中考冲刺-数学-第15课 函数的应用

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要点梳理1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量； (2)建立变量与变量之间的函数关系； (3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义； (4)利用函数的性质解决问题； (5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．
考点巩固测试 1.　(2013·衢州) 2012年9月衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y(米)与施工时间x(天)之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙工程队每天修公路多少米？(2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y(米)与施工时间x(天)之间的函数关系式；(3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？分析　(1)根据图形用乙工程队修公路的总路程除以天数，即可得出乙工程队每天修公路的米数；(2)根据函数的图象运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；(3)先求出该公路总长，再设出需要x天完成，根据题意列出方程组，求出x，即可得出该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需要的天数．
解　(1)由图得：720÷(9－3)＝120(米)．答：乙工程队每天修公路120米． (2)设y乙＝kx＋b，所以y乙＝120x－360.当x＝6时，y乙＝360.设y甲＝kx，则360＝6k，k＝60，所以y甲＝60x.(3)当x＝15时，y甲＝900，所以该公路总长为：720＋900＝1620(米)．设甲乙两队合作需Z天完成，由题意得：(120＋60)Z＝1620，解得：Z＝9.答：该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需9天完成．感悟提高此题考查一次函数的应用；数形结合得到所在函数解析式上的点及相关函数解析式是解决本题的突破点．
变式测试1　(2012·黄石) 某楼盘一楼是车库(暂不销售)，二楼至二十三楼均为商品房(对外销售)．商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：方案一：购买者先交纳首付金额(商品房总价的30%)，再办理分期付款(即贷款)．方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费(已知每月物业管理费为a元)．(1)请写出每平方米售价y(元/米2)与楼层x(2≤x≤23，x是正整数)之间的函数解析式；(2)小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？(3)有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体的数据阐明你的看法．　　　解　(1)①当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：　　　3000－(8－x)×20＝20x＋2840 (元/平方米)；　　　②当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：　　　3000＋(x－8)×40＝40x＋2680(元/平方米)．　　　∴y＝20x+2840(2≤x≤8,x为正整数),　　　40x+2680(8＜x≤23,x为正整数).(2)由(1)知： ①当2≤x≤8时，小张首付款为(20x＋2840)×120×30%＝36(20x＋2840)≤36(20×8＋2840)＝108000元＜120000元，∴2～8层可任选．
②当9≤x≤23时，小张首付款为(40x＋2680)×120×30%＝36(40x＋2680)元，36(40x＋2680)≤120000， 解得：∵x为正整数，∴9≤x≤16.综上：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．(3)若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：y1＝(40×16＋2680)×120×92%－60a(元)．若按老王的想法则要交房款为：y2＝(40×16＋2680)×120×91%(元)．∵y1－y2＝3984－60a，当y1＞y2即y1－y2＞0时，解得0＜a＜66.4，此时老王想法正确；当y1≤y2即y1－y2≤0时，解得a≥66.4，此时老王想法不正确．
2.水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系．　　　(1)写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；　　　(2)在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计要用多少天可以全部售出？解　(1)函数解析式为 表格空白处：300，50.
(2)2014－(30＋40＋48＋50＋60＋80＋96＋100)＝1600，即8天试销后，余下的海产品还有1600千克．当x＝150时，12000/150＝80，1600÷80＝20(天)．答：余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出．感悟提高　　问题中已经给出了基本数量关系，由此可确定函数关系式．利用函数关系解题时，要理解已知数的意义，弄清已知数对应的是自变量还是函数值，正确代入．变式测试2　人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中的司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为50 km/h时，视野为80度．如果视野f(度)是车速v (km/h)的反比例函数，求f、v之间的关系式，并计算当车速为100 km/h时视野的度数．　　　解　f、v之间的关系式f＝4000/v.　　　当v＝100时，f＝4000/100＝40.　　　答：当车速为100 km/h时，视野的度数为40度．
3.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．　　(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；　　(2)求这条抛物线的解析式；　　(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？　　　解　(1)M(12，0)，P(6，6)．　　　(2)设抛物线为y＝a(x－6)2＋6，　　　∵抛物线y＝a(x－6)2＋6经过点(0，0)，　　　 ∴0＝a(0－6)2＋6，36a＝－6， 　　　∴抛物线解析式为：
感悟提高　　根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题．建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于特殊位置，这样便于解题．变式测试3　如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？
4.我市某工艺厂为配合伦敦奥运，设计了一款成本为20元/件的工艺品投入市场进行试销，得到如下数据：(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在右面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；　　　　　　
解　画图，由图可猜想y是x的一次函数，设y＝kx＋b，　　　∵图象过(30，500)，(40，400)这两点，　　　 解得k=-10,b=800　　　∴y＝－10x＋800.(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？(利润＝销售总价－成本总价)解 设该工艺厂试销工艺品每天获得的利润是W元．∴W＝(x－20)(－10x＋800)＝－10x2＋1000x－16000＝－10(x－50)2＋9000.当x＝50时，W有最大值9000.∴当销售单价定为50元/件时，工艺厂每天获得的利润最大，最大利润9000元．(3)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？解 W＝－10(x－50)2＋9000，当x≤45时，W值随x的增大而增大，∴当销售单价定为45元/件时，工艺厂每天获得的利润最大．感悟提高建立合适的函数模型，利用已知条件求出函数解析式，根据函数性质解答问题
变式测试4　(2013·盐城) 利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息：　　请根据以上信息，解答下列问题： (1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？
解　(1)设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元．答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．(2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则s＝(1－m)(500＋100×)＋(5－3－m)(300＋100×)＝－2000m2＋2200m＋1100＝－2000(m－0.55)2＋1705.∴当m＝0.55时，s有最大值，最大值为1705.答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元．