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2021年江苏省南通市海安市十一校中考数学段考试卷（3月份）
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这是一份2021年江苏省南通市海安市十一校中考数学段考试卷（3月份），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省南通市海安市十一校中考数学段考试卷（3月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降6m时水位变化记作（ ）
A．﹣3m B．3m C．6m D．﹣6m
2．（3分）2020年南通市在疫情得到有效控制的前提下，大力推进复工复产复商复市，经济社会发展加速复苏回升，GDP总量位居江苏第四，达10036.3亿元，用科学记数法表示为（ ）
A．1.00363×1013元 B．1.00363×1012元
C．0.100363×1013元 D．10.0363×1011元
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x2•x3＝3x5 B．（﹣3a2b）2＝6a4b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．2a2b÷b＝2a2
4．（3分）如图是某几何图形的三视图，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球
5．（3分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名同学参加金钥匙选拔赛成绩的平均分和方差．要从中选择一名成绩较好且发挥稳定的同学去海安市参加决赛，最合适的同学是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均分
90
87
90
87
方差S2
12.5
13.5
1.4
1.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．100°
7．（3分）若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则多项式m2+3n的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣9 C．9 D．10
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（ ）
A．8﹣π B．4﹣2π C．8﹣2π D．4﹣π
9．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝．点P是斜边AB上一个动点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，Q为AC上的动点，P为Rt△ABC内一动点，且满足∠APB＝120°，若D为BC的中点，则PQ+DQ的最小值是（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．+4
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）
11．（3分）使有意义的x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：9x2﹣1＝ ．
13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A＝15°，弦CD＝4，那么AB的长是 ．
14．（4分）如图，某同学利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计），若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是 cm2．
15．（4分）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为 ．
16．（4分）如图，某海监船以30海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为 海里．
17．（4分）将二次函数y＝x2+2x﹣3的图象绕原点旋转180°，若得到的新的函数图象上总有两个点在直线y＝x﹣m上，则m的取值范围是 ．
18．（4分）已知Rt△ABC，∠A＝30°，若△ABC的三个顶点均在双曲线y＝（k＞0）上，斜边AB经过坐标原点，且B点的纵坐标比横坐标少3的单位长度，C点的纵坐标与B点横坐标相等，则k＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19．（10分）计算：
（1）2sin30°﹣|﹣3|+（π﹣2021）0﹣（）﹣2；
（2）解方程＝+1．
20．（11分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，CD是⊙O的切线，∠C＝30°；
（1）求∠CBD的度数；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若AB＝6，依题意补全图形并求DE的长．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P（n，0）（n＞0）作平行于y轴的直线，交函数y＝（k＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D；
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≤OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
22．（10分）今年某校为确保学生安全，开展了“疫情防控•珍爱生命”的预防新型冠状病毒安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D．95≤x＜100，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：98，80，98，86，98，96，90，100，89，82
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
b
众数
c
100
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 、b＝ 、c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握疫情防控安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级各300人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
23．（9分）随着互联网经济的发展，人们的购物模式发生了改变，不带现金也能完成支付，比如使用微信、支付宝、银行卡等．在一次购物中小张和小王从微信（记为A）、支付宝（记为B）、银行卡（记为C）三种支付方式中随机选择一种方式进行支付．
（1）小张选择微信支付的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
24．（12分）已知正方形ABCD中，点E是边CD上的一点（点E不与C、D两点重合）．
（1）如图1，AE平分∠CAD，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，连接EF，交AB于点G．求证△AFG∽△ACE；
（2）如图2，点E为CD的中点，将△ADE沿AE所在的直线折叠，使点D落在F处，若AB＝4，求BF的长．
25．（13分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）．
（1）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），求点A和点B的坐标；
（2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，在a＞0的条件下，当m≥0时，n的取值范围是n≥﹣9，求抛物线的解析式；
（3）当a＝1时，把抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线G，设新抛物线G与x轴的一个交点的横坐标为t，且t满足＜t＜，请直接写出m的取值范围．
26．（13分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”，如图所示．
（1）已知点A的坐标是（1，3）．
①在（﹣3，﹣1），（2，2），（3，3）中，点A的“正轨点”的坐标是 ；
②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标是 ；
（2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x+2上，求点B的“正轨点”的坐标；
