江苏省如皋市2021届高三数学模拟考试试卷Word版含答案

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2020～2021学年高三年级模拟考试卷
数　　学
(满分150分，考试时间120分钟)
2021．02
一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设复数z＝(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知全集U＝R，集合A＝{x|lg(x－2)＜1}，集合B＝{x|x2－2x－3≥0}，则A∪(∁UB)＝(　　)
A. (2，12) B. (－1，3)
C. (－1，12) D. (2，3)
3. 已知直线m平面α，则直线l⊥平面α是直线l⊥m的(　　)
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知α∈(0，)，2sin 2α－cos 2α＝1，则cos α的值为(　　)
A. B. C. D.
5. 如图，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB⊥BD，点M为AD的中点，MB⊥BC，AD＝2BD＝2，则·＝(　　)

A. 1 B.
C. 3 D.
6. 埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象．在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142 857×2＝285 714，142 857×3＝428 571，142 857×4＝571 428，…所以这组数字又叫“走马灯数”．该组数字还有如下发现：142＋857＝999，428＋571＝999，285＋714＝999，…若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x，剩下的三个数字构成另一个三位数y.若x＋y＝999，则所有可能的有序实数组(x，y)的个数为(　　)
A. 48 B. 60 C. 96 D. 120
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－1)2＋y2＝4，若直线l：x＋y＋m＝0上有且只有一个点P满足：过点P作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 7
8. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a＝，b＝，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. c＜a＜b D. c＜b＜a
二、 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．
9. 已知(2x＋)n的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是(　　)
A. 二项展开式中各项系数之和为36
B. 二项展开式中二项式系数最大的项为160x
C. 二项展开式中无常数项
D. 二项展开式中系数最大的项为90x3
10. 如图，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象与x轴交于点A，B.若OB＝7OA，图象的一个最高点D(，)，则下列说法正确的是(　　)

A. φ＝－
B. f(x)的最小正周期为4
C. f(x)一个单调增区间为(－，)
D. f(x)图象的一个对称中心为(－，0)
11. 设函数y＝f(x)定义域为D，若存在x，y∈D，且x≠y，使得2f()＝f(x)＋f(y)，则称函数y＝f(x)是D上的“S函数”，下列函数是“S函数”的是(　　)
A. y＝2x B. y＝x－sin x＋1
C. y＝ln x D. y＝
12. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M是边CD的中点，将△ADM沿AM翻折到△PAM，连接PB，PC，在△ADM翻折到△PAM的过程中，下列说法正确的是(　　)

A. 四棱锥PABCM的体积最大值为
B. 当平面PAM⊥平面ABCM时，二面角PABC的正切值为
C. 存在某一翻折位置，使得AM⊥PB
D. 棱PB的中点为N，则CN的长为定值
三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设f(x)＝ax＋x，若f(3)＝6，则不等式f(2x－1)＞f(x)的解集为________．
14. 已知m，n均为正数，a＝(1，m)，b＝(2，1－n)，且a∥b，则＋的最小值为________．
15. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A，过点F且平行于OA的直线交另一条渐近线于点B.若AB⊥OB，则双曲线C的离心率为________．
16. “双十一”是指每年的11月11日，以一些电子商务为代表，在全国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物满5 888元的顾客会随机获得A，B，C三种赠品中的一件，现恰有3名顾客的购物金额满5 888元．设随机变量X表示获得赠品完全相同的顾客人数，则P(X＝0)＝________，E(X)＝________．
四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
从① △ABC的面积S＝2；② AD⊥CD这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝CD＝2，B＝，对角线AC平分∠BAD，且________，求线段AD的长．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．

18. (本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设bn＝nan，记数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn＝2 021？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．













(本小题满分12分)
如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AC，BD相交于点N，DN＝2NB.已知PA＝AC＝AD＝3，BD＝3，∠ADB＝30°.
(1) 求证：AC⊥平面PAD；
(2) 设棱PD的中点为M，求平面PAB与平面MAC所成二面角的正弦值．

20. (本小题满分12分)
习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为奋斗目标．在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活．当前，“日行万步”正式成为健康生活的代名词．某地一研究团队统计了该地区1 000位居民的日行步数，得到如下表格：

