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贵州省贵阳市2020-2021学年高二上学期联合考试数学试题（word版 含答案）
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这是一份贵州省贵阳市2020-2021学年高二上学期联合考试数学试题（word版 含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列抽样问题中最适合用简单随机抽样法抽样的是（ ）
A．从全班46人中抽取6人参与一项问卷调查
B．某企业为了解该企业职工的身体健康情况，从职工（其中老年职工有180人，中青年职工有320人）中抽取50人进行体检
C．某灯泡厂从一条生产线上生产的10000个灯泡中抽取100个测试灯泡的使用时长
D．某市从参加高三第一次模拟考试的3000名考生中抽取120名考生分析试题作答情况
2．已知函数，则（ ）
A．1B．2C．4D．6
3．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．60B．120C．160D．240
4．阅读如图所示的程序框图，若输出y的值为5，则输入x的值是（ ）
A．2B．C．2或D．4或
5．一次性从装有3个红球，2个白球的盒子中随机抽取2个球，则抽取的2个球全是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知某地区有中学生9000人，其人数情况和近视情况分别如图1和图2所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该地区高中生近视的人数是1800
B．该地区初中生近视的人数是3600
C．该地区初中生近视的人数低于高中生近视的人数
D．该地区中学生近视的人数占总人数的45%
8．已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．31
9．已知数据的平均数是，方差是4，则数据的方差是（ ）
A．3.4B．3.6C．3.8D．4
10．某中学高三年级从A，B两班各选出5名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分：100分）的茎叶图如图所示．若从A，B两班参赛学生的成绩中各随机抽取1名学生的竞赛成绩，则A班学生成绩高于B班学生成绩的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在正方体中，E，F，G分别是棱AB，BC，的中点，过E，F，G三点的平面与正方体各个面所得交线围成的图形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
二、填空题
12．已知向量，，若，则__________．
13．已知两个变量x与y的数据统计结果如下表所示：
若y关于x的线性回归方程为，则___________．
14．执行如图所示的程序框图，输出的_________．
15．已知等边的边长为4，从内部任取一点P，则，，的面积都不大于的概率是___________．
三、解答题
16．某校数学兴趣小组的同学为了解某电子元件的使用时长(单位：小时)，从一批该电子元件中随机抽取100个进行调查，根据调查数据分为五组，得到的照率分布直方图如图所示．
（1）估计这批电子元件使用时长的中位数；
（2）若该电子元件的使用时长不低于400小时，则记为“一等品”，若这批电子元件有100000个，“一等品”的个数．
17．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积.
18．某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满100元，可参与一次抽奖，抽奖规则满足抽奖要求的顾客从有编号为1､2､3､4的四个小球(除数字不同外，其他完全相同)的抽奖箱中取球，每次取出一个小球记下球上的数字后放回，连续取两次，若取出的两个小球的数字之和为8，则中特等奖：取出的两个小球的数字之和为7，则中一等奖；取出的两个球的数字之和为6，则中二等奖；取出的两个小球的数字之和为5，则中三等奖，其他情况不中奖．
（1）求某顾客抽奖一次，中二等奖的概率；
（2）求某顾客抽奖一次，中奖的概率．
19．某蛋糕店推出新品蛋糕，为了解价格对新品蛋糕销售的影响，该蛋糕店对这种新品蛋糕进行了5天的试销，每种售价试销1天，得到如下数据：
（1）求销量y关于售价x的回归直线方程；
（2）预计在今后的销售中，销量与售价服从（1）中的回归直线方程，已知该新品蛋糕的成本是每个11元，求该新品蛋糕一天的利润的最大值及对应的售价．
参考公式：，．
20．某购物网站为优化营销策略，从某天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的网购者中随机抽取100人进行调查，根据调查数据，按消费金额分成 ，，，，五组，得到的频率分布直方图如图所示．已知样本中网购者的平均消费金额是568元（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）．
（1）求频率分布直方图中的x，y的值；
（2）若从消费金额少于400元的网购者中采用分层抽样法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人的消费金额都在内的概率．
21．已知O为坐标原点，点M在圆上运动．
（1）求线段OM中点N的轨迹的方程；
（2）过点的直线l与轨迹交于A，B两点，，求的值.
x
2
4
5
6
7
8
y
30
m
60
50
70
售价x/元
18
19
20
21
22
销量y/个
61
56
50
48
45
参考答案
1．A
【分析】
根据简单随机抽样、系统抽样以及分层抽样的特征逐一判断即可得出选项.