（3）已知点C（m，0），若直线y＝2x+m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围．
2021年江苏省南通市海安市十一校中考数学段考试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降6m时水位变化记作（ ）
A．﹣3m B．3m C．6m D．﹣6m
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，水位升高记为正，可得水位下降的表示方法．
【解答】解：水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降6m时水位变化记作﹣6m，
故选：D．
2．（3分）2020年南通市在疫情得到有效控制的前提下，大力推进复工复产复商复市，经济社会发展加速复苏回升，GDP总量位居江苏第四，达10036.3亿元，用科学记数法表示为（ ）
A．1.00363×1013元 B．1.00363×1012元
C．0.100363×1013元 D．10.0363×1011元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：10036.3亿元＝1003630000000元＝1.00363×1012元，
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x2•x3＝3x5 B．（﹣3a2b）2＝6a4b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．2a2b÷b＝2a2
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：2x2•x3＝2x5，故选项A错误；
（﹣3a2b）2＝9a4b2，故选项B错误；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项C错误；
2a2b÷b＝2a2，故选项D正确；
故选：D．
4．（3分）如图是某几何图形的三视图，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球
【分析】根据几何体的三视图作出判断即可．
【解答】解：∵俯视图为圆，
∴该几何体为圆柱、圆锥或球，
∵左视图和主视图为长方形，
∴该几何体为圆柱．
故选：A．
5．（3分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名同学参加金钥匙选拔赛成绩的平均分和方差．要从中选择一名成绩较好且发挥稳定的同学去海安市参加决赛，最合适的同学是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均分
90
87
90
87
方差S2
12.5
13.5
1.4
1.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵乙和丁的平均数最小，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵丙的方差最小，
∴选择丙参赛．
故选：C．
6．（3分）如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．100°
【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CPF＝55°，
∵PF是∠EPC的平分线，
∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，
∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，
故选：B．
7．（3分）若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则多项式m2+3n的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣9 C．9 D．10
【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系，即可得出m2﹣3m＝1、m+n＝3，将其代入m2+3n＝m2﹣3m+3m+3n中，即可求出结论．
【解答】解：∵m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴m2﹣3m﹣1＝0，m+n＝3，
∴m2﹣3m＝1．
∴m2+3n＝m2﹣3m+3m+3n＝1+3（m+n）＝1+3×3＝10．
故选：D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（ ）
A．8﹣π B．4﹣2π C．8﹣2π D．4﹣π
【分析】连接OD，OH⊥AC于H，如图，根据切线的性质得到OD⊥BC，则四边形ODCH为矩形，由矩形的性质得出OH＝CD＝2，则OA＝OH＝4，接着计算出∠BOD＝45°，BD＝OD＝4，然后利用扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE进行计算．
【解答】解：连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴四边形ODCH为矩形，
∴OH＝CD＝2，
在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，
∴OA＝OH＝4，
在Rt△OBD中，
∵∠B＝45°，
∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝4，
∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE
＝
＝8﹣2π．
故选：C．
9．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝．点P是斜边AB上一个动点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．
【解答】解：当点Q在AC上时，
∵tanA＝，AP＝x，
∴PQ＝x，
∴y＝×AP×PQ＝×x×x＝x2；
当点Q在BC上时，如下图所示：
∵AP＝x，AB＝10，tanA＝，
∴BP＝10﹣x，PQ＝2BP＝20﹣2x，
∴y＝•AP•PQ＝×x×（20﹣2x）＝﹣x2+10x，
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．并且当Q点在C时，x＝8，y＝16．
故选：B．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，Q为AC上的动点，P为Rt△ABC内一动点，且满足∠APB＝120°，若D为BC的中点，则PQ+DQ的最小值是（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．+4
【分析】如图以AB为边，向左边作等边△ABE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OB，则点P在⊙O上．作点D关于AC的对称点D′，连接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，则PQ+QD＝PQ+QD′＝PD′，根据PD′≥OD′﹣OP，求出OP，OD′即可解决问题．
【解答】解：如图以AB为边，向左边作等边△ABE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OB，则点P在⊙O上．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，
∴AB＝4，
则易知OB＝4，OB⊥BC，
作点D关于AC的对称点D′，连接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，则PQ+QD＝PQ+QD′≥PD′，
∵PD′≥OD′﹣OP，OP＝OB＝4，OD′＝＝，
∴PD′≥﹣4，
∴PQ+DQ的最小值为﹣4，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）
11．（3分）使有意义的x的取值范围是 x≥5 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可推出x﹣5≥0，然后通过解不等式，即可推出x≥5．
【解答】解：若x﹣5≥0，原根式有意义，
∴x≥5，
故答案为x≥5．
12．（3分）分解因式：9x2﹣1＝ （3x+1）（3x﹣1） ．
【分析】符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：9x2﹣1，
＝（3x）2﹣12，
＝（3x+1）（3x﹣1）．
13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A＝15°，弦CD＝4，那么AB的长是 8 ．
