试卷 2021年中考数学二轮复习专项训练 专题15 二次函数的应用(含解析）（通用版）

这是一份试卷 2021年中考数学二轮复习专项训练 专题15 二次函数的应用(含解析）（通用版），共26页。试卷主要包含了单选题，五月份的月平均增长率为，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共20题；共40分）
1.山东全省2016年国庆假期旅游人数增长12.5%，其中尤其是乡村旅游最为火爆．泰山脚下的某旅游村，为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）
A. 140元 B. 150元 C. 160元 D. 180元
2.如图，平面直角坐标系中，A点坐标为（2，2），点P（m，n）在直线y=﹣x+2上运动，设△APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是（ ）
​
A. ​ B. ​ C. ​ D. ​
3.某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比．设它的边长为x厘米，当x=2时，y=16，那么当成本为72元时，边长为（ ）
A. 4厘米 B. 3 厘米 C. 2 厘米 D. 6厘米
4.将抛物线y=3x2先向上平移3个单位，再向左平移2个单位后得到的抛物线解析式为：（ ）
A. y=3（x+2）2+3 B. y=3（x-2）2+3 C. y=3（x+2）2-3 D. y=3（x-2）2-3
5.某电动自行车厂三月份的产量为1 000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为( )
A. 12.1% B. 20% C. 21% D. 10%
6.如图，正方形 边长为4个单位，两动点 、 分别从点 、 处，以1单位/ 、2单位/ 的速度逆时针沿边移动.记移动的时间为 ， 面积为 （平方单位），当点 移动一周又回到点 终止，同时 点也停止运动，则 与 的函数关系图象为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2=y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=45°，AB=6，点E、F、G分别是AB、BC、DC上的点，其中BE=DG=2，BF=1．点P从E点出发，以每秒2个单位长度沿折线EA﹣AD﹣DG运动；点Q以每秒1个单位沿折线FC﹣CG运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动，设△BPQ的面积为S，点P，Q的运动时间为t秒，则S与t的函数关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
10.正方形ABCD边长为1，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x. 则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
12.如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
13.如图，等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿AB﹣BC向点C运动，到达点C停止，设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
14.如图，∠BAC=60°，点O从A点出发，以2cm/s的速度沿∠BAC的角平分线向右运动，在运动过程中，以O为圆心的圆始终保持与∠BAC的两边相切，设⊙O的面积为S（cm2），则⊙O的面积S与圆心O运动的时间t（s）的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
15.如图，点 是以 为直径的半圆上的动点， 于点 ，连接 ，设 ，则下列函数图象能反映 与 之间关系的是（ ）
A. B.
C. D.
16.在平面直角坐标系 中，直线 （ 为常数）与抛物线 交于 ， 两点，且 点在 轴左侧， 点坐标为 ，连结 、 ，有以下说法：
① ；②当 时， 的值随 的增大而增大；③当 时， ；④ 面积的最小值为 ．其中正确的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
17.如图，正三角形ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度,沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为x(秒),y=PC2 ， 则y关于x的函数的图象大致是（ )
A. B. C. D.
18.如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2 ． 已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（ ）
A. AB：AD=3：4 B. 当△BPQ是等边三角形时，t=5秒
C. 当△ABE∽△QBP时，t=7秒 D. 当△BPQ的面积为4cm2时，t的值是 或 秒
19.如下图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线l：x=t（0≤t≤2）截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象只可能是（ ）
A. B. C. D.
20.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)图象的顶点为D ， 其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为－1，3．与y轴负半轴交于点C ， 在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c＞0；
③c＝－3a；④只有当a＝ 时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有三个．其中正确的结论是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（共20题；共21分）
21.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为________元．

22.学校组织“美丽校园我设计”活动．某同学打算利用学校文化墙的墙角建一个矩形植物园．其中矩形植物园的两邻边之和为4m，设矩形的一边长为 m，矩形的面积为 m2 ． 则函数 的表达式为________，该矩形植物园的最大面积是________ m2 ．
23.某体育用品商店购进一批滑板，每块滑板利润为30元，一星期可卖出80块．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价1元，则一星期可多卖出4块．设每块滑板降价x元，商店一星期销售这种滑板的利润是y元，则y与x之间的函数表达式为________．
24.如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为________米．
25.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0， ），C（4，0），其对称轴与x轴交于点D,若P为y轴上的一个动点，连接PD，则 的最小值为________.
26.如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过________m.
27.某水果店销售一批水果，平均每天可售出 ，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出 水果，则商店平均每天的最高利润为________元
28.如图，若被击打的小球飞行高度 （单位： ）与飞行时间 （单位： ）之间具有的关系为 ，则小球从飞出到落地所用的时间为________ .
