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-安徽省合肥市庐江县2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷(word版 含答案)
展开1.下列二次根式中,最简二次根式是( )
A.B.C.D.
2.下列各式计算正确的是( )
A.B.C.D.
3.若=x﹣3成立,则满足的条件是( )
A.x>3B.x<3C.x≥3D.x≤3
4.若是整数,则正整数n的最小值是( )
A.4B.5C.6D.7
5.下列数据能作为直角三角形三边长的是( )
A.6,7,8B.1,,2C.5,12,14D.7,24,26
6.如图,下列四组条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB=CD,AD=BCB.AB∥CD,AB=CD
C.AB=CD,AD∥BCD.AB∥CD,AD∥BC
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2.以AB为一条边向三角形外部作正方形,则正方形的面积是( )
A.8B.12C.18D.20
8.计算的结果是( )
A.B.C.D.
9.如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为( )
A.4B.4C.10D.8
10.如图,已知菱形ABCD的边长为6,点M是对角线AC上的一动点,且∠ABC=120°,则MA+MB+MD的最小值是( )
A.B.3+3C.6+D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,D,E,F分别为AB,BC,AC的中点,已知DF=5,则AE= .
12.(5分)直角三角形的两边长分别是3cm、5cm,则第三边长 cm.
13.(5分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AH⊥BC于点H,已知BO=4,S菱形ABCD=24,则AH= .
14.(5分)已知a+b=﹣5,ab=1,则的值为 .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.(8分)计算:|﹣2|+•﹣6.
16.(8分)如图,小旭放风筝时,风筝线断了,风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度.于是他先拉住风筝线垂直到地面上,发现风筝线多出1米,然后把风筝线沿直线向后拉开5米,发现风筝线末端刚好接触地面(如图为示意图).请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.(8分)如图,6×6网格中每个小正方形的边长都为1,△ABC的顶点均为网格上的格点.
(1)AB= .BC= .AC= .
(2)∠ABC= °.
(3)在格点上是否存在点P,使∠APC=90°,请在图中标出所有满足条件的格点P(用P1、P2…表示)
18.(8分)学校操场边上一块空地(阴影部分)需要绿化,测出CD=6m,AD=8m,BC=24m,AB=26m,AD⊥CD,求需要绿化部分的面积.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.(10分)如图,将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长,分别至点E和点F,且使BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.
20.(10分)法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2=z2的方程,显然,这个方程有无数组解.我们把满足该方程的正整数的解(x,y,z)叫做勾股数,如(3,4,5)就是一组勾股数.
(1)在研究勾股数时,古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果n表示大于1的整数,x=2n,y=n2﹣1,z=n2+1,那么,以x,y,z为三边的三角形为直角三角形(即x,y,z为勾股数),请你加以证明;
(2)探索规律:观察下列各组数(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)…,直接写出第6个数组.
六、(本题满分12分)
21.(12分)如图,BD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥BC交AB于点E,DF∥AB交BC于点F.
(1)求证:四边形BEDF为菱形;
(2)如果∠A=100°,∠C=30°,求∠BDE的度数.
七、(本题满分12分)
22.(12分)如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.
(1)求证:△BCE≌△ADF;
(2)设▱ABCD的面积为6,求四边形AEDF面积.
八、(本题满分14分)
23.(14分)如图,正方形ABCD中,AC是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC上移动,另一边交DC于Q.
(1)如图1,当点Q在DC边上时,猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系;并加以证明;
(2)如图2,当点Q落在DC的延长线上时,猜想并写出PB与PQ满足的数量关系,请证明你的猜想.
2020-2021学年安徽省合肥市庐江县八年级(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.下列二次根式中,最简二次根式是( )
A.B.C.D.
【分析】直接利用二次根式的性质结合最简二次根式的定义分析得出答案.
【解答】解:A、=2,不是最简二次根式,不合题意;
B、是最简二次根式,符合题意;
C、=2,不是最简二次根式,不合题意;
D、=,不是最简二次根式,不合题意;
故选:B.
2.下列各式计算正确的是( )
A.B.C.D.
【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断;根据二次根式的乘法法则对C进行判断;根据二次根式的乘法法则对D进行判断.