【分析】根据圆周角定理得出∠COB＝30°，再利用含30°的直角三角形的性质得出OC，进而解答即可．
【解答】解：∵∠A＝15°，
∴∠COB＝30°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦CD＝4，
∴CE＝2，∠OEC＝90°
∵∠COE＝30°，
∴OC＝2CE＝4，
∴AB＝2OC＝8，
故答案为：8
14．（4分）如图，某同学利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计），若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是 400π cm2．
【分析】利用圆锥的侧面积公式可以直接求出面积．
【解答】解：圆锥侧面积公式为：s侧面积＝πrR＝π×10×40＝400π．
故答案为：400π．
15．（4分）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为 ．
【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
16．（4分）如图，某海监船以30海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为 60 海里．
【分析】先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2PA，求出PA即可解决问题．
【解答】解：在Rt△PAB中，∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意得BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2PA，
∵PA＝AB•tan60°，AB＝30×1＝30（海里），
∴PC＝2×30×＝60（海里），
故答案为：60．
17．（4分）将二次函数y＝x2+2x﹣3的图象绕原点旋转180°，若得到的新的函数图象上总有两个点在直线y＝x﹣m上，则m的取值范围是 m＞﹣ ．
【分析】求得新函数的解析式，令x﹣m＝﹣x2+2x+3，整理得x2+x﹣m﹣3＝0，根据题意得到△＞0，即1﹣4（﹣m﹣3）＞0，解不等式即可求得m的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴所得到的图象的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，
令x﹣m＝﹣x2+2x+3，整理得x2+x﹣m﹣3＝0，
∵得到的新的函数图象上总有两个点在直线y＝x﹣m上，
∴△＞0，即1﹣4（﹣m﹣3）＞0，
解得m＞﹣，
故答案为m＞﹣．
18．（4分）已知Rt△ABC，∠A＝30°，若△ABC的三个顶点均在双曲线y＝（k＞0）上，斜边AB经过坐标原点，且B点的纵坐标比横坐标少3的单位长度，C点的纵坐标与B点横坐标相等，则k＝ ．
【分析】连接OC．证明OC＝OB＝BC，设B（a，b），利用轴对称的性质则C（b，a）．利用勾股定理得出a2+b2＝2（b﹣a）2，整理得（a﹣b）2﹣2ab＝0，因为a﹣b＝3，即可求得ab的值，即可求得k的值．
【解答】解：连接OC．
∵反比例函数是中心对称图形，
∴OB＝OA，
∴OC＝OA＝OB，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝OA＝OB，
∴OC＝OB＝BC，
∵反比例函数关于直线y＝x对称，OC＝OB，C点的纵坐标与B点横坐标相等，
∴A，B关于直线y＝x对称，
设B（a，b），则C（b，a），
∴a2+b2＝2（b﹣a）2，
∴（a﹣b）2﹣2ab＝0，
∵a﹣b＝3，
∴2ab＝9，
∴ab＝，
∵顶点B在双曲线y＝（k＞0）上，
∴k＝ab＝，
故答案为．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19．（10分）计算：
（1）2sin30°﹣|﹣3|+（π﹣2021）0﹣（）﹣2；
（2）解方程＝+1．
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣3+1﹣9
＝1﹣3+1﹣9
＝﹣10；
（2）去分母得：x（x+1）＝4+x2﹣1，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以原分式方程的解是x＝3．
20．（11分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，CD是⊙O的切线，∠C＝30°；
（1）求∠CBD的度数；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若AB＝6，依题意补全图形并求DE的长．
【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到∠ODC＝90°，则∠COD＝60°，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠CBD的度数；
（2）根据几何语言画出对应的几何图形，如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出AD＝3，BD＝3，然后证明△EBD为等边三角形，从而得到DE的长．
【解答】解：（1）连接OD，如图，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵OB＝OD，
∴∠CBD＝∠ODB，
而∠COD＝∠ODB+∠CBD，
∴∠CBD＝∠COD＝×60°＝30°；
（2）如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∠ABD＝30°，AB＝6，
∴AD＝AB＝3，
∴BD＝AD＝3，
∵EB、ED为切线，
∴EB＝ED，AB⊥BE，
∴∠DBE＝90°﹣30°＝60°，
∴△EBD为等边三角形，
∴DE＝DB＝3．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P（n，0）（n＞0）作平行于y轴的直线，交函数y＝（k＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D；
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≤OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）先利用一次函数解析式确定m的值得到A点坐标，然后把A点坐标代入y＝（k＞0）得到k的值；
（2）①利用C、D的横坐标都为2得到C点和D点的纵坐标，然后求两纵坐标之差得到线段CD的长；
②先确定B（﹣3，0），由于C、D的横坐标都为n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C（n，），D（n，n+3），讨论：当点D在点C的上方时，先利用CD＝OB得到n+3﹣＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），再结合图象可判断当1＜n≤2时，CD≤OB；当点C在点D的上方时，先利用CD＝OB得到﹣（n+3）＝3，解得n1＝﹣3+，n2＝﹣3﹣（舍去），再结合图象可判断当时，CD≤OB．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+3经过点A（1，m），
∴m＝1+3＝4，
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
（2）①当n＝2时，点P的坐标为（2，0），
当x＝2时，y＝＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
当x＝2时，y＝x+3＝5，
∴点D的坐标为（3，5），
∴CD＝5﹣2＝3；
②当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣3，则B（﹣3，0），
当x＝n时，轴点C的坐标为（n，），点D的坐标为（n，n+3），
当点D在点C的上方时，
若CD＝OB，即n+3﹣＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），
∴当1＜n≤2时，CD≤OB；
当点C在点D的上方时，
若CD＝OB，即﹣（n+3）＝3，解得n1＝﹣3+，n2＝﹣3﹣（舍去），
∴当﹣3≤n≤1时，CD≤OB，
综上所述，n的取值范围为．
22．（10分）今年某校为确保学生安全，开展了“疫情防控•珍爱生命”的预防新型冠状病毒安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D．95≤x＜100，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：98，80，98，86，98，96，90，100，89，82
