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江苏省苏州市2020-2021学年第一学期学业质量阳光指标调研高一数学（解析版）
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这是一份江苏省苏州市2020-2021学年第一学期学业质量阳光指标调研高一数学（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题.，多项选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．设有下面四个命题：
p1：∃x∈R，x2+1＜0；
p2：∀x∈R，x+|x|＞0；
p3：∀x∈Z，|x|∈N；
p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．
其中真命题为（ ）
A．p1 B．p2 C．p3 D．p4
2．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（ ）
A．{x|x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|1≤x＜3} D．{x|1≤x≤3}
4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（ ）
A．y＝sin2x B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos
5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（ ）
A．甲大 B．乙大
C．一样大 D．大小不能确定
6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（ ）
A．2tanθ B． C．﹣2tanθ D．﹣
8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（1，4） B．（1，4] C．[1，4） D．[1，4]
二、多项选择题（共4小题）.
9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（ ）
A．f（x）的定义域为[0，+∞）
B．f（x）的值域为[0，+∞）
C．f（x）是偶函数
D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）
10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cosx图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍
B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍
C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（ ）
A．ba＜ca B．logba＞logca
C．＜ D．sinb＜sinc
12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sinx|，函数g（x）＝[f（x）]，则（ ）
A．函数g（x）的值域是{0，1，2}
B．函数g（x）是周期函数
C．函数g（x）的图象关于x＝对称
D．方程•g（x）＝x只有一个实数根
三、填空题（共4小题）.
13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为 ．
14．关于x的方程sinx+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为 ．
15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为 ．
16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是 ，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约 年．（参考数据：lg2≈0.3）
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cosA+1；③sinAcosAtanA＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．
已知角A为锐角，_____．
（1）求角A的大小；
（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．
18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．
（1）当a＝3时，求A∪B；
（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．
20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．
（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；
（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：
v
40
60
90
100
120
Q
5.2
6
8.325
10
15.6
W
13
9.25
为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．
（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？
22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，xn∈D2，使得g（xi）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”
（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．
（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；
（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．设有下面四个命题：
p1：∃x∈R，x2+1＜0；
p2：∀x∈R，x+|x|＞0；
p3：∀x∈Z，|x|∈N；
p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．
其中真命题为（ ）
A．p1 B．p2 C．p3 D．p4
解：设有下面四个命题：
对于p1：∃x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题；
p2：∀x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；
p3：∀x∈Z，|x|∈N，该命题为真命题；
p4：∃x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；
故选：C．
2．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
解：由题意，点（﹣1，2）到原点的距离是，＝
故cosα＝＝﹣
故选：B．
3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（ ）
A．{x|x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|1≤x＜3} D．{x|1≤x≤3}
解：集合A＝{x|lnx≤2ln}＝{x|0＜x≤3}，
B＝{x|x≥1}，
A﹣B＝{x|0＜x＜1}．
故选：B．
4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（ ）
A．y＝sin2x B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos
解：函数y＝sin2x的周期为，又x∈（，π），则2x∈（π，2π），
所以y＝sin2x在区间（，π）上不是单调递增，故选项A错误；
函数y＝cosx的周期为2π，故选项B错误；