29.如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降3米时，水面的宽度为________米？
30.如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是________（不写定义域）．
31.已知抛物线 交x轴于点A，B (B在x轴正半轴上），交y轴于点C，△ABC是等腰三角形，则a的值为________．
32.如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于A、B两点，交抛物线y＝ax2于点C(4，3)，且C是线段AB的中点，抛物线上另有位于第一象限内的一点P，过P的直线y＝k′x＋b′交坐标轴于D、E两点，且P恰好是线段DE的中点，若△AOB∽△DOE，则P点的坐标是________.
33.如图，抛物线 的图象与坐标轴交于点A ， B ， D ， 顶点为E ， 以AB为直径画半圆交y正半轴交于点C ， 圆心为M ， P是半圆上的一动点，连接EP ． ①点E在⊙M的内部；②CD的长为 ；③若P与C重合，则∠DPE＝15°；④在P的运动过程中，若AP＝ ，则PE＝ ⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是2π．其中结论正确的是________
34.如图，平面坐标内，矩形 的顶点 、 、 ，抛物线 经过点 ， ， 的半径为1，当圆心P在抛物线上从点P运动到点Q，则在整个运动过程中， 与矩形 只有一个公共点的情况共出现________次．
35.如图，已知抛物线 与直线y=2x+3交于点M（0，3）， A（a，15）．点B是抛物线上M，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线MA交于点C，E．以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），请写出m，n之间的关系式________ ．
36.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
37.如图，抛物线 与 轴交于 两点， 是以点 为圆心，2为半径的圆上的动点， 是线段 的中点，连结 .则线段 的最大值是________.
38.如图，抛物线 （m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线 与直线y=m+2有且只有一个交点；
②若点 点 、点 在该函数图象上，则 ；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为 ；
④点A关于直线x=1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为 ,其中正确判断的序号是________
39.如图，二次函数 的图象与x轴交于A ， B两点，与y轴交于点C ， 对称轴与x轴交于点D ， 若点P为y轴上的一个动点，连接PD ， 则 的最小值为________.
40.如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，点P的坐标为________．
三、解答题（共10题；共62分）
41.如图,抛物线与x轴交于A、C两点,与y轴交于B点．
（1）求△AOB的外接圆的面积；
（2）若动点P从点A出发,以每秒1个单位沿射线AC方向运动；同时,点Q从点B出发,以每秒0.5个单位沿射线BA方向运动,当点P到达点C处时,两点同时停止运动．问当t为何值时,以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？
（3）若M为线段AB上一个动点,过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．
问：是否存在这样的点M,使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．
42.某商场销售某种品牌的手机,每部进货价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时,平均每天能售出8部；而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4部.
（1）当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到多少元?
（2）若设每部手机降低x元,每天的销售利润为y元,试写出y与x之间的函数关系式．
（3）商场要想获得最大利润,每部手机的售价应订为为多少元？此时的最大利润是多少元？
43.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是y轴正半轴上的点，OD=3，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，
①试说明EF是圆的直径；
②判断△AEF的形状，并说明理由．
44.某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每天可销售40件商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件若每件商品降价 元，每天的利润为 元，请完成以下问题的解答．
（1）用含 的式子表示：①每件商品的售价为________元；②每天的销售量为________件；
（2）求出 与 之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？
45.已知直线y=x+6交x轴于点A，交y轴于点C，经过A和原点O的抛物线y=ax2+bx(a＜0）的顶点B在直线AC上.
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）以B点为圆心，以AB为半径作⊙B，将⊙B沿x轴翻折得到⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；
（3）若E为⊙B优弧ACO上一动点,连结AE、OE，问在抛物线上是否存在一点M，使∠MOA︰∠AEO=2︰3，若存在，试求出点M的坐标；若不存在，试说明理由.