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
b
众数
c
100
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 40 、b＝ 94 、c＝ 98 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握疫情防控安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级各300人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论；
（2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到八年级学生掌握疫情防控安全知识较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）a＝（1﹣20%﹣10%﹣）×100＝40，
∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴b＝＝94；
∵在七年级10名学生的竞赛成绩中98出现的次数最多，
∴c＝98；
故答案为：40、94、98；
（2）八年级学生掌握疫情防控安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的中位数和众数均高于七年级．
（3）参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数＝600×＝390（人），
答：参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是390人．
23．（9分）随着互联网经济的发展，人们的购物模式发生了改变，不带现金也能完成支付，比如使用微信、支付宝、银行卡等．在一次购物中小张和小王从微信（记为A）、支付宝（记为B）、银行卡（记为C）三种支付方式中随机选择一种方式进行支付．
（1）小张选择微信支付的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小张和小王恰好选择同一种支付方式的情况，再由概率公式即可求解．
【解答】解：（1）∵共有三种支付方式，分别是微信、支付宝、银行卡，
∴小张选择用微信支付的概率为，
故答案为：；’
解：根据题意画树状图如下：
∵由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式（记做事件A）有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率P（A）＝．
24．（12分）已知正方形ABCD中，点E是边CD上的一点（点E不与C、D两点重合）．
（1）如图1，AE平分∠CAD，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，连接EF，交AB于点G．求证△AFG∽△ACE；
（2）如图2，点E为CD的中点，将△ADE沿AE所在的直线折叠，使点D落在F处，若AB＝4，求BF的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得∠DAE＝∠BAF，AE＝AF，根据等腰直角三角形性质、角平分线的性质推出∠FAB＝∠CAE，进而证明△AFG∽△ACE．
（2）过F作BC平行线交AB，CD于G，H，得到△AGF∽△FHE，对应线段成比例，设FH＝x，求出其他个边，在Rt△AGF中，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，
∴∠DAE＝∠BAF，AE＝AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠FAB＝∠CAE，
在正方形ABCD中，∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠AFE，
∴△AFG∽△ACE，
（2）过F作BC平行线交AB，CD于G，H，
∴△AGF∽△FHE，
∵，
设FH＝x，
则AG＝2x，GF＝4x，EH＝，
∵AG＝DH，
∴2x＝2+，
解得x＝，
∴AG＝，GF＝4﹣＝，
∴BG＝4﹣＝，
在Rt△AGF中，
BF＝．
25．（13分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）．
（1）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），求点A和点B的坐标；
（2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，在a＞0的条件下，当m≥0时，n的取值范围是n≥﹣9，求抛物线的解析式；
（3）当a＝1时，把抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线G，设新抛物线G与x轴的一个交点的横坐标为t，且t满足＜t＜，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）令y＝ax2﹣4ax﹣5a＝0，解得x＝5或﹣1，即可求解；
（2）y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，m≥0时，n的取值范围是n≥﹣9，即顶点的纵坐标为﹣9，即﹣9a＝﹣9，即可求解；
（3）当抛物线y＝x2﹣4x﹣5向上平移9个单位时，此时抛物线G与x轴有唯一交点为（2，0），当t满足＜t＜时，则t为左侧交点坐标，进而求解．
【解答】解：（1）令y＝ax2﹣4ax﹣5a＝0，解得x＝5或﹣1，
故点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（5，0）；
（2）∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，m≥0时，n的取值范围是n≥﹣9，
∴顶点的纵坐标为﹣9，即﹣9a＝﹣9，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
（3）当a＝1时，把抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线G，
则抛物线G的表达式为y＝x2﹣4x﹣5+m，
由（2）知抛物线y＝x2﹣4x﹣5的顶点坐标为（2，﹣9），
故当抛物线y＝x2﹣4x﹣5向上平移9个单位时（即m＝9），此时抛物线G与x轴有唯一交点为（2，0），
当t满足＜t＜时，则t为左侧交点坐标，
当抛物线G（﹣，0）时，即0＝（﹣）2﹣4×（﹣）﹣5+m，解得m＝，
故＜m≤9．
26．（13分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”，如图所示．
（1）已知点A的坐标是（1，3）．
①在（﹣3，﹣1），（2，2），（3，3）中，点A的“正轨点”的坐标是 （﹣3，﹣1），（2，2） ；
②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标是 （3，5）或（﹣1，1）或（﹣3，5）或（3.1） ；
（2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x+2上，求点B的“正轨点”的坐标；
（3）已知点C（m，0），若直线y＝2x+m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①根据正方形的性质可得出|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，对照（﹣3，﹣1），（2，2），（3，3）即可得出结论；②根据“正轨点”的坐标特征即可求得；
（2）根据题意列出关于x的绝对值方程，解方程即可；
（3）根据题意表示出“正轨点”，由“正轨正方形”面积小于4即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵点P（x1，y1）、点Q（x2，y2）是正轨正方形的点，
∴|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．
∵|1﹣（﹣3）|＝|3﹣（﹣1）|，|1﹣2|＝|3﹣2|，|1﹣3|≠|3﹣3|，
∴点A的“正轨点”的坐标是是（﹣3，﹣1），（2，2），
故答案为（﹣3，﹣1），（2，2）；
②∵点A的“正轨正方形”的面积是4，
∴边长为2，
∴点A的“正轨点”的坐标是（3，5）或（﹣1，1）或（﹣1，5）或（3.1），
故答案为（3，5）或（﹣1，1）或（﹣3，5）或（3.1）；
（2）∵点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x+2上，
∴设点B（1，0）的“正轨点”的坐标为（x，2x+2），
根据题意得|x﹣1|＝|2x+2﹣0|，
解得x＝﹣3或x＝﹣，
∴点B（1，0）的“正轨点”的坐标为（﹣3，﹣4）或（﹣，）；