【详解】
对于A，样本容量较少，适合简单随机抽样；
对于B，研究对象有明显的分层现象，适合分层抽样；
对于C、D，研究对象中的个体容量较大，适合系统抽样；
故选：A
2．A
【分析】
令解得代入即可求解.
【详解】
令，得，
则．
故选：A
3．B
【分析】
利用等差数列的性质，由，得到，然后由求解.
【详解】
因为，
所以由等差数列的性质得，
解得，
所以．
故选：B
4．C
【分析】
由程序框图可知，函数，再根据的值，求的值.
【详解】
程序框图可以写成分段函数，
当时，，解得；当时，，即，解得或（舍去），综上，或.
故选：C
5．C
【分析】
首先给红球和白球分类编号，再利用古典概型求概率.
【详解】
记3个红球分别为A，B，C，2个白球分别为a，b，则从中随机抽取2个球的情况有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种，其中符合条件的情况有AB，AC，BC，共3种，故所求概率.
故选：C
6．D
【分析】
利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．
【详解】
，
故选：．
7．A
【分析】
根据扇形图计算初中生和高中生的人数，再根据条形图，计算高中生和初中生的近视人数，再分别判断选项.
【详解】
由图可知该地区高中生近视的人数是，初中生近视的人数是，则该地区中学生近视的人数占总人数的比例为，故A正确，B，C，D错误.
故选：A
8．B
【分析】
根据等比数列的通项公式及前n项和公式计算即可.
【详解】
设正项等比数列公比为，
因为，，
所以，
解得或，
，将或代入，
得，
故选：B
9．B
【分析】
利用方差的定义即可解得.
【详解】
由方差的定义，，
则，
所以数据的方差为：
.
故选：B
10．B
【分析】
根据题意可知基本事件共25个，找出满足条件A班学生成绩高于B班学生成绩的基本事件，由古典概型求解即可.
【详解】
由题意可知从A，B两班参赛学生的成绩中各随机抽取1名学生的竞赛成绩的基本事件共有25个，其中符合条件的基本事件有（87，83），（87，85），（91，83），（91，85），（91，88），（95，83），（95，85），（95，88），（95，92），共9个，
故所求概率.
故选：B
11．C
【分析】
利用平面的性质，直接画出过E，F，G的平面，即可判断其形状.
【详解】
如图示，过E，F，G的平面α交AA1于H，交CC1于I,则形成一个五边形EFIGH.
故选：C.
12．
【分析】
根据向量垂直的坐标表示运算即可.
【详解】
，，
，
解得，
故答案为：
13．40
【分析】
根据回归直线方程经过样本数据中心点求解即可.
【详解】
由题意可得，，
则，解得，
故答案为：40
14．
【分析】
根据框图模拟计算即可求解.
【详解】
由题意可得，；
，；…；
，,
跳出循环，输出结果，
故答案为：
15．
【分析】
由题意可知P点到三边的距离都不大于，由等边三角形知当P点在中位线上时P点到对应边的距离为，利用几何概型求解即可.
【详解】
如图，
D，E，F分别为的中点，
因为，，的面积都不大于 ，
所以P点到三边的距离都不大于，
由正三角形可知，当P点在中位线上时P点到对应边的距离为，故可知P点在及其内部时满足条件，
故由几何概型可知，,
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：根据题意，找到满足条件的P点所在区域，是解决本题的关键，属于中档题.
16．（1）；（2）40000．
【分析】
（1）由频率判断出中位数在内，则列出式子即可求出.
（2）求出电子元件使用时长不低于小时的频率，即可得出答案.
【详解】
解：（1）因为，
，
所以中位数在内，
则，解得；
（2）由图可知样本中的电子元件使用时长不低于小时的频率是，
则这批电子元件使用时长不低于小时的频率是，
故这批电子元件中“一等品”的个数为.
17．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）首先利用正弦定理边角互化，再结合两角差的正弦公式证明；（2）根据（1）再结合余弦定理，求，最后代入面积公式求解.
【详解】
（1）证明：因为
所以
所以
所以
因为，
所以
（2）由（1）可知，则
由余弦定理可得
则
即
解得
因为
所以
则的面积为.
18．（1）；（2）．
【分析】
（1）求出所有基本事件的个数，得出其中数字之和为6的基本事件的个数，即可得出概率；
（2）求出不中奖包含的基本事件个数，即可求出概率.