46.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC＝α(60°≤α＜90°)．
(1)当α＝60°时，求CE的长；
(2)当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．
47.如图，平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x与x轴交于O、B两点，顶点为P，连接OP、BP，直线y=x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（Ⅰ）直接写出点B坐标 ；判断△OBP的形状 ；
（Ⅱ）将抛物线沿对称轴平移m个单位长度，平移的过程中交y轴于点A，分别连接CP、DP；
（i）若抛物线向下平移m个单位长度，当S△PCD= S△POC时，求平移后的抛物线的顶点坐标；
（ii）在平移过程中，试探究S△PCD和S△POD之间的数量关系，直接写出它们之间的数量关系及对应的m的取值范围．
48.”4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上．
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；
（2）求支柱MN的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由．

49.如图，平行四边形ABCO在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4），抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为S1 ， 右侧部分图形的面积记为S2 ， 求S1与S2的比．
（3）在y轴上取一点D，坐标是（0，），将直线OC沿x轴平移到O′C′，点D关于直线O′C′的对称点记为D′，当点D′正好在抛物线上时，求出此时点D′坐标并直接写出直线O′C′的函数解析式．
50.如图，抛物线y= x2﹣ x+c与y轴交于点A（0，﹣ ），与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，直线l∥AB且过点D．
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）请你判断△ABD的形状并证明你的结论；
（3）点E在线段AD上运动且与点A、D不重合，点F在直线l上运动，且∠BEF=60°，连接BF，求出△BEF面积的最小值．
解：
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
2.【答案】 B
3.【答案】 B
4.【答案】 A
5.【答案】 D
6.【答案】 D
7.【答案】 D
8.【答案】 C
9.【答案】 A
10.【答案】 C
11.【答案】 B
12.【答案】 A
13.【答案】 D
14.【答案】 D
15.【答案】 C
16.【答案】 D
17.【答案】 C
18.【答案】 D
19.【答案】 C
20.【答案】 C
二、填空题
21.【答案】 25
22.【答案】 ；4
23.【答案】 y=﹣4x2+40x+2400
24.【答案】 0.2
25.【答案】
26.【答案】 1.2
27.【答案】 180
28.【答案】 4
29.【答案】
30.【答案】 S＝﹣2x2+10x
31.【答案】 或 或
32.【答案】 ( ， )
33.【答案】 ②③④
34.【答案】 3
35.【答案】
36.【答案】 4 -4
37.【答案】 3.5
38.【答案】 ①③④
39.【答案】
40.【答案】 （0， ）
三、解答题
41.【答案】解：（1）∵,
∴当y=0时,,解得x=6或﹣8,
∴A（6,0）,B（0,－8）
∴OA＝6,OB＝8,∴AB＝10
∴S＝π·(5)2＝25π．
（2）AP＝t,AQ＝10－0.5t,易求AC=8,∴0≤t≤8
若△APQ∽△AOB,则．∴t＝．
若△AQP∽△AOB,则．∴t＝＞8（舍去,）．
∴当t＝时,以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似．
（3）直线AB的函数关系式为 ．
∵MN∥y轴
∴设点M的横坐标为x,则M（x,x－8）,N（x,x2－x－8）．
若四边形OMNB为平行四边形,则MN＝OB＝8
∴(x－8)－(x2－x－8)＝8
即x2－6x＋12＝0
∵△＜0,∴此方程无实数根,
∴不存在这样的点M,使得四边形OMNB恰为平行四边形．
42.【答案】 解：（1）当售价为2800元时,销售价降低100元,平均每天就能售出16部.
所以：这种手机平均每天的销售利润为：16×（2800-2500）=4800（元）；
（2）根据题意,得y=(2900-2500-x)(8+4×),
即y=x2+24x+3200；
（3）对于y=x2+24x+3200,
当x==150时,
y最大值=（2900-2500-150）（8+4×）=5000（元）
2900-150=2750（元）
所以,每台手机降价2750元时,商场每天销售这种手机的利润最大,最大利润是5000元．
43.【答案】 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），
∴有， 解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）按照题意画出图形，如下图，