（3）∵直线y＝2x+m上存在点C（m，0）的“正轨点”，
∴点C的“正轨点”的坐标为（0，m）或（﹣2m，﹣3m），
∵正轨正方形”面积小于4，
∴，
∴m的取值范围是﹣2＜m＜2且m≠0．
2021年江苏省南通市海安市十一校中考数学段考试卷（3月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降6m时水位变化记作（ ）
A．﹣3m B．3m C．6m D．﹣6m
2．（3分）2020年南通市在疫情得到有效控制的前提下，大力推进复工复产复商复市，经济社会发展加速复苏回升，GDP总量位居江苏第四，达10036.3亿元，用科学记数法表示为（ ）
A．1.00363×1013元 B．1.00363×1012元
C．0.100363×1013元 D．10.0363×1011元
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x2•x3＝3x5 B．（﹣3a2b）2＝6a4b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．2a2b÷b＝2a2
4．（3分）如图是某几何图形的三视图，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球
5．（3分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名同学参加金钥匙选拔赛成绩的平均分和方差．要从中选择一名成绩较好且发挥稳定的同学去海安市参加决赛，最合适的同学是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均分
90
87
90
87
方差S2
12.5
13.5
1.4
1.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．100°
7．（3分）若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则多项式m2+3n的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣9 C．9 D．10
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（ ）
A．8﹣π B．4﹣2π C．8﹣2π D．4﹣π
9．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝．点P是斜边AB上一个动点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，Q为AC上的动点，P为Rt△ABC内一动点，且满足∠APB＝120°，若D为BC的中点，则PQ+DQ的最小值是（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．+4
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）
11．（3分）使有意义的x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：9x2﹣1＝ ．
13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A＝15°，弦CD＝4，那么AB的长是 ．
14．（4分）如图，某同学利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计），若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是 cm2．
15．（4分）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为 ．
16．（4分）如图，某海监船以30海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为 海里．
17．（4分）将二次函数y＝x2+2x﹣3的图象绕原点旋转180°，若得到的新的函数图象上总有两个点在直线y＝x﹣m上，则m的取值范围是 ．
18．（4分）已知Rt△ABC，∠A＝30°，若△ABC的三个顶点均在双曲线y＝（k＞0）上，斜边AB经过坐标原点，且B点的纵坐标比横坐标少3的单位长度，C点的纵坐标与B点横坐标相等，则k＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19．（10分）计算：
（1）2sin30°﹣|﹣3|+（π﹣2021）0﹣（）﹣2；
（2）解方程＝+1．
20．（11分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，CD是⊙O的切线，∠C＝30°；
（1）求∠CBD的度数；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若AB＝6，依题意补全图形并求DE的长．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P（n，0）（n＞0）作平行于y轴的直线，交函数y＝（k＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D；
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≤OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
22．（10分）今年某校为确保学生安全，开展了“疫情防控•珍爱生命”的预防新型冠状病毒安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D．95≤x＜100，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：98，80，98，86，98，96，90，100，89，82
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
b
众数
c
100
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 、b＝ 、c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握疫情防控安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级各300人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
23．（9分）随着互联网经济的发展，人们的购物模式发生了改变，不带现金也能完成支付，比如使用微信、支付宝、银行卡等．在一次购物中小张和小王从微信（记为A）、支付宝（记为B）、银行卡（记为C）三种支付方式中随机选择一种方式进行支付．
（1）小张选择微信支付的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
24．（12分）已知正方形ABCD中，点E是边CD上的一点（点E不与C、D两点重合）．
（1）如图1，AE平分∠CAD，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，连接EF，交AB于点G．求证△AFG∽△ACE；
（2）如图2，点E为CD的中点，将△ADE沿AE所在的直线折叠，使点D落在F处，若AB＝4，求BF的长．
25．（13分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）．
（1）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），求点A和点B的坐标；
（2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，在a＞0的条件下，当m≥0时，n的取值范围是n≥﹣9，求抛物线的解析式；
（3）当a＝1时，把抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线G，设新抛物线G与x轴的一个交点的横坐标为t，且t满足＜t＜，请直接写出m的取值范围．
26．（13分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”，如图所示．
（1）已知点A的坐标是（1，3）．
①在（﹣3，﹣1），（2，2），（3，3）中，点A的“正轨点”的坐标是 ；
②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标是 ；
（2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x+2上，求点B的“正轨点”的坐标；
（3）已知点C（m，0），若直线y＝2x+m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围．