函数y＝tanx的周期为π，且在区间（，π）上单调递增，故选项C正确；
函数的周期为，故选项D错误．
故选：C．
5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（ ）
A．甲大 B．乙大
C．一样大 D．大小不能确定
解：由题意可知，
甲平台的降价力度为：1﹣（1﹣a%）（1﹣b%），乙平台的降价力度为：1﹣（1﹣%）2，
作差得：[1﹣（1﹣a%）（1﹣b%）]﹣[1﹣（1﹣%）2]＝（%）2﹣a%•b%＝﹣2＜0，
所以乙平台的降价力度大，
故选：B．
6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：由图象可知，函数f（x）是偶函数，则y＝xf（x）为奇函数，则图象关于原点对称，排除C，D，
在原点的右侧，函数值为先负后正，故排除B，
故选：A．
7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（ ）
A．2tanθ B． C．﹣2tanθ D．﹣
解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，
∴原式＝﹣＝﹣＝＝﹣．
故选：D．
8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（1，4） B．（1，4] C．[1，4） D．[1，4]
解：函数f（x）＝，
当x时，f（f（x））＝（x2﹣3）2﹣3，
当时，f（f（x））＝﹣（x2﹣3）+1，
当x＜0时，f（f（x））＝（﹣x+1）2﹣3，
作出函数f（f （x））的图象可知，
当1＜k≤4时，函数y＝f（f （x））﹣k有3个不同的零点．
∴k∈（1，4]．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（ ）
A．f（x）的定义域为[0，+∞）
B．f（x）的值域为[0，+∞）
C．f（x）是偶函数
D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）
解：设幂函数f（x）＝xa，
∵f（x）过点（3，），
∴3a＝，a＝，
∴f（x）＝，
故函数的定义域是[0，+∞），A正确，C错误，
值域是[0，+∞），B正确，D正确，
故选：ABD．
10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cosx图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍
B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍
C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
解：把函数y＝cosx图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝cos（x+）的图象；
再将横坐标变为原来的倍，可得y＝cos（2x+）的图象．
或把函数y＝cosx图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到y＝cos2x的图象；
再向左平移个单位长度，可得y＝cos（2x+）的图象．
故选：BC．
11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（ ）
A．ba＜ca B．logba＞logca
C．＜ D．sinb＜sinc
解：因为实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，
则函数y＝xa为单调递增函数，所以ba＜ca，故选项A正确；
不妨取，则logba＝，logca＝，所以logba＜logca，故选项B错误；
不妨取，则，，所以，故选项C正确；
因为b和c所对应的角是哪一个象限角不确定，故sinb和sinc无法比较大小，故选项D错误．
故选：AC．
12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sinx|，函数g（x）＝[f（x）]，则（ ）
A．函数g（x）的值域是{0，1，2}
B．函数g（x）是周期函数
C．函数g（x）的图象关于x＝对称
D．方程•g（x）＝x只有一个实数根
解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x），
所以f（x）是偶函数，而sin|x|不是周期函数，|sinx|为周期函数，
对于x＞0，当2kπ＜x＜π+2kπ时，f（x）＝2sinx，
当π+2kπ＜x＜2π+2kπ时，f（x）＝0，
所以g（x）＝，k＝0，±1，±2，…，
故A正确，由f（x）是偶函数，则g（x）为偶函数，
x＞0时，f（x）成周期性，但起点为x＝0，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上不是周期函数，故B不正确；
函数g（x）的图象关于x＝0对称，不关于x＝对称，故C不正确；
，当x＝0时，g（0）＝0，当x＝时，g（）＝1，与g（x）只有（0，0）交点即方程•g（x）＝x只有一个实数根，故D正确．
故选：AD．
三、填空题（共4小题）.
13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为 [1，2） ．
解：要使函数的解析式有意义，
自变量x须满足：
解得：1≤x＜2．
故函数的定义域为[1，2）
故答案为[1，2）
14．关于x的方程sinx+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为 2 ．
解：设f（x）＝sinx+x﹣3，
f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＜0，f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＝sin﹣sin＞0，
（，所以sin＞sin）．
由零点定理知，f（x）在区间（，）内一定有零点，所以k＝2．
故答案为：2．
15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为 6 ．
解：因为a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，
所以a+3b＝9﹣ab＝9﹣，当且仅当a＝3b时取等号，
解得，a+3b≥6或a+3b≤﹣18（舍），
则a+3b的最小值为6．
故答案为：6．
16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是 y＝A• ，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约 3820 年．（参考数据：lg2≈0.3）
解：由题意知，y＝A•，
当y＝62.5%A时，有62.5%A＝A•，即＝，
∴＝＝＝log28﹣log25＝3﹣＝3﹣≈，
∴x＝3820，
∴可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．
故答案为：y＝A•；3820．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cosA+1；③sinAcosAtanA＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．
已知角A为锐角，_____．
（1）求角A的大小；
（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．
解：若选择条件①，
（1）由于＝，可得14sinA﹣7cosA＝3sinA+4cosA，可得sinA＝cosA，即tanA＝1，
因为A为锐角，
可得A＝；
（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sinA）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．
若选择②，
（1）由于4sin2A＝4cosA+1，4（1﹣cos2A）＝4cosA+1，可得4cos2A+4cosx﹣3＝0，解得cosA＝，或﹣（舍去），
因为A为锐角，可得A＝．
