2014年高考数学（理）真题分类汇编：解析几何

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这是一份2014年高考数学（理）真题分类汇编：解析几何，共56页。试卷主要包含了、[2014·福建卷] 直线l，[2014·湖北卷] 直线l1等内容，欢迎下载使用。

数学
H单元　解析几何
H1　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
14．、[2014·湖北卷] 设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)，例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a，b)＝c＝，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数．
(1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数；
(2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数.
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
14．(1)　 (2)x(或填(1)k1； (2)k2x，其中k1，k2为正常数)
20．[2014·江西卷] 如图17所示，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．

图17
(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．
20．解：(1)设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝.
由题意，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，所以B.
又直线OA的方程为y＝x，
则A，所以kAB＝＝.
又因为AB⊥OB，所以·＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y0≠0)．
因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x＝的交点为N，，
则＝＝＝
·.
又P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，
代入上式得＝·＝·＝，所以＝＝，为定值．
20．[2014·四川卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；
②当最小时，求点T的坐标．
20．解：(1)由已知可得
解得a2＝6，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
设M为PQ的中点，则M点的坐标为.
所以直线OM的斜率kOM＝－，
又直线OT的斜率kOT＝－，
所以点M在直线OT上，
因此OT平分线段PQ.
②由①可得，
|TF|＝，
|PQ|＝
＝
＝
＝.
所以＝＝
≥＝.
当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．
故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．

H2　两直线的位置关系与点到直线的距离
21．[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
21．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，
所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)，
|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．
又直线l ′的斜率为－m，
所以l ′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，
并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故线段MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|＝.
由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即
4(m2＋1)2＋＋＝
，
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，
故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

H3　圆的方程
9．[2014·福建卷] 设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)
A．5 B.＋ C．7＋ D．6
9．D　

H4　直线与圆、圆与圆的位置关系
10．、[2014·安徽卷] 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acos θ＋bsin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0＜r≤|PQ|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则(　　)
A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R
10．A　

19．、、[2014·北京卷] 已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
19．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.
故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：
设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，
其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以·＝0，
即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.
当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，
得t＝±，
故直线AB的方程为x＝±.圆心O到直线AB的距离d＝，
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)，
即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.
圆心O到直线AB的距离
d＝.
又x＋2y＝4，t＝－，故
d＝＝＝.
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
6．、[2014·福建卷] 直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
6．A　
12．[2014·湖北卷] 直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.
12．2
15．、[2014·全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．

15.　
15．[2014·山东卷] 已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)＞g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．
15．(2，＋∞)　
12．[2014·陕西卷] 若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
12．x2＋(y－1)2＝1　
14．，[2014·四川卷] 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
14．5
13．[2014·重庆卷] 已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
13．4±　
21．，[2014·重庆卷] 如图14所示，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．

图14
21．解：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2＝a2－b2.
由＝2得|DF1|＝＝c.
从而S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝，故c＝1.
从而|DF1|＝，由DF1⊥F1F2得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，因此|DF2|＝，
所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1.
因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2，|P1P2|＝2|x1|.

由(1)知F1(－1，0)，F2(1，0)，所以＝(x1＋1，y1)，＝(－x1－1，y1)．再由F1P1⊥F2P2得－(x1＋1)2＋y＝0.由椭圆方程得1－＝(x1＋1)2，即3x＋4x1＝0，解得x1＝－或x1＝0.
当x1＝0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在．
当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2.又|CP1|＝|CP2|，故圆C的半径|CP1|＝|P1P2|＝|x1|＝.