2021年江苏省南通市海安市十一校中考数学段考试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降6m时水位变化记作（ ）
A．﹣3m B．3m C．6m D．﹣6m
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，水位升高记为正，可得水位下降的表示方法．
【解答】解：水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降6m时水位变化记作﹣6m，
故选：D．
2．（3分）2020年南通市在疫情得到有效控制的前提下，大力推进复工复产复商复市，经济社会发展加速复苏回升，GDP总量位居江苏第四，达10036.3亿元，用科学记数法表示为（ ）
A．1.00363×1013元 B．1.00363×1012元
C．0.100363×1013元 D．10.0363×1011元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：10036.3亿元＝1003630000000元＝1.00363×1012元，
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x2•x3＝3x5 B．（﹣3a2b）2＝6a4b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．2a2b÷b＝2a2
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：2x2•x3＝2x5，故选项A错误；
（﹣3a2b）2＝9a4b2，故选项B错误；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项C错误；
2a2b÷b＝2a2，故选项D正确；
故选：D．
4．（3分）如图是某几何图形的三视图，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球
【分析】根据几何体的三视图作出判断即可．
【解答】解：∵俯视图为圆，
∴该几何体为圆柱、圆锥或球，
∵左视图和主视图为长方形，
∴该几何体为圆柱．
故选：A．
5．（3分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名同学参加金钥匙选拔赛成绩的平均分和方差．要从中选择一名成绩较好且发挥稳定的同学去海安市参加决赛，最合适的同学是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均分
90
87
90
87
方差S2
12.5
13.5
1.4
1.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵乙和丁的平均数最小，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵丙的方差最小，
∴选择丙参赛．
故选：C．
6．（3分）如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．100°
【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CPF＝55°，
∵PF是∠EPC的平分线，
∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，
∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，
故选：B．
7．（3分）若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则多项式m2+3n的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣9 C．9 D．10
【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系，即可得出m2﹣3m＝1、m+n＝3，将其代入m2+3n＝m2﹣3m+3m+3n中，即可求出结论．
【解答】解：∵m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴m2﹣3m﹣1＝0，m+n＝3，
∴m2﹣3m＝1．
∴m2+3n＝m2﹣3m+3m+3n＝1+3（m+n）＝1+3×3＝10．
故选：D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（ ）
A．8﹣π B．4﹣2π C．8﹣2π D．4﹣π
【分析】连接OD，OH⊥AC于H，如图，根据切线的性质得到OD⊥BC，则四边形ODCH为矩形，由矩形的性质得出OH＝CD＝2，则OA＝OH＝4，接着计算出∠BOD＝45°，BD＝OD＝4，然后利用扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE进行计算．
【解答】解：连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴四边形ODCH为矩形，
∴OH＝CD＝2，
在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，
∴OA＝OH＝4，
在Rt△OBD中，
∵∠B＝45°，
∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝4，
∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE
＝
＝8﹣2π．
故选：C．
9．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝．点P是斜边AB上一个动点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．
【解答】解：当点Q在AC上时，
∵tanA＝，AP＝x，
∴PQ＝x，
∴y＝×AP×PQ＝×x×x＝x2；
当点Q在BC上时，如下图所示：
∵AP＝x，AB＝10，tanA＝，
∴BP＝10﹣x，PQ＝2BP＝20﹣2x，
∴y＝•AP•PQ＝×x×（20﹣2x）＝﹣x2+10x，
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．并且当Q点在C时，x＝8，y＝16．
故选：B．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，Q为AC上的动点，P为Rt△ABC内一动点，且满足∠APB＝120°，若D为BC的中点，则PQ+DQ的最小值是（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．+4
【分析】如图以AB为边，向左边作等边△ABE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OB，则点P在⊙O上．作点D关于AC的对称点D′，连接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，则PQ+QD＝PQ+QD′＝PD′，根据PD′≥OD′﹣OP，求出OP，OD′即可解决问题．
【解答】解：如图以AB为边，向左边作等边△ABE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OB，则点P在⊙O上．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，
∴AB＝4，
则易知OB＝4，OB⊥BC，
作点D关于AC的对称点D′，连接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，则PQ+QD＝PQ+QD′≥PD′，
∵PD′≥OD′﹣OP，OP＝OB＝4，OD′＝＝，
∴PD′≥﹣4，
∴PQ+DQ的最小值为﹣4，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）
11．（3分）使有意义的x的取值范围是 x≥5 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可推出x﹣5≥0，然后通过解不等式，即可推出x≥5．
【解答】解：若x﹣5≥0，原根式有意义，
∴x≥5，
故答案为x≥5．
12．（3分）分解因式：9x2﹣1＝ （3x+1）（3x﹣1） ．
【分析】符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：9x2﹣1，
＝（3x）2﹣12，
＝（3x+1）（3x﹣1）．
13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A＝15°，弦CD＝4，那么AB的长是 8 ．
【分析】根据圆周角定理得出∠COB＝30°，再利用含30°的直角三角形的性质得出OC，进而解答即可．
【解答】解：∵∠A＝15°，
∴∠COB＝30°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦CD＝4，
∴CE＝2，∠OEC＝90°
∵∠COE＝30°，
∴OC＝2CE＝4，
∴AB＝2OC＝8，
故答案为：8
14．（4分）如图，某同学利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计），若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是 400π cm2．
【分析】利用圆锥的侧面积公式可以直接求出面积．
【解答】解：圆锥侧面积公式为：s侧面积＝πrR＝π×10×40＝400π．
故答案为：400π．
15．（4分）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为 ．
【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
16．（4分）如图，某海监船以30海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为 60 海里．
【分析】先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2PA，求出PA即可解决问题．
【解答】解：在Rt△PAB中，∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意得BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2PA，
∵PA＝AB•tan60°，AB＝30×1＝30（海里），
∴PC＝2×30×＝60（海里），
故答案为：60．
17．（4分）将二次函数y＝x2+2x﹣3的图象绕原点旋转180°，若得到的新的函数图象上总有两个点在直线y＝x﹣m上，则m的取值范围是 m＞﹣ ．
【分析】求得新函数的解析式，令x﹣m＝﹣x2+2x+3，整理得x2+x﹣m﹣3＝0，根据题意得到△＞0，即1﹣4（﹣m﹣3）＞0，解不等式即可求得m的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴所得到的图象的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，
令x﹣m＝﹣x2+2x+3，整理得x2+x﹣m﹣3＝0，
∵得到的新的函数图象上总有两个点在直线y＝x﹣m上，
∴△＞0，即1﹣4（﹣m﹣3）＞0，
解得m＞﹣，
故答案为m＞﹣．
18．（4分）已知Rt△ABC，∠A＝30°，若△ABC的三个顶点均在双曲线y＝（k＞0）上，斜边AB经过坐标原点，且B点的纵坐标比横坐标少3的单位长度，C点的纵坐标与B点横坐标相等，则k＝ ．
【分析】连接OC．证明OC＝OB＝BC，设B（a，b），利用轴对称的性质则C（b，a）．利用勾股定理得出a2+b2＝2（b﹣a）2，整理得（a﹣b）2﹣2ab＝0，因为a﹣b＝3，即可求得ab的值，即可求得k的值．
【解答】解：连接OC．
∵反比例函数是中心对称图形，
∴OB＝OA，
∴OC＝OA＝OB，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝OA＝OB，
∴OC＝OB＝BC，
∵反比例函数关于直线y＝x对称，OC＝OB，C点的纵坐标与B点横坐标相等，
∴A，B关于直线y＝x对称，
设B（a，b），则C（b，a），
∴a2+b2＝2（b﹣a）2，
∴（a﹣b）2﹣2ab＝0，
∵a﹣b＝3，
∴2ab＝9，
∴ab＝，
∵顶点B在双曲线y＝（k＞0）上，
∴k＝ab＝，
故答案为．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19．（10分）计算：
（1）2sin30°﹣|﹣3|+（π﹣2021）0﹣（）﹣2；
（2）解方程＝+1．
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣3+1﹣9
＝1﹣3+1﹣9
＝﹣10；
（2）去分母得：x（x+1）＝4+x2﹣1，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以原分式方程的解是x＝3．
20．（11分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，CD是⊙O的切线，∠C＝30°；
（1）求∠CBD的度数；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若AB＝6，依题意补全图形并求DE的长．
【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到∠ODC＝90°，则∠COD＝60°，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠CBD的度数；
（2）根据几何语言画出对应的几何图形，如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出AD＝3，BD＝3，然后证明△EBD为等边三角形，从而得到DE的长．
【解答】解：（1）连接OD，如图，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵OB＝OD，
∴∠CBD＝∠ODB，
而∠COD＝∠ODB+∠CBD，
∴∠CBD＝∠COD＝×60°＝30°；
（2）如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∠ABD＝30°，AB＝6，
∴AD＝AB＝3，
∴BD＝AD＝3，
∵EB、ED为切线，
∴EB＝ED，AB⊥BE，
∴∠DBE＝90°﹣30°＝60°，
∴△EBD为等边三角形，
∴DE＝DB＝3．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P（n，0）（n＞0）作平行于y轴的直线，交函数y＝（k＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D；
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≤OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）先利用一次函数解析式确定m的值得到A点坐标，然后把A点坐标代入y＝（k＞0）得到k的值；
（2）①利用C、D的横坐标都为2得到C点和D点的纵坐标，然后求两纵坐标之差得到线段CD的长；
②先确定B（﹣3，0），由于C、D的横坐标都为n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C（n，），D（n，n+3），讨论：当点D在点C的上方时，先利用CD＝OB得到n+3﹣＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），再结合图象可判断当1＜n≤2时，CD≤OB；当点C在点D的上方时，先利用CD＝OB得到﹣（n+3）＝3，解得n1＝﹣3+，n2＝﹣3﹣（舍去），再结合图象可判断当时，CD≤OB．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+3经过点A（1，m），
∴m＝1+3＝4，
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
（2）①当n＝2时，点P的坐标为（2，0），
当x＝2时，y＝＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
当x＝2时，y＝x+3＝5，
∴点D的坐标为（3，5），
∴CD＝5﹣2＝3；
②当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣3，则B（﹣3，0），
当x＝n时，轴点C的坐标为（n，），点D的坐标为（n，n+3），
当点D在点C的上方时，
若CD＝OB，即n+3﹣＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），
∴当1＜n≤2时，CD≤OB；
当点C在点D的上方时，
若CD＝OB，即﹣（n+3）＝3，解得n1＝﹣3+，n2＝﹣3﹣（舍去），
∴当﹣3≤n≤1时，CD≤OB，
综上所述，n的取值范围为．
22．（10分）今年某校为确保学生安全，开展了“疫情防控•珍爱生命”的预防新型冠状病毒安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D．95≤x＜100，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：98，80，98，86，98，96，90，100，89，82
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
b
众数
c
100
