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中考冲刺-数学-第2课 整式及其运算
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这是一份中考冲刺-数学-第2课 整式及其运算，共12页。PPT课件主要包含了第2课整式及其运算，考点跟踪训练等内容，欢迎下载使用。
要点梳理 1．单项式：由数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做次数，数字因数叫做系数． 2．多项式：由几个单项式组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项． 3．整式：单项式与多项式统称为整式． 4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 5．幂运算法则： (1)同底数幂相乘： (2)幂的乘方： (3)积的乘方： (4)同底数幂相除：
6．整式乘法： 单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 单项式乘多项式：m(a＋b)＝ ma＋mb． 多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ ac+ad+bc+bd． 7．乘法公式： (1)平方差公式： (2)完全平方公式： 8．整式除法：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因子，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加．
温馨提醒：请同学们在课前完成客观题训练考点巩固测试例1.(1)计算：a2＋3a2＝ ( )A．3a2 B．4a2 C．3a4 D．4a4(2)下列运算正确的是 ( )A．－2(a－b)＝－2a－b B．－2(a－b)＝－2a＋bC．－2(a－b)＝－2a－2b D．－2(a－b)＝－2a＋2b (3)计算：3(2xy－y)－2xy
解析 a2＋3a2＝(1＋3)a2＝4a2，合并同类项，只是把系数相加减，字母及字母的指数均不变，故选B.
解析 －2(a－b)＝－2a＋2b，去括号法则，利用分配律，故选D.
解 3(2xy－y)－2xy＝6xy－3y－2xy＝4xy－3y.
感悟提高整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号．只要算式中没有同类项，就是最后的结果．变式训练 (1)(2011·义乌) 下列计算正确的是 ( )A．x2＋x4＝x6 B．2x＋3y＝5xy C．x6÷x3＝x2 D．(x3)2＝x6 解析 (x3)2＝x3×2＝x6.(2)(2013·台州) 化简(－4x＋8)－3(4－5x)，可得下列哪一个结果？ ( )A．－16x－10 B．－16x－4 C．56x－40 D．14x－10解析 原式＝－x＋2－12＋15x＝14x－10.
感悟提高(1)判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含数字的单项式也是同类项；(2)只有同类项才可以合并．变式训练 (1)(2012·梅州) 若代数式－4x6y与x2ny是同类项，则常数n的值为________．解析 ∵代数式－4x6y与x2ny是同类项，∴2n＝6，n＝3. (2)(2012·桂林) 计算2xy2＋3xy2的结果是 ( )A．5xy2 B．xy2 C．2x2y4 D．x2y4解析 2xy2＋3xy2＝(2＋3)xy2＝5xy2.
例2.若－4xay＋x2yb＝－3x2y，则a＋b＝________．解析 －4xay＋x2yb＝－3x2y，可知－4xay，x2yb，－3x2y是同类项，则a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.
例3. (2012·东营) 若3x＝4，9y＝7，则3x－2y的值为 ( )9y＝7，∴3x－2y＝3x÷32y＝3x÷(32)y＝3x÷9y＝4÷7＝感悟提高(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．变式训练3 (2012·临沂) 下列计算正确的是 ( )A．2a2＋4a2＝6a4 B．(a＋1)2＝a2＋1 C．(a2)3＝a5 D．x7÷x5＝x2解析 A．2a2＋4a2＝6a2，所以A选项不正确；B．(a＋1)2＝a2＋2a＋1，所以B选项不正确；C．(a2)3＝a6，所以C选项不正确；D．x7÷x5＝x2，所以D选项正确． .
例4.(2013·山东) 先化简，再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－ .解 原式＝4x2－9－4x2＋4x＋x2－4x＋4＝x2－5.当x＝－ 时，原式＝(－ )2－5＝3－5＝－2.感悟提高注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算．另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．变式训练 (2012·安徽) 计算：(a＋3)(a－1)＋a(a－2)解 原式＝a2－a＋3a－3＋a2－2a＝2a2－3.解析 根据整式的乘法法则，多项式乘多项式时，用其中一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；单项式乘多项式，可以按照乘法分配率进行；最后再根据合并同类项法则进行整式加减运算．
例5. (1)(2012·丽水) 已知A＝2x＋y，B＝2x－y，计算A2－B2.解 A2－B2＝(2x＋y)2－(2x－y)2＝(4x2＋4xy＋y2)－(4x2－4xy＋y2)＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋4xy－y2＝8xy.(2)已知x2＋y2＝25，x＋y＝7，且x>y，求x－y的值．解 ∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy，∴2xy＝(x＋y)2－(x2＋y2)＝72－25＝24，∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝25－24＝1.∵x>y，x－y>0，∴x－y＝ ＝1.感悟提高(1)算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，任何时候都要遵循先化简，再求值的原则；(2)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形：①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.注意公式的变式及整体代入的思想．
变式训练(2012·杭州) 化简：2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]．若m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？解 2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]＝2(m2－m＋m2＋m)(m2－m－m2－m)＝－8m3.原式＝(－2m)3，表示3个－2m相乘；或者说是一个立方数，8的倍数等．
要点梳理 1．单项式：由数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做次数，数字因数叫做系数． 2．多项式：由几个单项式组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项． 3．整式：单项式与多项式统称为整式． 4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 5．幂运算法则： (1)同底数幂相乘： (2)幂的乘方： (3)积的乘方： (4)同底数幂相除：
6．整式乘法： 单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 单项式乘多项式：m(a＋b)＝ ma＋mb． 多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ ac+ad+bc+bd． 7．乘法公式： (1)平方差公式： (2)完全平方公式： 8．整式除法：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因子，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加．
温馨提醒：请同学们在课前完成客观题训练考点巩固测试例1.(1)计算：a2＋3a2＝ ( )A．3a2 B．4a2 C．3a4 D．4a4(2)下列运算正确的是 ( )A．－2(a－b)＝－2a－b B．－2(a－b)＝－2a＋bC．－2(a－b)＝－2a－2b D．－2(a－b)＝－2a＋2b (3)计算：3(2xy－y)－2xy
解析 a2＋3a2＝(1＋3)a2＝4a2，合并同类项，只是把系数相加减，字母及字母的指数均不变，故选B.