【解答】解:A、与不能合并,所以A选项错误;
B、原式=,所以B选项错误;
C、原式=2×3=6,所以C选项错误;
D、原式==,所以D选项正确.
故选:D.
3.若=x﹣3成立,则满足的条件是( )
A.x>3B.x<3C.x≥3D.x≤3
【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案.
【解答】解:∵=x﹣3成立,
∴x﹣3≥0,
解得:x≥3.
故选:C.
4.若是整数,则正整数n的最小值是( )
A.4B.5C.6D.7
【分析】因为是整数,且==3,则7n是完全平方数,满足条件的最小正整数n为7.
【解答】解:∵==3,且是整数;
∴3是整数,即7n是完全平方数;
∴n的最小正整数值为7.
故选:D.
5.下列数据能作为直角三角形三边长的是( )
A.6,7,8B.1,,2C.5,12,14D.7,24,26
【分析】如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.根据勾股定理的逆定理即可判断.
【解答】解:A、62+72≠82,根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形,故不合题意;
B、12+()2=22,根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形,故符合题意;
C、122+52≠142,根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形,故不合题意;
D、72+242≠262,根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形,故不合题意;
故选:B.
6.如图,下列四组条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB=CD,AD=BCB.AB∥CD,AB=CD
C.AB=CD,AD∥BCD.AB∥CD,AD∥BC
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可.
【解答】解:A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不合题意;
B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不合题;
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形,故此选项符合题意;
D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不合题意;
故选:C.
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2.以AB为一条边向三角形外部作正方形,则正方形的面积是( )
A.8B.12C.18D.20
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:∵∠C=90°,AC=4,BC=2,
∴AB===2,
∴正方形的面积=AB2=(2)2=20,
故选:D.
8.计算的结果是( )
A.B.C.D.
【分析】先根据积的乘方得到原式=[(﹣)(+)]2020•(+),然后利用平方差公式计算.
【解答】解:原式=[(﹣)(+)]2020•(+)
=(2﹣3)2020•(+)
=+.
故选:A.
9.如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为( )
A.4B.4C.10D.8
【分析】连接AE,由线段垂直平分线的性质得出OA=OC,AE=CE,证明△AOF≌△COE得出AF=CE=5,得出AE=CE=5,BC=BE+CE=8,由勾股定理求出AB==4,再由勾股定理求出AC即可.
【解答】解:连接AE,如图:
∵EF是AC的垂直平分线,
∴OA=OC,AE=CE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠OAF=∠OCE,
在△AOF和△COE中,,
∴△AOF≌△COE(ASA),
∴AF=CE=5,
∴AE=CE=5,BC=BE+CE=3+5=8,
∴AB===4,
∴AC===4;
故选:A.
10.如图,已知菱形ABCD的边长为6,点M是对角线AC上的一动点,且∠ABC=120°,则MA+MB+MD的最小值是( )
A.B.3+3C.6+D.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E,连接BD,根据垂线段最短,此时DE最短,即MA+MB+MD最小,根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长,进而可得结论.
【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,连接BD,
∵菱形ABCD中,∠ABC=120°,
∴∠DAB=60°,AD=AB=DC=BC,
∴△ADB是等边三角形,
∴∠MAE=30°,
∴AM=2ME,
∵MD=MB,
∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE,
根据垂线段最短,此时DE最短,即MA+MB+MD最小,
∵菱形ABCD的边长为6,
∴DE===3,
∴2DE=6.
∴MA+MB+MD的最小值是6.
故选:D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,D,E,F分别为AB,BC,AC的中点,已知DF=5,则AE= 5 .
【分析】根据三角形中位线定理求出BC,根据直角三角形的性质解答即可.
【解答】解:∵D,F分别为AB,AC的中点,
∴DF是△ABC的中位线,
∴BC=2DF=10,
在Rt△ABC中,E为BC的中点,
∴AE=BC=5,
故答案为:5.
12.(5分)直角三角形的两边长分别是3cm、5cm,则第三边长 4或 cm.
【分析】分为两种情况,①当3cm和5cm都是直角边时;②当3cm为直角边和5cm为斜边时;根据勾股定理求出即可.