H5　椭圆及其几何性质
20．[2014·四川卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；
②当最小时，求点T的坐标．
20．解：(1)由已知可得
解得a2＝6，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
设M为PQ的中点，则M点的坐标为.
所以直线OM的斜率kOM＝－，
又直线OT的斜率kOT＝－，
所以点M在直线OT上，
因此OT平分线段PQ.
②由①可得，
|TF|＝，
|PQ|＝
＝
＝
＝.
所以＝＝
≥＝.
当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．
故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．
14．[2014·安徽卷] 设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
14．x2＋y2＝1　

19．、、[2014·北京卷] 已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
19．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.
故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：
设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，
其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以·＝0，
即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.
当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，
得t＝±，
故直线AB的方程为x＝±.圆心O到直线AB的距离d＝，
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)，
即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.
圆心O到直线AB的距离
d＝.
又x＋2y＝4，t＝－，故
d＝＝＝.
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
9．[2014·福建卷] 设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)
A．5 B.＋
C．7＋ D．6
9．D　[解析] 设圆心为点C，则圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为C(0，6)，半径r＝.设点Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，则＋y＝1，即x＝10－10y，
∴|CQ|＝＝＝，
当y0＝－时，|CQ|有最大值5　，
则P，Q两点间的最大距离为5　＋r＝6　.
20．[2014·广东卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
9．、[2014·湖北卷] 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)
A. B. C．3 D．2
9．A　
21．[2014·湖南卷] 如图17，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.
(1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

图17
21．解： (1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b，0)，
F4(b，0)，于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.

(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.
易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.
因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.
由得(2－m2)x2＝4，所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，从而|PQ|＝2＝2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.
又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.
故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝＝2·.
而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取最小值2.
综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.
15．[2014·江西卷] 过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
15.　
15．[2014·辽宁卷] 已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝______．
15．12　
20．[2014·辽宁卷] 圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图16所示)．双曲线C1：－＝1过点P且离心率为.

图16

(1)求C1的方程；
(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点．若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
20．解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为，.故其围成的三角形的面积S＝··＝.由x＋y＝4≥2x0y0知，当且仅当x0＝y0＝时x0y0有最大值2，此时S有最小值4，因此点P的坐标为(，)．
由题意知
解得a2＝1，b2＝2，故C1的方程为x2－＝1.
(2)由(1)知C2的焦点坐标为(－，0)，(，0)，由此可设C2的方程为＋＝1，其中b1>0.
由P(，)在C2上，得＋＝1，
解得b＝3，
因此C2的方程为＋＝1.
显然，l不是直线y＝0.
设直线l的方程为x＝my＋，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(m2＋2)y2＋2 my－3＝0.
又y1，y2是方程的根，因此
②
由x1＝my1＋，x2＝my2＋，得

因为＝(－x1，－y1)，＝(－x2，－y2)，由题意知·＝0，
所以x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋4＝0，⑤
将①②③④代入⑤式整理得
2m2－2 m＋4 －11＝0，
解得m＝－1或m＝－＋1.
因此直线l的方程为
x－(－1)y－＝0或x＋(－1)y－＝0.
6．[2014·全国卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
6．A　
20．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
20．解：(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，
故可设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，
x1，2＝，
从而|PQ|＝|x1－x2|
＝.
又点O到直线l的距离d＝.
所以△OPQ的面积
S△OPQ＝d·|PQ|＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，满足Δ>0，
所以，当△OPQ的面积最大时，k＝±，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
20．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝
5|F1N|，求a，b.
20．解：(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1，
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
10．[2014·山东卷] 已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)
A. x±y＝0 B. x±y＝0
C. x±2y＝0 D. 2x±y＝0
10．A　[解析] 椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝.由e1e2＝·＝×＝，
解得＝，所以＝，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x.故选A.
20．[2014·陕西卷] 如图15所示，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．

图15
20．解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．
设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2，
∴a＝2，b＝1.
(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C1的方程，整理得
(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)
设点P的坐标为(xP，yP)，
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．
由求根公式，得xP＝，从而yP＝，
∴点P的坐标为.
同理，由
得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．
∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．
∵AP⊥AQ，
∴AP·AQ＝0，即[k－4(k＋2)]＝0，
∵k≠0，
∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.
经检验，k＝－符合题意，
故直线l的方程为y＝－(x－1)．
方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．
20．[2014·陕西卷] 如图15所示，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．