①∵B点坐标（3，0）、C点坐标（0，﹣3），
∴OB=OC=3，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
又∵D是y轴正半轴上的点，OD=3，
∴△BOD为等腰直接三角形，
∴∠OBD=45°，
∠CBD=∠CBO+∠OBD=45°+45°=90°，
即∠FBE=90°，
∴EF是圆的直径．
②∵∠CBO=∠OBD=45°，∠AFE=∠OBD，∠AEF=∠CBO（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∴∠FAE=90°，AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形．
44.【答案】 （1）（145−x）；（40＋2x）
（2）根据题意可得：y＝（145−x−80−5）（2x＋40），＝−2x2＋80x＋2400，＝−2（x−20）2＋3200，
∵a＝−2＜0，
∴函数有最大值，
∴当x＝20时，y有最大值为3200元，此时售价为145−20＝125元，
∴售价为125元时利润最大，最大利润是3200元．
45.【答案】解：（1）根据题意知：A（﹣6，0），C（0，6）
∵抛物线y=ax2+bx（a＜0）经过A（﹣6，0），0（0，0）．
∴对称轴x=-=﹣3，b=6a…①
当x=﹣3时，代入y=x+6得y=﹣3+6=3，
∴B点坐标为（﹣3，3）．
∵点B在抛物线y=ax2+bx上，
∴3=9a﹣3b…②
结合①②解得a=﹣，b=﹣2，
∴该抛物线的函数关系式为y=﹣x2﹣2x；
（2）相切
理由：连接AD，
∵AO=OC
∴∠ACO=∠CAO=45°
∵⊙B与⊙D关于x轴对称
∴∠BAO=∠DAO=45°
∴∠BAD=90°
又∵AD是⊙D的半径，
∴AC与⊙D相切．
∵抛物线的函数关系式为y=﹣x2﹣2x，
∴函数顶点坐标为（﹣3，3），
由于D、B关于x轴对称，
则BD=3×2=6；
（3）存在这样的点M．
设M点的坐标为（x，y）
∵∠AEO=∠ACO=45°
而∠MOA：∠AEO=2：3
∴∠MOA=30°
当点M在x轴上方时，=tan30°=，
∴y=﹣x．
∵点M在抛物线y=﹣x2﹣2x上，
∴﹣x=﹣x2﹣2x，
解得x=﹣6+，x=0（不合题意，舍去）
∴M（﹣6+，﹣1+2）．
当点M在x轴下方时，=tan30°=，
∴y=x，
∵点M在抛物线y=﹣x2﹣2x上．
∴x=﹣x2﹣2x，
解得x=﹣6﹣，x=0（不合题意，舍去）．
∴M（﹣6﹣，﹣1﹣2），
∴M的坐标为（﹣6+，﹣1+2）或（﹣6﹣，﹣1﹣2）．
46.【答案】 解：(1)∵α＝60°，BC＝10，∴sinα＝，
即sin60°＝＝， 解得CE＝5；
(2)①存在k＝3，使得∠EFD＝k∠AEF.
理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，如图所示，∵F为AD的中点，
∴AF＝FD，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G＝∠DCF，在△AFG和△DFC中，
，
∴△AFG≌△DFC(AAS)，∴CF＝GF，AG＝DC，
∵CE⊥AB，
∴EF＝GF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠AEF＝∠G，
∵AB＝5，BC＝10，点F是AD的中点，
∴AG＝5，AF＝AD＝BC＝5，
∴AG＝AF，∴∠AFG＝∠G，
在△EFG中，∠EFC＝∠AEF＋∠G＝2∠AEF，
又∵∠CFD＝∠AFG(对顶角相等)，
∴∠CFD＝∠AEF，
∴∠EFD＝∠EFC＋∠CFD＝2∠AEF＋∠AEF＝3∠AEF，
因此，存在正整数k＝3，使得∠EFD＝3∠AEF；
②设BE＝x，∵AG＝CD＝AB＝5，
∴EG＝AE＋AG＝5－x＋5＝10－x，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2－BE2＝100－x2 ，
在Rt△CEG中，CG2＝EG2＋CE2＝(10－x)2＋100－x2＝200－20x，
∵CF＝GF(①中已证)，
∴CF2＝＝CG2＝(200－20x)＝50－5x，
∴CE2－CF2＝100－x2－50＋5x＝－x2＋5x＋50＝－＋50＋，
∴当x＝， 即点E是AB的中点时，
CE2－CF2取最大值，
此时，EG＝10－x＝10－＝，
CE＝＝＝，
所以，tan∠DCF＝tan∠G＝＝.
47.【答案】 解：（Ⅰ）当y=0时，x2﹣2x=0，解得x=0（舍）或x=2，即B点坐标为（2，0），
∵抛物线y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，
∴P点坐标为（1，﹣1），由勾股定理，得
OP2=（2﹣1）2+12=2，
∴OP2+BP2=OB2 ， OP=BP，
∴△OBP是等腰直角三角形，
故答案为：（2，0）；等腰直角三角形；
（Ⅱ）解：∵直线y=x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点D，
∴C（0，﹣4），D（4，0），当x=1时，y=﹣3，即M（1，﹣3），
抛物线向下平移m个单位长度，解析式为y=（x﹣1）2﹣（1+m），P（1，﹣1﹣m），
∴PM=|﹣（1+m）+3|=|m﹣2|，