日行步数(单位：千步)
[0，2]
(2，4]
(4，6]
(6，8]
(8，10]
(10，12]
(12，14]
人数
20
60
170
200
300
200
50
(1) 为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过8千步为标准进行分层抽样，从上述1 000位居民中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关；


日行步数≤8千步
日行步数＞8千步
总计
40岁以上


100
40岁以下(含40岁)
50


总计


200
(2) 以这1 000位居民日行步数超过8千步的频率，代替该地区1位居民日行步数超过8千的概念，每位居民日行步数是否超过8千相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20位居民，其中日行步数超过8千的最有可能(即概率最大)是多少位居民？
参考公式和数据：
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
k0
3.841
5.024
6.635

21. (本小题满分12分)
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(2，1)，且椭圆C在点A处的切线方程为y＝－x＋3.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设过点B(3，0)且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线x＝－3交于点P，Q，记点P，Q的纵坐标分别为p，q，求p＋q的值．











(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ex－x－1，x＞0.
(1) 若关于x的不等式xf(x)＞kex－x2－2x－2对任意的x＞0恒成立，求实数k的取值范围；
(2) 设g(x)＝，x＞0.
① 求证：g(x)＞1；
② 若数列{an}满足0＜a1＜ln ，an＋1＝ln g(an)，求证： ean－1＜.


2020～2021学年高三年级模拟考试卷(如皋)
数学参考答案及评分标准

1. A　2. C　3. B　4. D　5. B　6. A　7. C　8. D　9. AB　10. BCD　11. BD　12. ABD
13. (1，＋∞)　14. 4　15. 　16. 　
17. 解：选①.
因为△ABC的面积为2，
所以·AB·BC·sin B＝2，即×2×BC×＝2，解得BC＝2.
在△ABC中，根据余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB·CB·cos B，
所以22＋(2)2－2×2×2×cos ＝20，故AC＝2，
且cos∠BAC＝＝＝.(5分)
因为AC是∠BAD的平分线，
所以cos∠CAD＝cos∠BAC＝.
在△ACD中，根据余弦定理可得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠DAC，
即22＝AD2＋(2)2－2AD×2×，解得AD＝4，
所以AD＝4.(10分)
选②.
因为AC平分∠BAD，设∠BAC＝∠DAC＝θ，
在Rt△ADC中，∠D＝，∠DAC＝θ，CD＝2，所以AC＝.
在△ABC中，根据正弦定理＝ ，得＝，(5分)
整理得sin(－θ)＝sin θ，即cos θ－sin θ＝sin θ，得tan θ＝.
所以在Rt△ADC中，tan θ＝＝，即＝，
所以AD＝4.(10分)
18. 解：(1) 依题意，Sn＋1＝2Sn＋1，a1＝1.
当n＝1时，S2＝2S1＋1，故a2＝a1＋1＝2，所以a2＝2a1；
当n≥2，n∈N*时，Sn＝2Sn－1＋1，
所以当n≥2，n∈N*时，an＋1＝2an,
所以an＋1＝2an对n∈N*都成立．
因为a1＝1≠0，所以an≠0，所以＝2为定值，
所以数列{an}是a1＝1，公比为2的等比数列，
所以an＝2n－1.(5分)
(2) 依题意，bn＝nan＝n·2n－1 ，
Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，
2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，
所以－Tn＝1×20＋1×21＋1×22＋…＋1×2n－1－n×2n＝－n×2n，
整理得Tn＝(n－1)·2n＋1.(9分)
因为bn＝n·2n－1>0，故数列{Tn}是单调递增数列．
又T8＝7×28＋1＝1 793<2 021，T9＝8×29＋1＝4 097>2 021，
故不存在正整数n，使得Tn＝2 021.(12分)
19. (1) 证明：因为BD＝3，DN＝2NB，故DN＝BD＝2.
在△AND中，AD＝3，∠ADN＝30°，DN＝2，根据余弦定理可得
AN2＝AD2＋ND2－2AD·ND·cos∠ADN＝32＋(2)2－2×3×2×＝3，
故AN＝，所以NA2＋AD2＝ND2，∠NAD＝90°，
所以AC⊥AD.
又PA⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
所以AC⊥PA.
因为PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，
所以AC⊥平面PAD.(6分)