图15
20．解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．
设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2，
∴a＝2，b＝1.
(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C1的方程，整理得
(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)
设点P的坐标为(xP，yP)，
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．
由求根公式，得xP＝，从而yP＝，
∴点P的坐标为.
同理，由
得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．
∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．
∵AP⊥AQ，
∴AP·AQ＝0，即[k－4(k＋2)]＝0，
∵k≠0，
∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.
经检验，k＝－符合题意，
故直线l的方程为y＝－(x－1)．
方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．
18．[2014·天津卷] 设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
18．解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)．
由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.
又b2＝a2－c2，则＝，
所以椭圆的离心率e＝.
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.
故椭圆方程为＋＝1.
设P(x0，y0)．由F1(－c，0)，B(0，c)，
有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．
由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.
又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①
又因为点P在椭圆上，
所以＋＝1.②
由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c.代入①得y0＝，即点P的坐标为.
设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝c.
设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.由l与圆相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±，
所以直线l的斜率为4＋或4－.
21．[2014·浙江卷] 如图16，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．
(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.

图16
21．解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，由消去y得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0.
由于l与C只有一个公共点，故Δ＝0，即b2－m2＋a2k2＝0，解得点P的坐标为.
又点P在第一象限，故点P的坐标为P.
(2)由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的距离d＝，
整理得d＝.
因为a2k2＋≥2ab，所以≤＝a－b，
当且仅当k2＝时等号成立．
所以，点P到直线l1的距离的最大值为a－b.
21．[2014·重庆卷] 如图14所示，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．

图14
21．解：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2＝a2－b2.
由＝2得|DF1|＝＝c.
从而S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝，故c＝1.
从而|DF1|＝，由DF1⊥F1F2得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，因此|DF2|＝，
所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1.
因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2，|P1P2|＝2|x1|.

由(1)知F1(－1，0)，F2(1，0)，所以＝(x1＋1，y1)，＝(－x1－1，y1)．再由F1P1⊥F2P2得－(x1＋1)2＋y＝0.由椭圆方程得1－＝(x1＋1)2，即3x＋4x1＝0，解得x1＝－或x1＝0.
当x1＝0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在．
当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2.又|CP1|＝|CP2|，故圆C的半径|CP1|＝|P1P2|＝|x1|＝.

H6　双曲线及其几何性质
9．[2014·湖北卷] 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)
A. B. C．3 D．2
9．A　
11．[2014·北京卷] 设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．
11.－＝1　y＝±2x　
9．[2014·全国卷] 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝(　　)
A. B. C. D.
9．A　
19．、[2014·福建卷] 已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.
(1)求双曲线E的离心率．
(2)如图16，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．

图16
19．解：方法一：
(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，
所以＝2，
所以＝2，
故c＝a，
从而双曲线E的离心率
e＝＝.
(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，

所以|OC|·|AB|＝8，
因此a·4a＝8，解得a＝2，
此时双曲线E的方程为－＝1.
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y1＝，同理得y2＝.
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得
·＝8，
即m2＝4＝4(k2－4)．
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.
因为4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．
又因为m2＝4(k2－4)，
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
方法二：(1)同方法一．
(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
依题意得－由得y1＝，同理得y2＝.
设直线l与x轴相交于点C，则C(t，0)．
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|＝8，得|t|·＝8.
所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．
由得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.
因为4m2－1<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，即4m2a2＋t2－a2＝0, 即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，即(1－4m2)(a2－4)＝0，
所以a2＝4，
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
方法三：(1)同方法一．
(2)当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得k>2或k<－2.
由得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0，
因为4－k2<0，Δ>0，所以x1x2＝，
又因为△OAB的面积为8，
所以 |OA|·|OB|· sin∠AOB＝8，又易知sin∠AOB＝，
所以·＝8，化简得x1x2＝4.
所以＝4，即m2＝4(k2－4)．
由(1)得双曲线E的方程为－＝1，
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0.
因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，
即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4，
所以双曲线E的方程为－＝1.
当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－＝1有且只有一个公共点．
综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
4．[2014·广东卷] 若实数k满足0 A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
4．A　[解析] 本题考查双曲线的几何性质，注意利用基本量的关系进行求解．
∵00，25－k>0.
对于双曲线－＝1，
其焦距为2＝2；
对于双曲线－＝1，
其焦距为2＝2.所以焦距相等．
21．[2014·湖南卷] 如图17，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.
(1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

图17
21．解： (1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b，0)，
F4(b，0)，于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.