【详解】
解：由题意可得从四个小球中有放回地抽取两个小球的基本事件有
共16种．
（1）取出的两个小球的数字之和为6的基本事件有，共3种，
则某顾客抽奖一次，中二等奖的概率；
（2）设“某顾客抽奖一次，不中奖”为事件A．则事件A包含的基本事件有
，共6个，
从而，
故某顾客抽奖一次，中奖的概率.
19．（1）；（2）该新品蛋糕的售价为22元时，一天的利润取得最大值484元.
【分析】
（1）根据平均数的公式，结合题中所给的公式进行求解即可；
（2）根据题意求出该新品蛋糕一天的利润的表达式，结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】
解：（1）由题意可得，
，
则，
.
故销量y关于售价x的回归直线方程为.
（2）设该新品蛋糕一天的利润为z元，
则.
故当时，z取得最大值，
且.
即当该新品蛋糕的售价为22元时，一天的利润取得最大值484元.
20．（1），；（2）.
【分析】
（1）根据频率分布直方图，利用频率和为1，以及平均数公式，列方程求解；（2）首先计算消费金额在和的人数，再根据分层抽样计算得到消费金额在内的有2人，记为A，B，消费金额在内的有4人，最后分组编号，列举求概率.
【详解】
（1）由题意可得
，
解得：，.
（2）由（1）可知消费金额在内的网购者有人.
消费金额在内的网购者有人，
则从消费金额少于400元的网购者抽取的6人中，消费金额在内的有2人，记为A，B，消费金额在内的有4人，记为a，b，c，d.
从这6人中随机抽取2人的情况有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15种，
其中符合条件的情况有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种.
故所求概率.
21．（1）（2）或
【分析】
（1）设 表示出，利用点M在圆上求解即可；
（2）设，分斜率存在不存在讨论，利用圆心距、半径、半弦长之间的关系求解.
【详解】
（1）设，，
∵为线段的中点，∴整理得
又点在圆上运动，
∴，即．
∴点的轨迹方程为
（2）设，，
当直线的斜率不存在时，明显不符合题意，故设的方程为，
代入方程，整理得
由得，且，．
，
解得或，所以的方程为或．
当的方程为时，直线过圆心，故；
当的方程为时，圆心到直线的距离为，故，
综上，或．
【点睛】
关键点点睛：直线斜率存在时，设的方程为，联立圆的方程，根据韦达定理及，求出斜率k是解题的关键，属于中档题.
一、单选题
1．下列抽样问题中最适合用简单随机抽样法抽样的是（ ）
A．从全班46人中抽取6人参与一项问卷调查
B．某企业为了解该企业职工的身体健康情况，从职工（其中老年职工有180人，中青年职工有320人）中抽取50人进行体检
C．某灯泡厂从一条生产线上生产的10000个灯泡中抽取100个测试灯泡的使用时长
D．某市从参加高三第一次模拟考试的3000名考生中抽取120名考生分析试题作答情况
2．已知函数，则（ ）
A．1B．2C．4D．6
3．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．60B．120C．160D．240
4．阅读如图所示的程序框图，若输出y的值为5，则输入x的值是（ ）
A．2B．C．2或D．4或
5．一次性从装有3个红球，2个白球的盒子中随机抽取2个球，则抽取的2个球全是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知某地区有中学生9000人，其人数情况和近视情况分别如图1和图2所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该地区高中生近视的人数是1800
B．该地区初中生近视的人数是3600
C．该地区初中生近视的人数低于高中生近视的人数
D．该地区中学生近视的人数占总人数的45%
8．已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．31
9．已知数据的平均数是，方差是4，则数据的方差是（ ）
A．3.4B．3.6C．3.8D．4
10．某中学高三年级从A，B两班各选出5名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分：100分）的茎叶图如图所示．若从A，B两班参赛学生的成绩中各随机抽取1名学生的竞赛成绩，则A班学生成绩高于B班学生成绩的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在正方体中，E，F，G分别是棱AB，BC，的中点，过E，F，G三点的平面与正方体各个面所得交线围成的图形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
二、填空题
12．已知向量，，若，则__________．
13．已知两个变量x与y的数据统计结果如下表所示：
若y关于x的线性回归方程为，则___________．
14．执行如图所示的程序框图，输出的_________．
15．已知等边的边长为4，从内部任取一点P，则，，的面积都不大于的概率是___________．
三、解答题
16．某校数学兴趣小组的同学为了解某电子元件的使用时长(单位：小时)，从一批该电子元件中随机抽取100个进行调查，根据调查数据分为五组，得到的照率分布直方图如图所示．
（1）估计这批电子元件使用时长的中位数；
（2）若该电子元件的使用时长不低于400小时，则记为“一等品”，若这批电子元件有100000个，“一等品”的个数．
17．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积.
