以AF∥BE．又AFË平面BCE，BEÌ平面BCE，
所以AF∥平面BCE．
又AFÌ平面ACF，平面ACF∩平面BCE＝l，所以AF∥l．
因为AF^平面CDFE，CFÌ平面CDFE，所以AF^CF，所以CF^l．
又平面ACF^平面BCE，平面ACF∩平面BCE＝l，CFÌ平面ACF，
所以CF^平面BCE．
又CEÌ平面BCE，所以CF^CE，所以CF2＋CE2＝EF2．
设DF＝t(t＞0)，则CF＝，CE＝，所以(t2＋1)＋(t2＋1)＝22，
解得t＝1，即DF＝1.

20．（本小题满分12分）
某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀．竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81．假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布N(71，81)．
（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？
（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次．抽 奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10，11，…，99)，若产生的两位数的数字相同， 则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费．假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖 活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？
参考数据：若Z~N(，)，则P(﹣＜Z＜＋)≈0.68．
解：（1）因得分Z~N(71，81)，所以标准差s＝9，所以优秀者得分Z≥m＋s，
由P(m－s＜Z＜m＋s)≈0.68得，P(Z≥m＋s)≈0.16．
因此，估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为10×0.16＝1.6(万人)．
（2）方法一
设抽奖一次获得的话费为X元，
则P(X＝40)＝＝，P(X＝10)＝ ，
所以抽奖一次获得电话费的期望值为E(X)＝×40＋×10＝13．
又由于10万人均参加抽奖，且优秀者参加两次，
所以抽奖总次数为10＋10×0.16＝11.6万次，
因此，估计这次活动所需电话费为11.6×13＝150.8万元．
方法二
设每位参加活动者获得的电话费为X元，则X的值为10，20，40，50，80．
且P(X＝10)＝(1－0.16)×＝，
P(X＝20)＝0.16×()2＝，
P(X＝40)＝(1－0.16)×＝，
P(X＝50)＝0.16×()×()×2＝，
P(X＝80)＝0.16×()2＝．
所以E(X)＝10×＋20×＋40×＋50×＋80×＝15.08．
因此，估计这次活动所需电话费为10×15.08＝150.8(万元)．

21．（本小题满分12分）
设F为椭圆C：的右焦点，过点(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点．
（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程；
（2）设直线AF，BF的斜率分别为，(≠0)，求证：为定值．

解：（1）若B为椭圆的上顶点，则B(0，1)．
又AB过点(2，0)，故直线AB：x＋2y－2＝0．
代入椭圆C：＋y2＝1，可得3y2－4y＋1＝0，
解得y1＝1，y2＝，
即点A(，)，从而直线AF：y＝x－1．
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
方法一
设直线AB：x＝ty＋2，代入椭圆方程可得：(2＋t2)y2＋4ty＋2＝0．
所以y1＋y2＝，y1y2＝ ．
故k1＋k2＝＋＝＋
＝ ＝＝0．
又k1，k2均不为，故＝－1，即为定值－1．
方法二
设直线AB：x＝ty＋2，代入椭圆方程可得：(2＋t2)y2＋4ty＋2＝0．
所以y1＋y2＝，y1y2＝ ．
所以＝－，即ty1y2＝－，
所以＝＝＝＝＝＝－1，
即为定值－1．
方法三
设直线AB：x＝ty＋2，代入椭圆方程可得：(2＋t2)y2＋4ty＋2＝0．
所以y1＋y2＝，y1y2＝ ，
所以＝＋＝－2t．
所以＝＝＝＝＝，
把＝－2t－代入得＝－1．
方法四
设直线AB：y＝k(x－2)，代入椭圆的方程可得(1＋2k2)x2－8k2x＋(8k2－2)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝ ．
所以＝＝＝＝．
因为x1x2－x1－x2＋2＝＋2＝，x2＝－x1，
代入得＝＝＝－1．

22．（本小题满分12分）
设函数(a＞1)．
（1）求证：有极值点；
（2）设的极值点为，若对任意正整数a都有(m，n)，其中m，nZ，求n﹣m的最小值．
解：（1）由题意得f¢(x)＝axlna－e－x，所以f ¢¢(x)＝ax(lna)2＋e－x＞0，所以函数f ¢(x)单调递增，
由f ¢(x)＝0，得(ae)xlna＝1，(ae)x＝．
因为a＞1，所以＞0，所以x＝logae．
当x＞logae时，f ¢(x)＞0，f(x)单调递增；当x＜logae时，f ¢(x)＜0，f(x)单调递减．
因此，当x=logae时函数f(x)有极值．
（2）方法一
由（1）知，函数f(x)的极值点x0(即函数f ¢(x)的零点）唯一，
因为f ¢(－1)＝－e．
令g(a)＝，则g¢(a)＝＝0，得a＝e．
当a＞e时，g¢(a)＜0，g(a)单调递减；当0＜a＜e时，g¢(a)＞0，g(a)单调递增，
所以g(a)≤g(e)＝，所以f ¢(－1) ＝－e＜0．
而f ¢(0)＝lna－1，当a＝2时，f¢(0)＜0，
当a≥3时，f¢(0)＞0．
又f ¢(1)＝alna－．
因为a为正整数且a≥2时，所以alna≥2ln2＞1＞．
当a≥2时，f¢(1)＞0．
即对任意正整数a＞1，都有f ¢(－1)＜0，f ¢(1)＞0，所以x0∈(－1，1)恒成立，
且存在a＝2，使x0∈(0，1)，也存在a＝3，使x0∈(－1，0)．
所以n－m的最小值为2．
方法二
由（1）知x0＝logae＝－．
令lna＝k，k＝ln2，ln3，…，则x0＝－＝0，得k＝1．
先证：lnk≤k－1．
令g(k)＝lnk－k＋1，则g¢(k)＝，
当k＞1时，g¢(k)＜0；当k＜1时，g¢(k)＞0．
所以g(k)≤g(1)＝0，即lnk≤k－1成立．
所以x0＝－＞－1．
又当k≥ln3时，x0＝－＜0，
而2ln2>1，所以ln2＞＞，所以＜e．
当k＝ln2时，x0＝＞0，且x0＝＜＜1，
所以x0∈(－1，1)恒成立，且存在a＝2，使x0∈(0，1)，也存在a＝3，使x0∈(－1，0)．
所以n－m的最小值为2.