(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.
易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.
因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.
由得(2－m2)x2＝4，所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，从而|PQ|＝2＝2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.
又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.
故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝＝2·.
而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取最小值2.
综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.
20．[2014·江西卷] 如图17所示，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．

图17
(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．
20．解：(1)设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝.
由题意，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，所以B.
又直线OA的方程为y＝x，
则A，所以kAB＝＝.
又因为AB⊥OB，所以·＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y0≠0)．
因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x＝的交点为N，，
则＝＝＝
·.
又P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，
代入上式得＝·＝·＝，所以＝＝，为定值．
4．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)
A. B．3
C.m D．3m
4．A　
10．，[2014·山东卷] 已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)
A. x±y＝0 B. x±y＝0
C. x±2y＝0 D. 2x±y＝0
10．A　
5．[2014·天津卷] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5．A
16．[2014·浙江卷] 设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
16.　

8．[2014·重庆卷] 设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D．3
8．B　

H7　抛物线及其几何性质
10．[2014·广东卷] 曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．
10．y＝－5x＋3　
10．[2014·辽宁卷] 已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)
A. B. C. D.
10．D　
10．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝(　　)
A. B．3 C. D．2
10．B

19．、[2014·安徽卷] 如图14，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1＞0)和E2：y2＝2p2x(p2＞0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．

图14
(1)证明：A1B1∥A2B2；
(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．
19．解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，
则由得A1，
由得A2.
同理可得B1，B2.
所以＝＝2p1，
＝＝2p2.
故＝，所以A1B1∥A2B2
(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2，所以△A1B1C1∽△A2B2C2，
因此＝.
又由(1)中的＝||知，＝，
故＝.
21．[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
21．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，
化简整理得y2＝2(|x|＋x)．
故点M的轨迹C的方程为y2＝
(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0)．
依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①
当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.
当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②
设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③
(i)若由②③解得k<－1或k>.
即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
(ii)若或
由②③解得k∈或－≤k<0.
即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点．
当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．
故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．
(iii)若由②③解得－1 即当k∈∪时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．
综上可知，当k∈∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．
15．[2014·湖南卷] 如图14，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝________．

图14
15．1＋　[解析] 依题意可得C，F，代入抛物线方程得a＝p，b2＝2a，化简得b2－2ab－a2＝0，即 2－2－1＝0，解得＝1＋.
21．[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
21．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，
所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)，
|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．
又直线l ′的斜率为－m，
所以l ′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，
并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故线段MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|＝.
由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即
4(m2＋1)2＋＋＝
，
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，
故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
10．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
10．D　[解析] 抛物线的焦点为F，则过点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝，即x＝y＋，代入抛物线方程得y2－3 y－＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3 ，y1y2＝－，则S△OAB＝|OF||y1－y2|＝××＝.
21．[2014·山东卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
(1)求C的方程．
(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.
①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．
②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
21．解：(1)由题意知F.
设D(t，0)(t>0)，则FD的中点为.
因为|FA|＝|FD|，
由抛物线的定义知3＋＝，
解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．
由＝3，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)①证明：由(1)知F(1，0)．
设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0)．
因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，
由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2，0)．
故直线AB的斜率kAB＝－.
因为直线l1和直线AB平行，
设直线l1的方程为y＝－x＋b，
代入抛物线方程得y2＋y－＝0，
由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.
设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.
当y≠4时，kAE＝＝－＝，
可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)，
由y＝4x0，
整理可得y＝(x－1)，
直线AE恒过点F(1，0)．
当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)．
所以直线AE过定点F(1，0)．
②由①知，直线AE过焦点F(1，0)，
所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.
设直线AE的方程为x＝my＋1，
因为点A(x0，y0)在直线AE上，
故m＝.
设B(x1，y1)．
直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，
由y0≠0，得x＝－y＋2＋x0.
代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0，
所以y0＋y1＝－，
可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.
所以点B到直线AE的距离为
d＝
＝
＝4，
则△ABE的面积S＝×4x0＋＋2≥16，
当且仅当＝x0，即x0＝1时，等号成立．
所以△ABE的面积的最小值为16.
20．[2014·陕西卷] 如图15所示，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．