【解答】解:①当3cm和5cm都是直角边时,第三边为斜边,
由勾股定理得:第三边为=(cm);
②当3cm为直角边和5cm为斜边时,第三边为直角边,
由勾股定理得:第三边为=4(cm).
故答案为:4或.
13.(5分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AH⊥BC于点H,已知BO=4,S菱形ABCD=24,则AH= .
【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求AC,再根据勾股定理求出BC,然后由菱形的面积即可得出结果.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴BO=DO=4,AO=CO,AC⊥BD,
∴BD=8,
∵S菱形ABCD=AC×BD=24,
∴AC=6,
∴OC=AC=3,
∴BC==5,
∵S菱形ABCD=BC×AH=24,
∴AH=;
故答案为:.
14.(5分)已知a+b=﹣5,ab=1,则的值为 5 .
【分析】先把进行化简,再把a+b=﹣5,ab=1代入,即可求出答案.
【解答】解:∵a+b=﹣5,ab=1,
∴a<0,b<0,
∴=﹣﹣=﹣=﹣,
又∵a+b=﹣5,ab=1,
∴原式=﹣=5;
故答案为:5.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.(8分)计算:|﹣2|+•﹣6.
【分析】先进行二次根式的乘法运算,然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可.
【解答】解:原式=2﹣+﹣2
=2﹣+2﹣2
=2﹣.
16.(8分)如图,小旭放风筝时,风筝线断了,风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度.于是他先拉住风筝线垂直到地面上,发现风筝线多出1米,然后把风筝线沿直线向后拉开5米,发现风筝线末端刚好接触地面(如图为示意图).请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.
【分析】设AB=x,则AC=x+1,依据勾股定理即可得到方程x2+52=(x+1)2,进而得出风筝距离地面的高度AB.
【解答】解:设AB=x,则AC=x+1,
由图可得,∠ABC=90°,BC=5,
∴Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,
即x2+52=(x+1)2,
解得x=12,
答:风筝距离地面的高度AB为12米.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.(8分)如图,6×6网格中每个小正方形的边长都为1,△ABC的顶点均为网格上的格点.
(1)AB= .BC= 2 .AC= 5 .
(2)∠ABC= 90 °.
(3)在格点上是否存在点P,使∠APC=90°,请在图中标出所有满足条件的格点P(用P1、P2…表示)
【分析】(1)根据勾股定理即可求解;
(2)根据勾股定理的逆定理即可求解;
(3)根据题意找到满足∠APC=90°的格点P即可求解.
【解答】解:(1)AB==.BC==2.AC==5.
(2)∵()2+(2)2=52,
∴∠ABC=90°.
(3)如图所示:
18.(8分)学校操场边上一块空地(阴影部分)需要绿化,测出CD=6m,AD=8m,BC=24m,AB=26m,AD⊥CD,求需要绿化部分的面积.
【分析】根据勾股定理求出AC,根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°,根据三角形的面积公式计算,得到答案.
【解答】解:在Rt△ADC中,CD=6,AD=8,
由勾股定理得,AC===10,
在△ABC中,AC2+BC2=100+576=676,AB2=262=676,
∴AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,
∴需要绿化部分的面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积=×10×24﹣×6×8=96,
答:需要绿化部分的面积为96m2.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.(10分)如图,将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长,分别至点E和点F,且使BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.
【分析】由四边形ABCD是平行四边形易知OA=OC,OC=OD,再证得OE=OF,即可得出结论.
【解答】证明:连接AC,设AC与BD交于点O.如图所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
又∵BE=DF,
∴OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
20.(10分)法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2=z2的方程,显然,这个方程有无数组解.我们把满足该方程的正整数的解(x,y,z)叫做勾股数,如(3,4,5)就是一组勾股数.
(1)在研究勾股数时,古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果n表示大于1的整数,x=2n,y=n2﹣1,z=n2+1,那么,以x,y,z为三边的三角形为直角三角形(即x,y,z为勾股数),请你加以证明;
(2)探索规律:观察下列各组数(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)…,直接写出第6个数组.
【分析】(1)根据勾股定理的逆定理,可得答案.
(2)先找出每组勾股数与其组数的关系,找出规律,再根据此规律进行解答.