(2) 解：以A为坐标原点，以AC，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
在△BAD中，AD＝3，BD＝3，∠ADB＝30°，根据余弦定理可得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝32＋(3)2－2×3×3×＝9，
故AB＝3，所以∠ABD＝30°，∠BAD＝120°.
所以A(0，0，0)，B(，－，0)，C(3，0，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)．
因为点M是PD的中点，故M(0，，)．
设n1＝(x，y，z)是平面PAB的法向量，则即
所以取x＝1，得n1＝(1，，0)，
所以平面PAB的一个法向量为n1＝(1，，0)．
同理，平面MAC的一个法向量为n2＝(0，1，－1)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝＝.
设平面PAB与平面MAC所成的二面角为θ，故|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝.
因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝＝＝，
所以平面PAB与平面MAC所成二面角的正弦值为.(12分)
20. 解：(1) 表格如下：


日行步数≤8千步
日行步数＞8千步
总计
40岁以上
40
60
100
40岁以下(含40岁)
50
50
100
总计
90
110
200
则K2＝＝≈2.020.
因为2.020<3.841，
所以没有95%的把握认为日行步数与居民年龄是否超过40岁有关．(5分)
(2) 依题意，该地区1位居民日行步数超过8千步的概率为＝.
设调查的20位居民中日行步数超过8千步的人数为X，
则X～B(20，)，P(X＝k)＝C()k()20－k，k＝0，1，2，…，20.
令 即
化简得 解得≤k≤.
又k∈N，故k＝11.
所以这20位居民中的日行步数超过8千步的最有可能的是11位居民．(12分)
21. 解：(1) 因为椭圆C经过点A(2，1)，所以＋＝1，即a2b2＝a2＋4b2　①.
又直线y＝－x＋3与椭圆C相切，
联立方程组整理得(a2＋b2)x2－6a2x＋9a2－a2b2＝0，
据Δ＝0，得36a4－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，即a2＋b2＝9　②.
联立①②，解得a2＝6，b2＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1.(5分)
(2) 依题意，直线l经过点B(3，0)，且不与x轴重合，设l的方程为x＝ty＋3，M(ty1＋3，y1)，N(ty2＋3，y2)．
联立方程组整理得(t2＋2)y2＋6ty＋3＝0，
故　即其中t<－1或t>1.
又直线AM：y－1＝(x－2)，令x＝－3，得p＝.
同理，q＝.
故p＋q＝＋＝
＝＝＝12.(12分)
22. (1) 解：依题意，x(ex－x－1)>kex－x2－2x－2对x>0恒成立，
即k>x＋对x>0恒成立．
令h(x)＝x＋，x>0，h′(x)＝＝，
而f′(x)＝ex－1>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，
故f(x)>f(0)＝0，从而h′(x)＝>0，
所以h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，
所以，当x>0时，h(x)>h(0)＝2.
所以k≤2.(3分)
(2) 证明：依题意，g(x)＝＝，x>0.
① 要证g(x)>1，即证>1，只需证ex－x－1>x2，
即证ex－x2－x－1>0.
令t(x)＝ex－x2－x－1，x>0，t′(x)＝ex－x－1＝f(x)>0，
所以t(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，故t(x)>t(0)＝0，
即ex－x2－x－1>0，
所以当x>0时，g(x)>1.(6分)
② 由①可知，当x>0时， g(x)>1，因为a1∈(0，ln )，故g(a1)>1，
所以a2＝ln g(a1)>0，g(a2)>1，a3＝ln g(a2)>0，…，an>0.
要证ean－1<，只需证ean＋1－1<(ean－1)，
即证g(an)－1<(ean－1)，即证g(an)－ean－<0.
令x＝an>0，只需证g(x)－ex－<0，
即证－ex－<0，
即证(x2－2)ex＋x2＋2x＋2>0，
即证(x＋2)[(x－2)ex＋x＋2]>0.
因为x＝an>0，故x＋2>0.
据(1)可得，当k＝2时，x＋>2对x>0恒成立，
即当x>0时，(x－2)ex＋x＋2>0，
所以(x＋2)[(x－2)ex＋x＋2]>0对x>0恒成立．
所以ean＋1－1<(ean－1)．
因为a1∈(0，ln )，故ea1－1<，
所以ean－1<(ean－2－1)<(ean－3－1)<…<(ea1－1)<.(12分)