图15
20．解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．
设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2，
∴a＝2，b＝1.
(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C1的方程，整理得
(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)
设点P的坐标为(xP，yP)，
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．
由求根公式，得xP＝，从而yP＝，
∴点P的坐标为.
同理，由
得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．
∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．
∵AP⊥AQ，
∴AP·AQ＝0，即[k－4(k＋2)]＝0，
∵k≠0，
∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.
经检验，k＝－符合题意，
故直线l的方程为y＝－(x－1)．
方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．

H8　直线与圆锥曲线
21．[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
21．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，
所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)，
|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．
又直线l ′的斜率为－m，
所以l ′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，
并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故线段MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|＝.
由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即
4(m2＋1)2＋＋＝
，
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，
故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

19．、[2014·安徽卷] 如图14，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1＞0)和E2：y2＝2p2x(p2＞0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．

图14
(1)证明：A1B1∥A2B2；
(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．
19．解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，
则由得A1，
由得A2.
同理可得B1，B2.
所以＝＝2p1，
＝＝2p2.
故＝，所以A1B1∥A2B2
(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2，所以△A1B1C1∽△A2B2C2，
因此＝.
又由(1)中的＝||知，＝，
故＝.
19．[2014·北京卷] 已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
19．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.
故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：
设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，
其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以·＝0，
即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.
当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，
得t＝±，
故直线AB的方程为x＝±.圆心O到直线AB的距离d＝，
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)，
即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.
圆心O到直线AB的距离
d＝.
又x＋2y＝4，t＝－，故
d＝＝＝.
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
19．[2014·福建卷] 已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.
(1)求双曲线E的离心率．
(2)如图16，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．

图16
19．解：方法一：
(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，
所以＝2，
所以＝2，
故c＝a，
从而双曲线E的离心率
e＝＝.
(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，

所以|OC|·|AB|＝8，
因此a·4a＝8，解得a＝2，
此时双曲线E的方程为－＝1.
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y1＝，同理得y2＝.
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得
·＝8，
即m2＝4＝4(k2－4)．
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.
因为4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．
又因为m2＝4(k2－4)，
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
方法二：(1)同方法一．
(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
依题意得－由得y1＝，同理得y2＝.
设直线l与x轴相交于点C，则C(t，0)．
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|＝8，得|t|·＝8.
所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．
由得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.
因为4m2－1<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，即4m2a2＋t2－a2＝0, 即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，即(1－4m2)(a2－4)＝0，
所以a2＝4，
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
方法三：(1)同方法一．
(2)当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得k>2或k<－2.
由得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0，
因为4－k2<0，Δ>0，所以x1x2＝，
又因为△OAB的面积为8，
所以 |OA|·|OB|· sin∠AOB＝8，又易知sin∠AOB＝，
所以·＝8，化简得x1x2＝4.
所以＝4，即m2＝4(k2－4)．
由(1)得双曲线E的方程为－＝1，
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0.
因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，
即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4，
所以双曲线E的方程为－＝1.
当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－＝1有且只有一个公共点．
综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
20．[2014·广东卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
21．、、[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
21．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，
化简整理得y2＝2(|x|＋x)．
故点M的轨迹C的方程为y2＝
(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0)．
依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①
当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.
当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②
设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③
(i)若由②③解得k<－1或k>.
即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
(ii)若或
由②③解得k∈或－≤k<0.
即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点．
当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．
故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．
(iii)若由②③解得－1 即当k∈∪时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．
综上可知，当k∈∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．
21．[2014·湖南卷] 如图17，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.
(1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

图17
21．解： (1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b，0)，
F4(b，0)，于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.