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 40 、b＝ 94 、c＝ 98 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握疫情防控安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级各300人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论；
（2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到八年级学生掌握疫情防控安全知识较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）a＝（1﹣20%﹣10%﹣）×100＝40，
∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴b＝＝94；
∵在七年级10名学生的竞赛成绩中98出现的次数最多，
∴c＝98；
故答案为：40、94、98；
（2）八年级学生掌握疫情防控安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的中位数和众数均高于七年级．
（3）参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数＝600×＝390（人），
答：参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是390人．
23．（9分）随着互联网经济的发展，人们的购物模式发生了改变，不带现金也能完成支付，比如使用微信、支付宝、银行卡等．在一次购物中小张和小王从微信（记为A）、支付宝（记为B）、银行卡（记为C）三种支付方式中随机选择一种方式进行支付．
（1）小张选择微信支付的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小张和小王恰好选择同一种支付方式的情况，再由概率公式即可求解．
【解答】解：（1）∵共有三种支付方式，分别是微信、支付宝、银行卡，
∴小张选择用微信支付的概率为，
故答案为：；’
解：根据题意画树状图如下：
∵由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式（记做事件A）有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率P（A）＝．
24．（12分）已知正方形ABCD中，点E是边CD上的一点（点E不与C、D两点重合）．
（1）如图1，AE平分∠CAD，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，连接EF，交AB于点G．求证△AFG∽△ACE；
（2）如图2，点E为CD的中点，将△ADE沿AE所在的直线折叠，使点D落在F处，若AB＝4，求BF的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得∠DAE＝∠BAF，AE＝AF，根据等腰直角三角形性质、角平分线的性质推出∠FAB＝∠CAE，进而证明△AFG∽△ACE．
（2）过F作BC平行线交AB，CD于G，H，得到△AGF∽△FHE，对应线段成比例，设FH＝x，求出其他个边，在Rt△AGF中，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，
∴∠DAE＝∠BAF，AE＝AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠FAB＝∠CAE，
在正方形ABCD中，∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠AFE，
∴△AFG∽△ACE，
（2）过F作BC平行线交AB，CD于G，H，
∴△AGF∽△FHE，
∵，
设FH＝x，
则AG＝2x，GF＝4x，EH＝，
∵AG＝DH，
∴2x＝2+，
解得x＝，
∴AG＝，GF＝4﹣＝，
∴BG＝4﹣＝，
在Rt△AGF中，
BF＝．
25．（13分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）．
（1）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），求点A和点B的坐标；
（2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，在a＞0的条件下，当m≥0时，n的取值范围是n≥﹣9，求抛物线的解析式；
（3）当a＝1时，把抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线G，设新抛物线G与x轴的一个交点的横坐标为t，且t满足＜t＜，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）令y＝ax2﹣4ax﹣5a＝0，解得x＝5或﹣1，即可求解；
（2）y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，m≥0时，n的取值范围是n≥﹣9，即顶点的纵坐标为﹣9，即﹣9a＝﹣9，即可求解；
（3）当抛物线y＝x2﹣4x﹣5向上平移9个单位时，此时抛物线G与x轴有唯一交点为（2，0），当t满足＜t＜时，则t为左侧交点坐标，进而求解．
【解答】解：（1）令y＝ax2﹣4ax﹣5a＝0，解得x＝5或﹣1，
故点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（5，0）；
（2）∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，m≥0时，n的取值范围是n≥﹣9，
∴顶点的纵坐标为﹣9，即﹣9a＝﹣9，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
（3）当a＝1时，把抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线G，
则抛物线G的表达式为y＝x2﹣4x﹣5+m，
由（2）知抛物线y＝x2﹣4x﹣5的顶点坐标为（2，﹣9），
故当抛物线y＝x2﹣4x﹣5向上平移9个单位时（即m＝9），此时抛物线G与x轴有唯一交点为（2，0），
当t满足＜t＜时，则t为左侧交点坐标，
当抛物线G（﹣，0）时，即0＝（﹣）2﹣4×（﹣）﹣5+m，解得m＝，
故＜m≤9．
26．（13分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”，如图所示．
（1）已知点A的坐标是（1，3）．
①在（﹣3，﹣1），（2，2），（3，3）中，点A的“正轨点”的坐标是 （﹣3，﹣1），（2，2） ；
②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标是 （3，5）或（﹣1，1）或（﹣3，5）或（3.1） ；
（2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x+2上，求点B的“正轨点”的坐标；
（3）已知点C（m，0），若直线y＝2x+m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①根据正方形的性质可得出|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，对照（﹣3，﹣1），（2，2），（3，3）即可得出结论；②根据“正轨点”的坐标特征即可求得；
（2）根据题意列出关于x的绝对值方程，解方程即可；
（3）根据题意表示出“正轨点”，由“正轨正方形”面积小于4即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵点P（x1，y1）、点Q（x2，y2）是正轨正方形的点，
∴|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．
∵|1﹣（﹣3）|＝|3﹣（﹣1）|，|1﹣2|＝|3﹣2|，|1﹣3|≠|3﹣3|，
∴点A的“正轨点”的坐标是是（﹣3，﹣1），（2，2），
故答案为（﹣3，﹣1），（2，2）；
②∵点A的“正轨正方形”的面积是4，
∴边长为2，
∴点A的“正轨点”的坐标是（3，5）或（﹣1，1）或（﹣1，5）或（3.1），
故答案为（3，5）或（﹣1，1）或（﹣3，5）或（3.1）；
（2）∵点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x+2上，
∴设点B（1，0）的“正轨点”的坐标为（x，2x+2），
根据题意得|x﹣1|＝|2x+2﹣0|，
解得x＝﹣3或x＝﹣，
∴点B（1，0）的“正轨点”的坐标为（﹣3，﹣4）或（﹣，）；
（3）∵直线y＝2x+m上存在点C（m，0）的“正轨点”，
∴点C的“正轨点”的坐标为（0，m）或（﹣2m，﹣3m），
∵正轨正方形”面积小于4，
∴，
∴m的取值范围是﹣2＜m＜2且m≠0．
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