【解答】(1)证明:x2+y2
=(2n)2+(n2﹣1)2
=4n2+n4﹣2n2+1
=n4+2n2+1
=(n2+1)2
=z2,
即x,y,z为勾股数.
(2)∵①3=2×1+1,4=2×12+2×1,5=2×12+2×1+1;
②5=2×2+1,12=2×22+2×2,13=2×22+2×2+1;
③7=2×3+1,24=2×32+2×3,25=2×32+2×3+1;
④9=2×4+1,40=2×42+2×4,41=2×42+2×4+1;
⑤11=2×5+1,60=2×52+2×5,61=2×52+2×5+1,
则⑥13=2×6+1,2×62+2×6=84,2×62+2×6+1=85,
∴第6组勾股数是:(13,84,85).
六、(本题满分12分)
21.(12分)如图,BD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥BC交AB于点E,DF∥AB交BC于点F.
(1)求证:四边形BEDF为菱形;
(2)如果∠A=100°,∠C=30°,求∠BDE的度数.
【分析】(1)由题意可证BE=DE,四边形BEDF是平行四边形,即可证四边形BEDF为菱形;
(2)由三角形内角和定理求出∠ABC=50°,由菱形的性质即可得出答案.
【解答】(1)证明:∵DE∥BC,DF∥AB
∴四边形DEBF是平行四边形
∵DE∥BC
∴∠EDB=∠DBF
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBF=∠ABC
∴∠ABD=∠EDB
∴DE=BE且四边形BEDF为平行四边形
∴四边形BEDF为菱形;
(2)解:∵∠A=100°,∠C=30°,
∴∠ABC=180°﹣100°﹣30°=50°,
∵四边形BEDF为菱形,
∴∠EDF=∠ABC=50°,∠BDE=∠EDF=25°.
七、(本题满分12分)
22.(12分)如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.
(1)求证:△BCE≌△ADF;
(2)设▱ABCD的面积为6,求四边形AEDF面积.
【分析】(1)利用ASA证明:△BCE≌△ADF;
(2)根据点E在▱ABCD内部,可知:S△BEC+S△AED=S▱ABCD,可得结论.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∵AF∥BE,
∴∠EBA+∠BAF=180°,
∴∠CBE=∠DAF,
同理得∠BCE=∠ADF,
在△BCE和△ADF中,
,
∴△BCE≌△ADF(ASA);
(2)解:∵点E在▱ABCD内部,
∴S△BEC+S△AED=S▱ABCD,
由(1)知:△BCE≌△ADF,
∴S△BCE=S△ADF,
∴S四边形AEDF=S△ADF+S△AED=S△BEC+S△AED=S▱ABCD,
∵▱ABCD的面积为6,
∴四边形AEDF的面积为3.
八、(本题满分14分)
23.(14分)如图,正方形ABCD中,AC是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC上移动,另一边交DC于Q.
(1)如图1,当点Q在DC边上时,猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系;并加以证明;
(2)如图2,当点Q落在DC的延长线上时,猜想并写出PB与PQ满足的数量关系,请证明你的猜想.
【分析】(1)过P作PE⊥BC,PF⊥CD,证明Rt△PQF≌Rt△PBE,即可;
(2)证明思路同(1)
【解答】(1)PB=PQ,
证明:过P作PE⊥BC,PF⊥CD,
∵P,C为正方形对角线AC上的点,
∴PC平分∠DCB,∠DCB=90°,
∴PF=PE,
∴四边形PECF为正方形,
∵∠BPE+∠QPE=90°,∠QPE+∠QPF=90°,
∴∠BPE=∠QPF,
∴Rt△PQF≌Rt△PBE,
∴PB=PQ;
(2)PB=PQ,
证明:过P作PE⊥BC,PF⊥CD,
∵P,C为正方形对角线AC上的点,
∴PC平分∠DCB,∠DCB=90°,
∴PF=PE,
∴四边形PECF为正方形,
∵∠BPF+∠QPF=90°,∠BPF+∠BPE=90°,
∴∠BPE=∠QPF,
∴Rt△PQF≌Rt△PBE,
∴PB=PQ.
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