（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sinA）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．
若选择③，
（1）因为sinAcosAtanA＝sin2A＝，可得sinA＝，或﹣，
因为A为锐角，sinA＞0，可得sinA＝，可得A＝；
（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sinA）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．
18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．
（1）当a＝3时，求A∪B；
（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：由题意得，A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|a﹣1＜x＜a+1}．
（1）a＝3时，B＝{x|2＜x＜4}，
∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}＝（﹣1，4）．
（2）因为p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，
则A⫋B，所以（等号不能同时成立），经验证a≠2，
解之得0≤a＜2，
所以实数a的取值范围是[0，2）．
19．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．
解：（1）由题意可得A＝2，T＝π，所以ω＝＝2，
所以f（x）＝2sin（2x+φ），
又图象经过点（，），
所以f（）＝2sin（2×+φ）＝，即sin（+φ）＝，
因为|φ|＜，所以φ＝，
所以f（x）＝2sin（2x+）．
（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
再根据x∈[0，π]，可得函数的单调增区间为[0，]，[，π]．
20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．
（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；
（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），
即2﹣x+k•2x＝﹣2x﹣k•2﹣x，可得k＝﹣1，
所以f（x）＝2x﹣2﹣x，
令y＝f（x）+f（2x）＝2x﹣2﹣x+22x﹣2﹣2x＝0，
即（2x﹣2﹣x）（1+2x+2﹣x）＝0，
所以2x﹣2﹣x＝0，解得x＝0，
即函数y＝f（x）+f（2x）的零点为x＝0．
（2）当k≤0时，函数f（x）＝2x+k•2﹣x在R上单调递增，不符合题意；
当k＞0时，令t＝2x，当x∈（﹣∞，﹣1）时，t∈（0，），当x∈（2，+∞）时，t∈（4，+∞），
因为f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增，
所以g（t）＝t+在（0，）上单调递减且在（4，+∞）上单调递增，
所以≤≤4，
解得≤k≤16，
故存在实数k∈[，16]使f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增．
21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：
v
40
60
90
100
120
Q
5.2
6
8.325
10
15.6
W
13
9.25
为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．
（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？
解：（1）填表如下：
v
40
60
90
100
120
Q
5.2
6
8.325
10
15.6
W
13
10
9.25
10
13
由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时，v都可取，三种模型都满足，
且该函数模型应为增函数，所以第一种函数模型不符合，
若选择第二种模型，代入（40，5.2），（60，6），
得，解得，
则Q（v）＝0.04v+3.6，此时Q（90）＝7.2，Q（100）＝7.6，Q（120）＝8.4，
与实际数据相差较大，所以第二种模型不符合，
经观察，第三种函数模型最符合实际，代入（40，5.2），（60，6），（100，10），
则，解得，
∴Q（v）＝0.000025v3﹣0.004v2+0.25v．
（2）∵W＝＝0.0025v2﹣0.4v+25＝0.0025（v﹣80）2+9，
∴当v＝80时，W取得最小值9，
所以该型号汽车应在外侧车道以80km/h的速度行驶时W最小．
22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，xn∈D2，使得g（xi）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”
（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．
（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；
（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．
解：（1）因为g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]），f（x）＝x+2（x∈[0，1]），
则对∀x0∈[0，1]，∃n个不同的实数x1，x2…，xn∈[0，4），使得g（xi）＝f（x0）（i＝1，2，…，n），
即|xi﹣1|＝x0+2∈[2，3]，则xi∈[3，4]，
所以对于∀x0∈[0，1]，都能找到一个x1，使|x1﹣1|＝x0+2，
所以g（x）是f（x）的“n重覆盖函数”，故n＝1；
（2）因为f（x）＝，其定义域为（0，+∞），
即对∀x0∈（0，+∞），存在2个不同的实数x1，x2∈R，使得g（xi）＝f（x0）（i＝1，2），
即∈（0，+∞），
即对任意k＞0，g（x）＝k要有两个实根，
当x＞1时，g（x）＝log2x＝k已有一个根，
故只需x＜1时，g（x）＝k仅有一个根，
①当a＝0时，g（x）＝1，不符合题意；
②当a＞0时，则必须满足g（1）＝a+2a﹣3+1≤0，解得；
③当a＜0时，抛物线开口向下，存在最大值，故不符合题意；
综上可得，实数a的取值范围为．；
（3）正实数ω的取值范围为．
2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．设有下面四个命题：
p1：∃x∈R，x2+1＜0；
p2：∀x∈R，x+|x|＞0；
p3：∀x∈Z，|x|∈N；
p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．
其中真命题为（ ）
A．p1 B．p2 C．p3 D．p4
2．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（ ）
A．{x|x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|1≤x＜3} D．{x|1≤x≤3}
4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（ ）
A．y＝sin2x B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos
5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（ ）
A．甲大 B．乙大
C．一样大 D．大小不能确定
6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（ ）
A．2tanθ B． C．﹣2tanθ D．﹣
8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（1，4） B．（1，4] C．[1，4） D．[1，4]
二、多项选择题（共4小题）.