18．某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满100元，可参与一次抽奖，抽奖规则满足抽奖要求的顾客从有编号为1､2､3､4的四个小球(除数字不同外，其他完全相同)的抽奖箱中取球，每次取出一个小球记下球上的数字后放回，连续取两次，若取出的两个小球的数字之和为8，则中特等奖：取出的两个小球的数字之和为7，则中一等奖；取出的两个球的数字之和为6，则中二等奖；取出的两个小球的数字之和为5，则中三等奖，其他情况不中奖．
（1）求某顾客抽奖一次，中二等奖的概率；
（2）求某顾客抽奖一次，中奖的概率．
19．某蛋糕店推出新品蛋糕，为了解价格对新品蛋糕销售的影响，该蛋糕店对这种新品蛋糕进行了5天的试销，每种售价试销1天，得到如下数据：
（1）求销量y关于售价x的回归直线方程；
（2）预计在今后的销售中，销量与售价服从（1）中的回归直线方程，已知该新品蛋糕的成本是每个11元，求该新品蛋糕一天的利润的最大值及对应的售价．
参考公式：，．
20．某购物网站为优化营销策略，从某天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的网购者中随机抽取100人进行调查，根据调查数据，按消费金额分成 ，，，，五组，得到的频率分布直方图如图所示．已知样本中网购者的平均消费金额是568元（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）．
（1）求频率分布直方图中的x，y的值；
（2）若从消费金额少于400元的网购者中采用分层抽样法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人的消费金额都在内的概率．
21．已知O为坐标原点，点M在圆上运动．
（1）求线段OM中点N的轨迹的方程；
（2）过点的直线l与轨迹交于A，B两点，，求的值.
x
2
4
5
6
7
8
y
30
m
60
50
70
售价x/元
18
19
20
21
22
销量y/个
61
56
50
48
45
参考答案
1．A
【分析】
根据简单随机抽样、系统抽样以及分层抽样的特征逐一判断即可得出选项.
【详解】
对于A，样本容量较少，适合简单随机抽样；
对于B，研究对象有明显的分层现象，适合分层抽样；
对于C、D，研究对象中的个体容量较大，适合系统抽样；
故选：A
2．A
【分析】
令解得代入即可求解.
【详解】
令，得，
则．
故选：A
3．B
【分析】
利用等差数列的性质，由，得到，然后由求解.
【详解】
因为，
所以由等差数列的性质得，
解得，
所以．
故选：B
4．C
【分析】
由程序框图可知，函数，再根据的值，求的值.
【详解】
程序框图可以写成分段函数，
当时，，解得；当时，，即，解得或（舍去），综上，或.
故选：C
5．C
【分析】
首先给红球和白球分类编号，再利用古典概型求概率.
【详解】
记3个红球分别为A，B，C，2个白球分别为a，b，则从中随机抽取2个球的情况有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种，其中符合条件的情况有AB，AC，BC，共3种，故所求概率.
故选：C
6．D
【分析】
利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．
【详解】
，
故选：．
7．A
【分析】
根据扇形图计算初中生和高中生的人数，再根据条形图，计算高中生和初中生的近视人数，再分别判断选项.
【详解】
由图可知该地区高中生近视的人数是，初中生近视的人数是，则该地区中学生近视的人数占总人数的比例为，故A正确，B，C，D错误.
故选：A
8．B
【分析】
根据等比数列的通项公式及前n项和公式计算即可.
【详解】
设正项等比数列公比为，
因为，，
所以，
解得或，
，将或代入，
得，
故选：B
9．B
【分析】
利用方差的定义即可解得.
【详解】
由方差的定义，，
则，
所以数据的方差为：
.
故选：B
10．B
【分析】
根据题意可知基本事件共25个，找出满足条件A班学生成绩高于B班学生成绩的基本事件，由古典概型求解即可.
【详解】
由题意可知从A，B两班参赛学生的成绩中各随机抽取1名学生的竞赛成绩的基本事件共有25个，其中符合条件的基本事件有（87，83），（87，85），（91，83），（91，85），（91，88），（95，83），（95，85），（95，88），（95，92），共9个，
故所求概率.
故选：B
11．C
【分析】
利用平面的性质，直接画出过E，F，G的平面，即可判断其形状.
