2009-2013高考数学真题分类汇编

这是一份2009-2013高考数学真题分类汇编，共353页。
目 录

第1章 集合与常用逻辑用语 1
第1节 集合 1
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件 10
第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词 17
第2章 函数、导数及其应用 19
第1节 函数及其表示 19
第2节 函数的单调性与最值 27
第3节 函数的奇偶性及周期性 29
第4节 函数的图像 32
第5节 幂函数与二次函数 36
第6节 指数与指数函数 38
第8节 函数与方程 45
第9节 函数模型及其应用 51
第10节 变化率与导数、导数的计算 62
第11节 导数的应用 66
第12节 定积分与微积分基本定理 87
第3章 三角函数、解三角形 93
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 93
第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 94
第3节 三角函数图像与性质 95
第4节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用 102
第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 105
第6节 三角恒等变形 109
第7节 正弦定理和余弦定理 113
第8节 解三角形应用举例 119
第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 123
第1节 平面向量的概念及其线性运算 123
第2节 平面向量的基本定理及坐标表示 126
第4节 数系的扩充与复数的引入 138
第5章 数列 148
第1节 数列的概念及其函数特性 148
第2节 等差数列及其前n项和 151
第3节 等比数列及其前n项和 161
第4节 数列求和 169
第5节 数列的综合应用 177
第6章 不等式、推理与证明 182
第1节 不等式性质 182
第2节 一元二次不等式及其应用 185
第3节 基本不等式 189
第4节 简单的线性规划问题 193
第5节 归纳推理与类比推理 203
第6节 直接证明和间接证明 206
第7节 数学归纳法 208
第7章 立体几何 211
第1节 简单几何体及三视图与直观图 211
第2节 空间图形的基本关系与公理 221
第3节 平行关系 225
第4节 垂直关系 227
第5节 简单几何体的面积和体积 229
第6节 空间向量及其运算 234
第7节 立体几何中的空间向量方法 243
第8章 平面解析几何 264
第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 264
第2节 两条直线的位置关系 266
第3节 圆的方程 268
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 269
第6节 椭圆 280
第7节 双曲线 284
第8节 曲线与方程 291
第9节 圆锥曲线的综合问题 298
第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布 314
第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 314
第2节 排列与组合 316
第3节 二项式定理 320
第4节 随机事件的概率 324
第5节 古典概型 328
第6节 模拟方法 334
第7节 离散型随机变量及其分布列 337
第8节 n次独立重复试验与二项分布 345
第9节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 355
第10章 算法初步、统计、统计案例 367
第1节 算法与算法框图 367
第2节 随机抽样 376
第3节 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体 380
第4节 变量间的相关关系、统计案例 387

第1章 集合与常用逻辑用语

第1节 集合

考点一 集合的含义与表示
1．(2013江西，5分)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝
A．4　　　　　　B．2 C．0 D．0或4
解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．
答案：A　
2．(2013山东，5分)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A, y∈A}中元素的个数是
A．1 B．3 C．5 D．9
解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．
答案：C
3．(2012新课标全国，5分)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为
A．3 B．6 C．8 D．10
解析：列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．
答案：D
4．(2012江西，5分)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为
A．5 B．4 C．3 D．2
解析：当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共3个元素．
答案：C
5．(2009广东，5分)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有

A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个
解析：由M＝{x|－2≤x－1≤2}得－1≤x≤3, 则M∩N＝{1,3}，有2个．
答案：B

考点二　集合的基本关系
1．(2013新课标全国Ⅰ，5分)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B
解析：本题考查一元二次不等式的解法和集合的运算，意在考查考生运用数轴进行集合运算的能力．解题时，先通过解一元二次不等式求出集合A，再借助数轴求解集合的运算．集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－＜x＜}＝R，选择B.
答案：B
2．(2010浙江，5分)设P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，则
A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁RQ D．Q⊆∁RP
解析：集合Q＝{x|－2＜x＜2}，所以Q⊆P.
答案：B
3．(2010湖南，5分)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则
A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝{1,4}
解析：由已知得M∩N＝{2,3}，故选C.
答案：C
4．(2009江苏，5分)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝______.
解析：可知A＝(0,4]，若A⊆B即(0,4]⊆(－∞，a)，则a>4，而a的取值范围为(c，＋∞)，∴c＝4.
答案：4