9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（ ）
A．f（x）的定义域为[0，+∞）
B．f（x）的值域为[0，+∞）
C．f（x）是偶函数
D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）
10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cosx图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍
B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍
C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（ ）
A．ba＜ca B．logba＞logca
C．＜ D．sinb＜sinc
12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sinx|，函数g（x）＝[f（x）]，则（ ）
A．函数g（x）的值域是{0，1，2}
B．函数g（x）是周期函数
C．函数g（x）的图象关于x＝对称
D．方程•g（x）＝x只有一个实数根
三、填空题（共4小题）.
13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为 ．
14．关于x的方程sinx+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为 ．
15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为 ．
16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是 ，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约 年．（参考数据：lg2≈0.3）
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cosA+1；③sinAcosAtanA＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．
已知角A为锐角，_____．
（1）求角A的大小；
（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．
18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．
（1）当a＝3时，求A∪B；
（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．
20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．
（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；
（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：
v
40
60
90
100
120
Q
5.2
6
8.325
10
15.6
W
13
9.25
为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．
（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？
22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，xn∈D2，使得g（xi）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”
（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．
（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；
（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．设有下面四个命题：
p1：∃x∈R，x2+1＜0；
p2：∀x∈R，x+|x|＞0；
p3：∀x∈Z，|x|∈N；
p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．
其中真命题为（ ）
A．p1 B．p2 C．p3 D．p4
解：设有下面四个命题：
对于p1：∃x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题；
p2：∀x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；
p3：∀x∈Z，|x|∈N，该命题为真命题；
p4：∃x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；
故选：C．
2．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
解：由题意，点（﹣1，2）到原点的距离是，＝
故cosα＝＝﹣
故选：B．
3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（ ）
A．{x|x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|1≤x＜3} D．{x|1≤x≤3}
解：集合A＝{x|lnx≤2ln}＝{x|0＜x≤3}，
B＝{x|x≥1}，
A﹣B＝{x|0＜x＜1}．
故选：B．
4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（ ）
A．y＝sin2x B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos
解：函数y＝sin2x的周期为，又x∈（，π），则2x∈（π，2π），
所以y＝sin2x在区间（，π）上不是单调递增，故选项A错误；
函数y＝cosx的周期为2π，故选项B错误；
函数y＝tanx的周期为π，且在区间（，π）上单调递增，故选项C正确；
函数的周期为，故选项D错误．
故选：C．
5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（ ）
A．甲大 B．乙大
C．一样大 D．大小不能确定
解：由题意可知，
甲平台的降价力度为：1﹣（1﹣a%）（1﹣b%），乙平台的降价力度为：1﹣（1﹣%）2，
作差得：[1﹣（1﹣a%）（1﹣b%）]﹣[1﹣（1﹣%）2]＝（%）2﹣a%•b%＝﹣2＜0，
所以乙平台的降价力度大，
故选：B．
6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：由图象可知，函数f（x）是偶函数，则y＝xf（x）为奇函数，则图象关于原点对称，排除C，D，
在原点的右侧，函数值为先负后正，故排除B，
故选：A．
