中考冲刺-数学-第21课三角形和全等三角形

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要点梳理1．三角形边、角关系： 三角形的任何两边之和大于第三边；三角形的内角和等于180° ．2．三角形的分类：　　按角可分为直角三角形和斜三角形 ，按边可分为不等边三角形 和等边三角形．3．三角形中的主要线段：　 (1)角平分线：一个角的顶点和这个角的平分线与对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形三条角平分线的交点，则叫三角形的内心，它到各边的距离相等．　　　(2)中线：连结三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线；三角形三条中线的交点，叫三角形的重心．　　　(3)高：三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高；三角形三条高线的交点，叫三角形的垂心．　　　(4)中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．
第21课　三角形与全等三角形
4．外心：　　　三角形三边的中垂线的交点，叫三角形的外心，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点．5．全等三角形的性质和判定：　　　(1)性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．注意：全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等. 　　　(2)判定：　　　①两边和夹角 对应相等的两个三角形全等(SAS)；　　　②两角和夹边 对应相等的两个三角形全等(ASA)；　　　③两角和其中一角的对边 对应相等的两个三角形全等(AAS)；　　　④三边 对应相等的两个三角形全等(SSS)；　　　⑤斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等(HL)．
考点巩固测试 1.(1)(2012·金华) 如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是 (　　)　　　A．2 B．3 C．4 D．8解析　由题意，令第三边为x，则5－3＜x＜5＋3，即2＜x＜8，∵第三边长为偶数，∴第三边长是4或6，∴三角形的三边长可以为3、5、4.(2)已知等腰三角形的一边长等于12 cm，腰长是底边长的 ，则它的周长是多少？解　①当12 cm的边是三角形的腰长时，则底边＝12÷ ＝16，三角形的周长＝12＋12＋16＝40(cm)；②当12 cm的边是三角形的底边时，则腰长＝12× ＝9，三角形的周长＝12＋9＋9＝30(cm)．答：三角形的周长等于40 cm或30 cm.
感悟提高　　三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a、b，可确定三角形第三边长c的取值范围|a－b| < c < a＋b.变式测试(1)(2013·青海) 等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为________．解析　∵4＋4＝8∠BDC>∠BAC.
3.　已知命题：点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．证明　AD＝BE，∠A＝∠FDE，无法判定△ABC≌△DEF，这是假命题．添上一个条件，比如AC＝DF.∵AD＝BE，∴AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE.又∵∠A＝∠FDE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF(SAS)．亦可添加：∠C＝∠F或∠ABC＝∠E.感悟提高　　本题可运用多种判定方法得到三角形全等的结论，但切记“两边一对角”是不能判定两个三角形全等的．
变式测试3　(2013·铜仁) 如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE＝CF，BE＝DF.求证：△ADE≌△CBF.　　　证明　∵AE∥CF，∴∠AED＝∠CFB.　　　∵DF＝BE，∴DF＋EF＝BE＋EF，　　　即DE＝BF.在△ADE和△CBF中，　　　　　　∴△ADE≌△CBF(SAS)．
　　4.　已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，ED⊥DF，求证：BE＋CF>EF.　　　 证明　延长ED到M，使DM＝ED，　　　连接CM、FM.∵D是BC的中点，　　　∴BD＝CD.在△EDB与△MDC中，　　　 ∴△EDB≌△MDC(SAS)，∴BE＝CM.　　　在△FMC中，CF＋CM>MF，　　　又∵ED⊥DF，ED＝DM，∴EF＝FM.　　　∴CF＋CM>EF，即CF＋BE>EF.感悟提高　　利用中线加倍延长法，把BE、CF、EF集中在一个三角形中，利用三角形的两边之和大于第三边来证．
　　变式测试4　(2011·浙江) 如图，点D、E分别在AC、AB上．　　　　　解　证明：(1) 连接BC.　　　∵BD＝CE，CD＝BE，BC＝CB，　　　∴△DBC≌△ECB(SSS)．　　　∴∠DBC＝∠ECB，　　　∴AB＝AC.(2)分别将“BD＝CE”记为①，“CD＝BE” 记为②，“AB＝AC”记为③.添加条件①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是命题2的_______命题，命题2是_______命题．(选择“真”或“假”填入空格)