考点三　集合的基本运算
1．(2013新课标全国Ⅱ，5分)已知集合M＝{x|(x－1)2－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝
A．(－2,1] B．(－∞，－4] C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
解析：本题考查无限元素集合间的交、并、补运算以及简单的一元二次不等式的解法．浙江省每年都会有一道涉及集合的客观题，主要考查对集合语言 的理解以及简单的集合运算．T＝ {x|－4≤x≤1}，根据补集定义，∁RS＝{x|x≤－2}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤1}，选C.
答案：C
3．(2013陕西，5分)设全集为R，函数f(x)＝ 的定义域为M，则∁RM为
A．[－1,1] B．(－1,1)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：本题考查集合的概念和运算，涉及函数的定义域与不等式的求解．本题抓住集合元素是函数自变量，构建不等式并解一元二次不等式得到集合，然后利用补集的意义求解，使集合与函数有机结合，体现了转化化归思想的具体应用．从函数定义域切入，∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.
答案：D
4．(2013湖北，5分)已知全集为R，集合A＝，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩∁RB＝
A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|0＜x≤2或x≥4}
解析：本题主要考查集合的基本运算和不等式的求解，意在考查考生的运算求解能力．由题意可知，集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，所以∁RB＝{x|x4}，此时A∩∁RB＝{x|0≤x4}，故选C.
答案：C
5．(2013辽宁，5分)已知集合A＝{x|0|an|(n＝1,2…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
答案：B
11．(2009·安徽，5分)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是(　　)
A．p：a＋c>b＋d，　　q：a>b且c>d
B．p：a>1，b>1， q：f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象不过第二象限
C．p：x＝1, q：x2＝x
D．p：a>1， q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
解析：⇒a＋c>b＋d(不等式的性质)，
反之不成立，例如：8＋2>6＋3，a＝8，b＝2，c＝6，d＝3.
a>b但c0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：a>0，b>0时显然有a＋b>0且ab>0，充分性成立；反之，若a＋b>0且ab>0，则a，b同号且同正，即a>0，b>0.必要性成立．
答案：C
13．（2011陕西，5分）设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.
答案：3或4

第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词
考点一 简单的逻辑联结词
1．（2013湖北，5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)
A．(p)∨(q)　　　　　　　　　　B．p∨(q)
C．(p)∧(q) D．p∨q
解析：本题主要考查使用简单逻辑联结词来表示复合命题，意在考查考生对基础知识和基本概念的理解与掌握．由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(p)∨(q)．
答案：A
2．（2011北京，5分）若p是真命题，q是假命题，则(　　)
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题　　　
C．p是真命题 D．q是真命题　　　
解析：只有q是真命题．
答案：D
3．（2010新课标全国，5分）已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R为增函数．
p2：函数y＝2x＋2－x在R为减函数．
则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(p1)∨p2和q4：p1∧(p2)中，真命题是(　　)
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
解析：p1是真命题，则p1为假命题；p2是假命题，则p2为真命题；
∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，
∴q3：(p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(p2)为真命题．
∴真命题是q1，q4.
答案：C
考点二 全称量词与存在量词
1．（2013重庆，5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(　　)
A．存在x0∈R，使得x0.(f(x)的图像连续不断)
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当a＝时，证明：存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f()；
(3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β－α≥1，使f(α)＝f(β)，证明≤a≤.
解：(1)f′(x)＝－2ax＝，x∈(0，＋∞)．
令f′(x)＝0，解得x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)

(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)

极大值


所以，f(x)的单调递增区间是(0，)，f(x)的单调递减区间是(，＋∞)．
(2)证明：当a＝时，f(x)＝lnx－x2，由(1)知f(x)在(0,2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递减．
令g(x)＝f(x)－f()．由于f(x)在(0,2)内单调递增，
故f(2)>f()，即g(2)>0.
取x′＝e>2，则g(x′)＝2，且g(x′)