7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（ ）
A．2tanθ B． C．﹣2tanθ D．﹣
解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，
∴原式＝﹣＝﹣＝＝﹣．
故选：D．
8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（1，4） B．（1，4] C．[1，4） D．[1，4]
解：函数f（x）＝，
当x时，f（f（x））＝（x2﹣3）2﹣3，
当时，f（f（x））＝﹣（x2﹣3）+1，
当x＜0时，f（f（x））＝（﹣x+1）2﹣3，
作出函数f（f （x））的图象可知，
当1＜k≤4时，函数y＝f（f （x））﹣k有3个不同的零点．
∴k∈（1，4]．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（ ）
A．f（x）的定义域为[0，+∞）
B．f（x）的值域为[0，+∞）
C．f（x）是偶函数
D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）
解：设幂函数f（x）＝xa，
∵f（x）过点（3，），
∴3a＝，a＝，
∴f（x）＝，
故函数的定义域是[0，+∞），A正确，C错误，
值域是[0，+∞），B正确，D正确，
故选：ABD．
10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cosx图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍
B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍
C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
解：把函数y＝cosx图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝cos（x+）的图象；
再将横坐标变为原来的倍，可得y＝cos（2x+）的图象．
或把函数y＝cosx图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到y＝cos2x的图象；
再向左平移个单位长度，可得y＝cos（2x+）的图象．
故选：BC．
11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（ ）
A．ba＜ca B．logba＞logca
C．＜ D．sinb＜sinc
解：因为实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，
则函数y＝xa为单调递增函数，所以ba＜ca，故选项A正确；
不妨取，则logba＝，logca＝，所以logba＜logca，故选项B错误；
不妨取，则，，所以，故选项C正确；
因为b和c所对应的角是哪一个象限角不确定，故sinb和sinc无法比较大小，故选项D错误．
故选：AC．
12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sinx|，函数g（x）＝[f（x）]，则（ ）
A．函数g（x）的值域是{0，1，2}
B．函数g（x）是周期函数
C．函数g（x）的图象关于x＝对称
D．方程•g（x）＝x只有一个实数根
解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x），
所以f（x）是偶函数，而sin|x|不是周期函数，|sinx|为周期函数，
对于x＞0，当2kπ＜x＜π+2kπ时，f（x）＝2sinx，
当π+2kπ＜x＜2π+2kπ时，f（x）＝0，
所以g（x）＝，k＝0，±1，±2，…，
故A正确，由f（x）是偶函数，则g（x）为偶函数，
x＞0时，f（x）成周期性，但起点为x＝0，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上不是周期函数，故B不正确；
函数g（x）的图象关于x＝0对称，不关于x＝对称，故C不正确；
，当x＝0时，g（0）＝0，当x＝时，g（）＝1，与g（x）只有（0，0）交点即方程•g（x）＝x只有一个实数根，故D正确．
故选：AD．
三、填空题（共4小题）.
13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为 [1，2） ．
解：要使函数的解析式有意义，
自变量x须满足：
解得：1≤x＜2．
故函数的定义域为[1，2）
故答案为[1，2）
14．关于x的方程sinx+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为 2 ．
解：设f（x）＝sinx+x﹣3，
f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＜0，f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＝sin﹣sin＞0，
（，所以sin＞sin）．
由零点定理知，f（x）在区间（，）内一定有零点，所以k＝2．
故答案为：2．
15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为 6 ．
解：因为a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，
所以a+3b＝9﹣ab＝9﹣，当且仅当a＝3b时取等号，
解得，a+3b≥6或a+3b≤﹣18（舍），
则a+3b的最小值为6．
故答案为：6．
16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是 y＝A• ，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约 3820 年．（参考数据：lg2≈0.3）
解：由题意知，y＝A•，
当y＝62.5%A时，有62.5%A＝A•，即＝，
∴＝＝＝log28﹣log25＝3﹣＝3﹣≈，
∴x＝3820，
∴可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．
故答案为：y＝A•；3820．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cosA+1；③sinAcosAtanA＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．
已知角A为锐角，_____．
（1）求角A的大小；
（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．
解：若选择条件①，
（1）由于＝，可得14sinA﹣7cosA＝3sinA+4cosA，可得sinA＝cosA，即tanA＝1，
因为A为锐角，
可得A＝；
（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sinA）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．