S△PCD=S△PMC+S△PMD= •PM•|xP﹣xC|= •|m﹣2|×4=2|m﹣2|，
（i）S△POC= •AC•|xP|= ×4×1=2，∵S△PCD= S△POC ， ∴S△PCD=2|m﹣2|=2 ，解得m=2+ 或m=2﹣ ，∴P（1，﹣3﹣ ）或（1，﹣3+ ）；
（ii）S△POD= OD•|yP|= ×4×|1﹣（1+m）|=2|m+1|，
①当m≥2时，S△PCD=2|m﹣2|=2m﹣4，S△POD=2|m+1|=2m+2，∴S△POD﹣S△PCD=6
②当﹣1≤m＜2时，S△PCD=2|m﹣2=4﹣2m，S△POD=2|m+1|=2m+2，∴S△POD+S△PCD=6
③当m＜﹣1时，S△PCD=2|m﹣2|=4﹣2m，S△POD=2|m+1|=2﹣2m，∴S△POD﹣S△PCD=6，
综上所述：当m≥2时，S△POD﹣S△PCD=6；当﹣1≤m＜2时，S△POD+S△PCD=6；当m＜﹣1时，S△POD﹣S△PCD=6
48.【答案】 解：（1）根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．将B、C的坐标代入y=ax2+c，得解得a=﹣， c=6．所以抛物线的表达式是y=﹣x2+6；（2）可设N（5，yN），于是yN=﹣×52+6=4.5．从而支柱MN的长度是10﹣4.5=5.5米；（3）设DE是隔离带的宽，EG是三辆车最内侧与最外侧的宽度和，则G点坐标是（9，0），过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则yH=﹣×92+6=1.14＜2.4，根据抛物线的特点，可知一条行车道不能并排行驶这样的三辆汽车．
49.【答案】 解：（1）如图1，∵四边形ABCO是平行四边形，∴BC=OA，BC∥OA．∵A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4），∴点C的坐标为（2，4）．∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和C．∴． 解得：． ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6．（2）如图1，∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6．∴对称轴x=﹣=， 设OC所在直线的解析式为y=ax，∵点C的坐标为（2，4），∴2a=4，即a=2．∴OC所在直线的解析式为y=2x．当x=时，y=1，则点F为（， 1）．∴S2=EC•EF=×（2﹣）×（4﹣1）=． ∴S1=S四边形ABCO﹣S2=2×4﹣=． ∴S1：S2=：=23：9．∴S1与S2的比为23：9．（3）过点D作DM⊥CO，交x轴于点M，如图2，∵点C的坐标为（2，4），∴tan∠BOC=． ∵∠OMD=90°﹣∠MOC=∠BOC，∴tan∠OMD==． ∵点D的坐标是（0，），∴=， 即OM=7．∴点M的坐标为（7，0）．设直线DM的解析式为y=kx+b，则有， 解得：∴直线DM的解析式为y=﹣x+． ∵点D与点D′关于直线O′C′对称，∴DD′⊥O′C′，且DD′的中点在直线O′C′上．∵OC∥O′C′，∴DD′⊥OC．∴点D′是直线DM与抛物线的交点．联立解得：， ， ∴点D′的坐标为（﹣1，4）或（， ）．设直线O′C′的解析式为y=2x+c，①当点D′的坐标为（﹣1，4）时，如图3，线段DD′的中点为（， ）即（﹣， ），则有2×（﹣）+c=， 解得：c=． 此时直线O′C′的解析式为y=2x+． ②当点D′的坐标为（， ）时，如图4，同理可得：此时直线O′C′的解析式为y=2x+． 综上所述：当点D′的坐标为（﹣1，4）时，直线O′C′的解析式为y=2x+；当点D′的坐标为（， ）时，直线O′C′的解析式为y=2x+．
50.【答案】 （1）解：将A（0，﹣ ）代入抛物线解析式，得c=﹣ ，
∴y= x2﹣ x﹣ ，
当y=0时， x2﹣ x﹣ =0化简，得
x2﹣2x﹣3=0，
∵（x+1）（x﹣3）=0，
∴x1=﹣1，x2=3，
点B（﹣1，0），点C（3，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，将A、B点坐标代入函数解析式，得
，解得 ，
直线AB的解析式为y=﹣ x﹣
（2）解：△ABD是等边三角形，
∵点B（﹣1，0），点D（1，0），
∴OB=OD=1，
在△BOA和△DOA中， ，
∴△BOA≌△DOA，
∴BA=DA．
tan∠ABO= = = ，
∴∠ABO=60°，
∴△ABD是等边三角形
（3）如图
，
过点E作EG∥x轴，交AB于点G，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠AEG=∠AGE=60°，
∴△AEG是等边三角形，
∴AE=AG，∴DE=BG．
∵AB∥l，
∴∠EDF=∠BGE=120°，
∴∠GBE+∠GEB=60°，∠DEF+∠GEB=60°，
∴∠GBE=∠DEF，
在△BEG和△EFD中 ，
∴△BEG≌△EFD，
∴BE=EF，
∵∠BEF=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴S△BEF= BE2 ， 当BE⊥AD时，BE的长度最小，△BEF的面积最小，
此时BE=AB•sin60°= ，
S△BEF最小= BE2=