【详解】
如图示，过E，F，G的平面α交AA1于H，交CC1于I,则形成一个五边形EFIGH.
故选：C.
12．
【分析】
根据向量垂直的坐标表示运算即可.
【详解】
，，
，
解得，
故答案为：
13．40
【分析】
根据回归直线方程经过样本数据中心点求解即可.
【详解】
由题意可得，，
则，解得，
故答案为：40
14．
【分析】
根据框图模拟计算即可求解.
【详解】
由题意可得，；
，；…；
，,
跳出循环，输出结果，
故答案为：
15．
【分析】
由题意可知P点到三边的距离都不大于，由等边三角形知当P点在中位线上时P点到对应边的距离为，利用几何概型求解即可.
【详解】
如图，
D，E，F分别为的中点，
因为，，的面积都不大于 ，
所以P点到三边的距离都不大于，
由正三角形可知，当P点在中位线上时P点到对应边的距离为，故可知P点在及其内部时满足条件，
故由几何概型可知，,
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：根据题意，找到满足条件的P点所在区域，是解决本题的关键，属于中档题.
16．（1）；（2）40000．
【分析】
（1）由频率判断出中位数在内，则列出式子即可求出.
（2）求出电子元件使用时长不低于小时的频率，即可得出答案.
【详解】
解：（1）因为，
，
所以中位数在内，
则，解得；
（2）由图可知样本中的电子元件使用时长不低于小时的频率是，
则这批电子元件使用时长不低于小时的频率是，
故这批电子元件中“一等品”的个数为.
17．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）首先利用正弦定理边角互化，再结合两角差的正弦公式证明；（2）根据（1）再结合余弦定理，求，最后代入面积公式求解.
【详解】
（1）证明：因为
所以
所以
所以
因为，
所以
（2）由（1）可知，则
由余弦定理可得
则
即
解得
因为
所以
则的面积为.
18．（1）；（2）．
【分析】
（1）求出所有基本事件的个数，得出其中数字之和为6的基本事件的个数，即可得出概率；
（2）求出不中奖包含的基本事件个数，即可求出概率.
【详解】
解：由题意可得从四个小球中有放回地抽取两个小球的基本事件有
共16种．
（1）取出的两个小球的数字之和为6的基本事件有，共3种，
则某顾客抽奖一次，中二等奖的概率；
（2）设“某顾客抽奖一次，不中奖”为事件A．则事件A包含的基本事件有
，共6个，
从而，
故某顾客抽奖一次，中奖的概率.
19．（1）；（2）该新品蛋糕的售价为22元时，一天的利润取得最大值484元.
【分析】
（1）根据平均数的公式，结合题中所给的公式进行求解即可；
（2）根据题意求出该新品蛋糕一天的利润的表达式，结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】
解：（1）由题意可得，
，
则，
.
故销量y关于售价x的回归直线方程为.
（2）设该新品蛋糕一天的利润为z元，
则.
故当时，z取得最大值，
且.
即当该新品蛋糕的售价为22元时，一天的利润取得最大值484元.
20．（1），；（2）.
【分析】
（1）根据频率分布直方图，利用频率和为1，以及平均数公式，列方程求解；（2）首先计算消费金额在和的人数，再根据分层抽样计算得到消费金额在内的有2人，记为A，B，消费金额在内的有4人，最后分组编号，列举求概率.
【详解】
（1）由题意可得
，
解得：，.
（2）由（1）可知消费金额在内的网购者有人.
消费金额在内的网购者有人，
则从消费金额少于400元的网购者抽取的6人中，消费金额在内的有2人，记为A，B，消费金额在内的有4人，记为a，b，c，d.
从这6人中随机抽取2人的情况有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15种，
其中符合条件的情况有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种.
故所求概率.
21．（1）（2）或
【分析】
（1）设 表示出，利用点M在圆上求解即可；
（2）设，分斜率存在不存在讨论，利用圆心距、半径、半弦长之间的关系求解.
【详解】
（1）设，，
∵为线段的中点，∴整理得
又点在圆上运动，
∴，即．
∴点的轨迹方程为
（2）设，，
当直线的斜率不存在时，明显不符合题意，故设的方程为，
代入方程，整理得
由得，且，．
，
解得或，所以的方程为或．
当的方程为时，直线过圆心，故；
当的方程为时，圆心到直线的距离为，故，
综上，或．
【点睛】
关键点点睛：直线斜率存在时，设的方程为，联立圆的方程，根据韦达定理及，求出斜率k是解题的关键，属于中档题.
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