若选择②，
（1）由于4sin2A＝4cosA+1，4（1﹣cos2A）＝4cosA+1，可得4cos2A+4cosx﹣3＝0，解得cosA＝，或﹣（舍去），
因为A为锐角，可得A＝．
（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sinA）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．
若选择③，
（1）因为sinAcosAtanA＝sin2A＝，可得sinA＝，或﹣，
因为A为锐角，sinA＞0，可得sinA＝，可得A＝；
（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sinA）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．
18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．
（1）当a＝3时，求A∪B；
（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：由题意得，A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|a﹣1＜x＜a+1}．
（1）a＝3时，B＝{x|2＜x＜4}，
∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}＝（﹣1，4）．
（2）因为p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，
则A⫋B，所以（等号不能同时成立），经验证a≠2，
解之得0≤a＜2，
所以实数a的取值范围是[0，2）．
19．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．
解：（1）由题意可得A＝2，T＝π，所以ω＝＝2，
所以f（x）＝2sin（2x+φ），
又图象经过点（，），
所以f（）＝2sin（2×+φ）＝，即sin（+φ）＝，
因为|φ|＜，所以φ＝，
所以f（x）＝2sin（2x+）．
（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
再根据x∈[0，π]，可得函数的单调增区间为[0，]，[，π]．
20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．
（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；
（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），
即2﹣x+k•2x＝﹣2x﹣k•2﹣x，可得k＝﹣1，
所以f（x）＝2x﹣2﹣x，
令y＝f（x）+f（2x）＝2x﹣2﹣x+22x﹣2﹣2x＝0，
即（2x﹣2﹣x）（1+2x+2﹣x）＝0，
所以2x﹣2﹣x＝0，解得x＝0，
即函数y＝f（x）+f（2x）的零点为x＝0．
（2）当k≤0时，函数f（x）＝2x+k•2﹣x在R上单调递增，不符合题意；
当k＞0时，令t＝2x，当x∈（﹣∞，﹣1）时，t∈（0，），当x∈（2，+∞）时，t∈（4，+∞），
因为f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增，
所以g（t）＝t+在（0，）上单调递减且在（4，+∞）上单调递增，
所以≤≤4，
解得≤k≤16，
故存在实数k∈[，16]使f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增．
21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：
v
40
60
90
100
120
Q
5.2
6
8.325
10
15.6
W
13
9.25
为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．
（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？
解：（1）填表如下：
v
40
60
90
100
120
Q
5.2
6
8.325
10
15.6
W
13
10
9.25
10
13
由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时，v都可取，三种模型都满足，
且该函数模型应为增函数，所以第一种函数模型不符合，
若选择第二种模型，代入（40，5.2），（60，6），
得，解得，
则Q（v）＝0.04v+3.6，此时Q（90）＝7.2，Q（100）＝7.6，Q（120）＝8.4，
与实际数据相差较大，所以第二种模型不符合，
经观察，第三种函数模型最符合实际，代入（40，5.2），（60，6），（100，10），
则，解得，
∴Q（v）＝0.000025v3﹣0.004v2+0.25v．
（2）∵W＝＝0.0025v2﹣0.4v+25＝0.0025（v﹣80）2+9，
∴当v＝80时，W取得最小值9，
所以该型号汽车应在外侧车道以80km/h的速度行驶时W最小．
22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，xn∈D2，使得g（xi）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”
（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．
（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；
（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．
解：（1）因为g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]），f（x）＝x+2（x∈[0，1]），
则对∀x0∈[0，1]，∃n个不同的实数x1，x2…，xn∈[0，4），使得g（xi）＝f（x0）（i＝1，2，…，n），
即|xi﹣1|＝x0+2∈[2，3]，则xi∈[3，4]，
所以对于∀x0∈[0，1]，都能找到一个x1，使|x1﹣1|＝x0+2，
所以g（x）是f（x）的“n重覆盖函数”，故n＝1；
（2）因为f（x）＝，其定义域为（0，+∞），
即对∀x0∈（0，+∞），存在2个不同的实数x1，x2∈R，使得g（xi）＝f（x0）（i＝1，2），
即∈（0，+∞），
即对任意k＞0，g（x）＝k要有两个实根，
当x＞1时，g（x）＝log2x＝k已有一个根，
故只需x＜1时，g（x）＝k仅有一个根，
①当a＝0时，g（x）＝1，不符合题意；
②当a＞0时，则必须满足g（1）＝a+2a﹣3+1≤0，解得；
③当a＜0时，抛物线开口向下，存在最大值，故不符合题意；
综上可得，实数a的取值范围为．；
（3）正实数ω的取值范围为．
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