(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.
易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.
因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.
由得(2－m2)x2＝4，所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，从而|PQ|＝2＝2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.
又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.
故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝＝2·.
而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取最小值2.
综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.
20．[2014·江西卷] 如图17所示，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．

图17
(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．
20．解：(1)设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝.
由题意，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，所以B.
又直线OA的方程为y＝x，
则A，所以kAB＝＝.
又因为AB⊥OB，所以·＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y0≠0)．
因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x＝的交点为N，，
则＝＝＝
·.
又P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，
代入上式得＝·＝·＝，所以＝＝，为定值．
20．[2014·辽宁卷] 圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图16所示)．双曲线C1：－＝1过点P且离心率为.

图16

(1)求C1的方程；
(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点．若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
20．解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为，.故其围成的三角形的面积S＝··＝.由x＋y＝4≥2x0y0知，当且仅当x0＝y0＝时x0y0有最大值2，此时S有最小值4，因此点P的坐标为(，)．
由题意知
解得a2＝1，b2＝2，故C1的方程为x2－＝1.
(2)由(1)知C2的焦点坐标为(－，0)，(，0)，由此可设C2的方程为＋＝1，其中b1>0.
由P(，)在C2上，得＋＝1，
解得b＝3，
因此C2的方程为＋＝1.
显然，l不是直线y＝0.
设直线l的方程为x＝my＋，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(m2＋2)y2＋2 my－3＝0.
又y1，y2是方程的根，因此
②

由x1＝my1＋，x2＝my2＋，得

因为＝(－x1，－y1)，＝(－x2，－y2)，由题意知·＝0，
所以x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋4＝0，⑤
将①②③④代入⑤式整理得
2m2－2 m＋4 －11＝0，
解得m＝－1或m＝－＋1.
因此直线l的方程为
x－(－1)y－＝0或x＋(－1)y－＝0.
20．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
20．解：(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，
故可设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，
x1，2＝，
从而|PQ|＝|x1－x2|
＝.
又点O到直线l的距离d＝.
所以△OPQ的面积
S△OPQ＝d·|PQ|＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，满足Δ>0，
所以，当△OPQ的面积最大时，k＝±，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
10．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
10．D　[解析] 抛物线的焦点为F，则过点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝，即x＝y＋，代入抛物线方程得y2－3 y－＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3 ，y1y2＝－，则S△OAB＝|OF||y1－y2|＝××＝.
20．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝
5|F1N|，求a，b.
20．解：(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1，
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
21．[2014·山东卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
(1)求C的方程．
(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.
①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．
②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
21．解：(1)由题意知F.
设D(t，0)(t>0)，则FD的中点为.
因为|FA|＝|FD|，
由抛物线的定义知3＋＝，
解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．
由＝3，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)①证明：由(1)知F(1，0)．
设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0)．
因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，
由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2，0)．
故直线AB的斜率kAB＝－.
因为直线l1和直线AB平行，
设直线l1的方程为y＝－x＋b，
代入抛物线方程得y2＋y－＝0，
由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.
设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.
当y≠4时，kAE＝＝－＝，
可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)，
由y＝4x0，
整理可得y＝(x－1)，
直线AE恒过点F(1，0)．
当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)．
所以直线AE过定点F(1，0)．
②由①知，直线AE过焦点F(1，0)，
所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.
设直线AE的方程为x＝my＋1，
因为点A(x0，y0)在直线AE上，
故m＝.
设B(x1，y1)．
直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，
由y0≠0，得x＝－y＋2＋x0.
代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0，
所以y0＋y1＝－，
可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.
所以点B到直线AE的距离为
d＝
＝
＝4，
则△ABE的面积S＝×4x0＋＋2≥16，
当且仅当＝x0，即x0＝1时，等号成立．
所以△ABE的面积的最小值为16.
20．[2014·陕西卷] 如图15所示，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．

图15
20．解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．
设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2，
∴a＝2，b＝1.
(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C1的方程，整理得
(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)
设点P的坐标为(xP，yP)，
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．
由求根公式，得xP＝，从而yP＝，
∴点P的坐标为.
同理，由
得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．
∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．
∵AP⊥AQ，
∴AP·AQ＝0，即[k－4(k＋2)]＝0，
∵k≠0，
∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.
经检验，k＝－符合题意，
故直线l的方程为y＝－(x－1)．
方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．
20．，，[2014·四川卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；
②当最小时，求点T的坐标．
20．解：(1)由已知可得
解得a2＝6，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
设M为PQ的中点，则M点的坐标为.
所以直线OM的斜率kOM＝－，
又直线OT的斜率kOT＝－，
所以点M在直线OT上，
因此OT平分线段PQ.
②由①可得，
|TF|＝，
|PQ|＝
＝
＝
＝.
所以＝＝
≥＝.
当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．
故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．