解析 －2(a－b)＝－2a＋2b，去括号法则，利用分配律，故选D.
解 3(2xy－y)－2xy＝6xy－3y－2xy＝4xy－3y.
感悟提高整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号．只要算式中没有同类项，就是最后的结果．变式训练 (1)(2011·义乌) 下列计算正确的是 ( )A．x2＋x4＝x6 B．2x＋3y＝5xy C．x6÷x3＝x2 D．(x3)2＝x6 解析 (x3)2＝x3×2＝x6.(2)(2013·台州) 化简(－4x＋8)－3(4－5x)，可得下列哪一个结果？ ( )A．－16x－10 B．－16x－4 C．56x－40 D．14x－10解析 原式＝－x＋2－12＋15x＝14x－10.
感悟提高(1)判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含数字的单项式也是同类项；(2)只有同类项才可以合并．变式训练 (1)(2012·梅州) 若代数式－4x6y与x2ny是同类项，则常数n的值为________．解析 ∵代数式－4x6y与x2ny是同类项，∴2n＝6，n＝3. (2)(2012·桂林) 计算2xy2＋3xy2的结果是 ( )A．5xy2 B．xy2 C．2x2y4 D．x2y4解析 2xy2＋3xy2＝(2＋3)xy2＝5xy2.
例2.若－4xay＋x2yb＝－3x2y，则a＋b＝________．解析 －4xay＋x2yb＝－3x2y，可知－4xay，x2yb，－3x2y是同类项，则a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.
例3. (2012·东营) 若3x＝4，9y＝7，则3x－2y的值为 ( )9y＝7，∴3x－2y＝3x÷32y＝3x÷(32)y＝3x÷9y＝4÷7＝感悟提高(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．变式训练3 (2012·临沂) 下列计算正确的是 ( )A．2a2＋4a2＝6a4 B．(a＋1)2＝a2＋1 C．(a2)3＝a5 D．x7÷x5＝x2解析 A．2a2＋4a2＝6a2，所以A选项不正确；B．(a＋1)2＝a2＋2a＋1，所以B选项不正确；C．(a2)3＝a6，所以C选项不正确；D．x7÷x5＝x2，所以D选项正确． .
例4.(2013·山东) 先化简，再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－ .解 原式＝4x2－9－4x2＋4x＋x2－4x＋4＝x2－5.当x＝－ 时，原式＝(－ )2－5＝3－5＝－2.感悟提高注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算．另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．变式训练 (2012·安徽) 计算：(a＋3)(a－1)＋a(a－2)解 原式＝a2－a＋3a－3＋a2－2a＝2a2－3.解析 根据整式的乘法法则，多项式乘多项式时，用其中一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；单项式乘多项式，可以按照乘法分配率进行；最后再根据合并同类项法则进行整式加减运算．
例5. (1)(2012·丽水) 已知A＝2x＋y，B＝2x－y，计算A2－B2.解 A2－B2＝(2x＋y)2－(2x－y)2＝(4x2＋4xy＋y2)－(4x2－4xy＋y2)＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋4xy－y2＝8xy.(2)已知x2＋y2＝25，x＋y＝7，且x>y，求x－y的值．解 ∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy，∴2xy＝(x＋y)2－(x2＋y2)＝72－25＝24，∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝25－24＝1.∵x>y，x－y>0，∴x－y＝ ＝1.感悟提高(1)算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，任何时候都要遵循先化简，再求值的原则；(2)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形：①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.注意公式的变式及整体代入的思想．
变式训练(2012·杭州) 化简：2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]．若m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？解 2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]＝2(m2－m＋m2＋m)(m2－m－m2－m)＝－8m3.原式＝(－2m)3，表示3个－2m相乘；或者说是一个立方数，8的倍数等．
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