18．[2014·天津卷] 设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
18．解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)．
由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.
又b2＝a2－c2，则＝，
所以椭圆的离心率e＝.
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.
故椭圆方程为＋＝1.
设P(x0，y0)．由F1(－c，0)，B(0，c)，
有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．
由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.
又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①
又因为点P在椭圆上，
所以＋＝1.②
由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c.代入①得y0＝，即点P的坐标为.
设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝c.
设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.由l与圆相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±，
所以直线l的斜率为4＋或4－.
21．、[2014·浙江卷] 如图16，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．
(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.

图16
21．解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，由消去y得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0.
由于l与C只有一个公共点，故Δ＝0，即b2－m2＋a2k2＝0，解得点P的坐标为.
又点P在第一象限，故点P的坐标为P.
(2)由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的距离d＝，
整理得d＝.
因为a2k2＋≥2ab，所以≤＝a－b，
当且仅当k2＝时等号成立．
所以，点P到直线l1的距离的最大值为a－b.

H9　曲线与方程
10．、[2014·安徽卷] 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acos θ＋bsin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0＜r≤|PQ|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则(　　)
A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R
10．A

21．[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
21．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，
化简整理得y2＝2(|x|＋x)．
故点M的轨迹C的方程为y2＝
(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0)．
依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①
当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.
当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②
设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③
(i)若由②③解得k<－1或k>.
即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
(ii)若或
由②③解得k∈或－≤k<0.
即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点．
当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．
故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．
(iii)若由②③解得－1 即当k∈∪时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．
综上可知，当k∈∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．

H10 单元综合
9．[2014·江西卷] 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)
A.π B.π C．(6－2)π D.π
9．A　.

21．[2014·湖南卷] 如图17，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.
(1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

图17
21．解： (1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b，0)，
F4(b，0)，于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.

(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.
易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.
因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.
由得(2－m2)x2＝4，所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，从而|PQ|＝2＝2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.
又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.
故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝＝2·.
而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取最小值2.
综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.
20．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
20．解：(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，
故可设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，
x1，2＝，
从而|PQ|＝|x1－x2|
＝.
又点O到直线l的距离d＝.
所以△OPQ的面积
S△OPQ＝d·|PQ|＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，满足Δ>0，
所以，当△OPQ的面积最大时，k＝±，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
20．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝
5|F1N|，求a，b.
20．解：(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1，
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
21．[2014·山东卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
(1)求C的方程．
(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.
①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．
②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
21．解：(1)由题意知F.
设D(t，0)(t>0)，则FD的中点为.
因为|FA|＝|FD|，
由抛物线的定义知3＋＝，
解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．
由＝3，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)①证明：由(1)知F(1，0)．
设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0)．
因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，
由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2，0)．
故直线AB的斜率kAB＝－.
因为直线l1和直线AB平行，
设直线l1的方程为y＝－x＋b，
代入抛物线方程得y2＋y－＝0，
由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.
设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.
当y≠4时，kAE＝＝－＝，
可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)，
由y＝4x0，
整理可得y＝(x－1)，
直线AE恒过点F(1，0)．
当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)．
所以直线AE过定点F(1，0)．
②由①知，直线AE过焦点F(1，0)，
所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.
设直线AE的方程为x＝my＋1，
因为点A(x0，y0)在直线AE上，
故m＝.
设B(x1，y1)．
直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，
由y0≠0，得x＝－y＋2＋x0.
代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0，
所以y0＋y1＝－，
可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.
所以点B到直线AE的距离为
d＝
＝
＝4，
则△ABE的面积S＝×4x0＋＋2≥16，
当且仅当＝x0，即x0＝1时，等号成立．
所以△ABE的面积的最小值为16.